Задачи на построение. Общие положения. Треугольники и

5. Задачи на построение. Треугольники и окружности.
Решение задачи на построение обычно состоит из четырех стадий:
1. Общий анализ решения (он начинается с того, что задача предполагается
решенной).
2. Построение.
3. Доказательство.
4. Исследование решения.
Теоретические сведения и задачи:[2], [24], [25]. Задачи взяты из [2], [5], [13], [16], [22].
Можно провести дополнительное занятие, взяв задачи из [13].
Литература
Задача 1. На прямой АС найти точку, равноотстоящую от точки А и от данной
точки М.
М
Анализ. Пусть точка Х такая, что АХ=ХМ. Для определения
положения точки Х соединим А и М. Искомая точка Х является
Е
вершиной
равнобедренного
АХМ.
Но
вершина
равнобедренного треугольника лежит на перпендикуляре,
X
проведенном через середину основания. Поэтому точка Х
А
N
должна лежать на перпендикуляре ЕN, проведенном в середине
отрезка АМ.
Построение. 1) Соединить А и М; 2) через середину АМ
провести
перпендикуляр, который пересечет прямую АС в искомой точке Х.
Доказательство. АЕХ=ЕХМ имеют общий катет ЕХ и катет АЕ=ЕМ, так как Е
– середина АМ; поэтому АХ = МХ.
Исследование. Задача становится невозможной, если точка М расположена так,
что  МАС – прямой, так как в этом случае прямая ЕN //АС и с ней не
пересекается.
Задача 2. Через данную точку А провести прямую так, чтобы её отрезок между
параллельными МN и PQ был равен данному отрезку а.
a
A
M
N
S
В
К
D
Р
Q
С
Е
R
Анализ. Пусть АС проведена так, что отрезок ВС= а. Задача
приводится к определению направления АС. Поэтому
проведем где-нибудь DE // AC; тогда DE = BC = a как
отрезки параллельных между параллельными. Точка Е
взята произвольно, и так как ЕD = а, то точка D отстоит от
Е на расстоянии, равном а, и потому лежит на окружности,
описанной из центра Е радиуса а.
Построение. Нужно 1) из произвольной точки Е прямой PQ описать радиусом а
дугу, которая пересечет МN в точках D и К; 2) соединить D и К с Е и из точки А
провести прямую параллельно DE или EK. Получатся две прямые  АС и AR.
Доказательство. BC = DE и SR =KE, как отрезки параллельных между
параллельными; но так как окружность начерчена радиусом а, то DE=EK= a, а
потому ВС=SP= a.
Исследование. Задача вообще имеет два решения и всегда возможна, за
исключением того случая, когда отрезок а меньше расстояния между прямыми
МN и PQ. Если перпендикуляр МР= а, то задача имеет только одно решение, и
искомая прямая перпендикулярна к MN.
Задача 3. Построить треугольник по углу А, стороне с и сумме сторон а и в.
Решение.
Задача 4. Построить треугольник, середины сторон которого находились бы в
данных точках.
Решение.
Задача 5. Дан треугольник АВС, вершина которого С не помещается на чертеже.
Провести медианы из вершин А и В этого треугольника.
Решение.
Задача 6. Дана окружность, центр которой недоступен (т.е. центр нельзя
использовать при построении). Построить прямую, касающуюся этой
окружности в данной точке.
Решение.
Задача 7. Построить треугольник по трем его медианам.
Решение.
Задача 8. Около треугольника описана окружность. На окружности отмечены
середины дуг, определяемых его вершинами. После этого треугольник
стерли, а окружность и середины дуг оставлены. Восстановить
треугольник.
Решение.
Содержание