Построение многоугольника по серединам его сторон

Даны середины сторон
n-угольника. Требуется восстановить nугольник по этим точкам.
E
ДАНО:
А, В, С- середины сторон
треугольника EDF.
Построить треугольник
EDF.
В
А
ПОСТРОЕНИЕ:
Соединим точки А,В,С
отрезками. Через эти
точки строим прямые
параллельные сторонам
треугольника АВС.
D
С
F
ДОК- ВО: AD || BC, AB || DC => ABCD- параллелограмм => AD=BC; AE ||
BC, EB || AC => AEBC- параллелограмм => AE=CB. Значит DA= AE => Aсередина DE. Аналогично доказывается про точки B и C.
Сколько таких треугольников можно построить?
Пусть треугольник KLM удовлетворяет условию задачи, т.е. А - середина КМ ,
В- середина KL, а С - середина LM. ВС || КМ (по свойству средней линии
треугольника) , ВС || DЕ (по построению). Значит прямая DЕ совпадает с
прямой КМ. Аналогично KL совпадает с ЕF , а МL совпадает с DF. Т.к. две
прямые пересекаются только в одной точке, треугольники DEF и MKL
совпадут.
E
K
B
A
L
D
C
F
M
Таким образом, можно построить только один такой треугольник.
Построение возможно, если точки А, В, С не лежат на одной прямой.
Лемма
Четырехугольник , вершинами которого являются середины сторон
данного четырехугольника , является параллелограммом.
F
F
C
B
B
C
G
D
E
G
H
E
A
D
H
A
Дано:
А, В, С, D –
середины сторон
четырёхугольника
EFGH.
F
Построить
четырехугольник
EFGH.
ПОСТРОЕНИЕ:
Соединим точки A,
B, C и D.
Получился
параллелограмм.
Возьмем точку Е,
лежащую вне
АВСD.
B
C
E
G
A
D
H
Проведем отрезок EB. Построим окружность с центром в точке В и радиусом ЕВ.
Проведя прямую через Е и В до пересечения с построенной окружностью, мы
получаем вторую вершину четырехугольника F. С центром в точке А проводим
окружность радиусом АЕ. Аналогично получаем точку Н.
С центром в точке D
проводим окружность
радиуса НD. Аналогично
получаем точкуG.
Докажем, что С –
середина FG.
Пусть С1 – середина FG.
Прямые ВС и ВС1
параллельны EG,
прямые DC и DC1
параллельны HF.
Значит С совпадает с
С1.
F
B
C
G
E
A
D
H
Таких
четырехугольников
можно построить
бесконечно много,
т.к. точку Е
выбирали
произвольно.
В зависимости от
выбора точки Е
будут получаться
выпуклые и
невыпуклые
четырехугольники.
E
B
А
F
C
H
G
D
Дано: А, В, С, D, Е- середины сторон
пятиугольника GPMLN.
Построить пятиугольник GPMLN.
ПОСТРОЕНИЕ:
Предположим, что у нас уже построен
пятиугольник. Если провести
диагональ PN, то образуются
треугольник и четырехугольник.
Найдя середину PN (точку F), мы
можем восстановить этот
треугольник и четырехугольник.
Построим параллелограмм по точкам
B, C, D. Образовавшаяся точка F
будет являться серединой диагонали
искомого пятиугольника.
G
По AFE восстановим треугольник
GPN.
Далее строим четырехугольник
PMLN.
Единственность решения очевидна
из методов построения.
P
B
M
A
F
C
L
E
D
N
ДАНО: A, B, C, D, E, F, G- середины
сторон семиугольника MNKOLSP.
Построить семиугольник
MNKOLSP.
ПОСТРОЕНИЕ:
Для начала рассмотрим
вспомогательное утверждение.
Предположим, что у нас уже
построен семиугольник. Если
провести диагонали KP и OP, то
образуются 2 четырехугольника
MNKP и POLS и треугольник PKO.
Найдя середину KP (точку H) и
середину OP (точку R), можем
восстановить искомую фигуру.
Значит, любой нечётноугольник
мы можем построить, разбив его
на треугольники и
четырёхугольники. Причем,
построение единственно.
K
B
N
C
A
M
O
H
D
G
R
L
P
E
F
S
ДАНО: А, В, С, D, Е, K- середины сторон
шестиугольника GHPMNL.
Построить шестиугольник GHPMNL.
ПОСТРОЕНИЕ:
Для начала рассмотрим вспомогательное
утверждение.
Предположим, что у нас уже построен
шестиугольник. Если провести диагональ HN, то
образуются 2 четырехугольника. Найдя середину
HN (точку F), мы можем
восстановить эти 2 четырехугольника.
Построим параллелограмм по точкам К, А, В.
Образовавшаяся точка F будет являться
серединой диагонали искомого шестиугольника.
Выберем произвольную точку H.Начнем
построение четырехугольников вокруг
параллелограммов. Вполне очевидно, что
вершина N нашего искомого шестиугольника
является общей для 2 четырехугольников NLGH и
NHPM, т.к. мы выбрали точку H произвольным
образом, мы получаем, что мы можем построить
бесконечно много шестиугольников по данным
серединам их сторон.
Таким образом, любой чётноугольник мы можем
построить деля его на четырёхугольники.
B
G
H
C
A
F
L
P
D
K
N
E
M
Задача полностью решена для любых nугольников.
Для нечетноугольников возможно
единственное решение, а для
четноугольников их бесконечное
множество.
Для выполнения презентации использовала
следующие ресурсы:
Программа Microsoft PowerPoint
Работу выполнила
Басова Ксения
8 класс
МАОУ ДОД «ЦДОД «Компьютерный центр»
Научный руководитель
Рысева Л.Н.