MA lect 1

Математический анализ: критерий Коши,
абсолютная/условная сходимость, признаки
Дирихле и Абеля.
А. Н. Медведев
ЛЭТИ
23 марта 2020 г.
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Критерий Коши I
Договоренность
Все теоремы доказываются для несобственных интегралов
первого рода (ограниченная функция на неограниченном
промежутке). Но они также верны и для интегралов второго
рода (неограниченная функция на ограниченном промежутке),
а также для случая интегралов с внутренними особенностями
(в том смысле, как мы их понимаем – сумму нескольких
интегралов перовго/второго рода)
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Критерий Коши II
Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
Пусть функция f (x) кусочно-постоянна на [a, ∞).
R∞
Несобственный интеграл f (x)dx сходится тогда и только
a
тогда, когда для всякого ε > 0 существует значение N ≥ a
такое, что для всех x2 > x1 > N
Z x2
f (x)dx < ε.
x1
Rx
Доказательство. Рассмотрим функцию F (x) = a f (t)dt.
R∞
Несобственный интеграл f (x)dx сходится тогда и только
a
тогда, когда существует предел limx→∞ F (x). С другой
стороны, согласно критерию Коши сходимости функции,
предел limx→∞ F (x) существует тогда и только тогда, когда ля
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Критерий Коши III
всякого ε > 0 существует значение N ≥ a такое, что для всех
x2 , x1 > N выполнено |F (x2 ) − F (x1 )| < ε. Осталось лишь
напомнить (потребуем, для удобства, чтобы x2 > x1 ), что
Z
x2
F (x2 ) − F (x1 ) =
f (x)dx.
x1
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Абсолютная сходимость I
Абсолютная сходимость
Несобственный интеграл
R∞
f (x)dx сходится абсолютно, если
a
сходится несобственный интеграл
R∞
|f (x)|dx
a
Связь абсолютной сходимости и обычной сходимости
R∞
Если несобственный интеграл f (x)dx сходится абсолютно, то
a
он сходится.
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Абсолютная сходимость II
R∞
Доказательство. Пусть интеграл
|f (x)|dx сходится.
a
Согласно критерию Коши, для всякого ε > 0 существует
значение N ≥ a такое, что для всех x2 > x1 > N
Z x2
|f (x)|dx < ε.
x1
Но верно неравенство
Z x2
Z
x2
f (x)dx ≤
x1
|f (x)|dx.
x1
Отсюда, все по тому же критерию Коши, сходится и интеграл
R∞
f (x)dx.
a
Следует отметить, что обычная сходимость не влечет
абсолютную. Контрпримером, например, является интеграл
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Абсолютная сходимость III
R∞
sin(x)
x dx,
но, пока что, мы не можем объяснить его
сходимость, для этого нужны признаки Абеля и Дирихле. Так
что, пока, прошу принять это на веру. Таким образом, для
несобственного интеграла существуют три возможности.
1
1
2
Абсолютная сходимость – сходится интеграл
Условная сходимость – расходится интеграл
сходится сходится интеграл
R∞
R∞
a
R∞
|f (x)|dx.
|f (x)|dx, но
a
f (x)dx.
a
3
Расходимость.
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Теоремы о среднем
Нашей основной задачей будет изучить два признака
сходимости несобственных интегралов, подпадающих под
следующую формулу: даны две функции, интеграл от одной из
которых сходится/ограничен, а вторая «не сильно все портит, а
то и помогает», тогда интеграл от их произведения снова
сходится. Как раз для оценки и анализа поведения интегралов
от таких произведений, нам понадобится ряд «теорем о
среднем», которые обобщают уже доказанную в курсе теорему
о среднем, представленную ниже.
«Нулевая» теорема о среднем для определенного интеграла
Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то найдется такое
ξ ∈ [a, b], что
Zb
f (x)dx = f (ξ)(b − a).
a
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Первая теорема о среднем для определенного интеграла
I
Первая теорема о среднем для определенного интеграла
Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны, а функция g (x), к
тому же, неотрицательна на интервале (a, b). Тогда найдется
число ξ ∈ [a, b] такое, что
Zb
Z
f (x)g (x)dx = f (ξ)
b
g (x)dx.
a
a
Доказательство. Функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b].
По второй теореме Вейерштрасса, найдутся такие точки
x1 , x2 ∈ [a, b], что для всякого x ∈ [a, b] будет выполнено
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ).
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Первая теорема о среднем для определенного интеграла
II
С другой стороны, функция g (x) неотрицательна. Поэтому
имеем
f (x1 )g (x) ≤ f (x)g (x) ≤ f (x2 )g (x)
для всех x ∈ [a, b]. Проинтегрировав обе части неравенства,
получаем
Z
b
Z
g (x)dx ≤
f (x1 )
a
b
Z
f (x)g (x)dx ≤ f (x2 )
a
b
g (x)dx.
a
Rb
Если a g (x)dx = 0, то неравенство выше нам дает
Rb
a f (x)g (x)dx = 0 (хотя это и так понятно, так как интеграл от
неотрицательной функции равен нулю, только если он нулевая)
а значит искомое тождество выполнено для любого ξ ∈ [a, b].
Если интеграл от g (x) ненулевой, значит в неравенстве можем
на него поделить (опять таки, знак неравенств не нарушится,
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Первая теорема о среднем для определенного интеграла
III
так число, на которое делим строго больше нуля, как интеграл
от неотрицательной функции, не равный нулю). Таким
образом, имеем
Rb
f (x1 ) ≤
a
f (x)g (x)dx
≤ f (x2 ).
Rb
a g (x)dx
По теореме о промежуточном значении, найдется ξ ∈ [a, b]
такое, что
Rb
f (x)g (x)dx
f (ξ) = a R b
.
a g (x)dx
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Вторая теорема о среднем для определенного интеграла
Вторая теорема о среднем для определенного интеграла
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b].
Дополнительно предположим, что функция f(x) монотонна .
Тогда найдется точка ξ ∈ [a, b] такая, что выполнено тождество
Zξ
Zb
f (x)g (x)dx = f (a)
a
Zb
g (x)dx + f (b)
a
g (x)dx
ξ
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Вспомогательная лемма
Вспомогательная лемма
Пусть функция ϕ непрерывна на некотором отрезке,
содержащем отрезок [a, b]. Тогда
Zb
lim
h→0
ϕ(x + h) − ϕ(x)
dx = ϕ(b) − ϕ(a)
h
a
Замечание
Требование непрерывности функции ϕ в некотором большем
промежутке, чем отрезок [a, b], вполне естественно, так
значения подынтегральной функции ϕ(x + h) выходят за рамки
отрезка [a, b]. Но так как мы берем предел при h → 0, то
«слишком далеко» отходить от отрезка [a, b] нам не надо:
подойдет любой отрезок, содержащий отрезок [a, b].
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Доказательство леммы I
Пусть функция Φ – первообразная функции ϕ. Для каждого
достаточно малого значения h (см. замечание выше)
рассмотрим функцию
Φh (x) =
Φ(x + h) − Φ(x)
,
h
заданную на отрезке [a, b]. Легко заметить, что
Φ0h (x) =
ϕ(x + h) − ϕ(x)
h
всюду на отрезке [a, b]. Т. е. функция Φh (x) является
первообразной подынтегрального выражения из формулировки
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Доказательство леммы II
леммы. Таким образом, применяя формулу Ньютона-Лейбница,
получаем
Zb
ϕ(x + h) − ϕ(x)
dx = Φh (b) − Φh (a) =
h
a
=
Φ(b + h) − Φ(b) Φ(a + h) − Φ(a)
−
−−−→ Φ0 (b) − Φ0 (a) =
h→0
h
h
= ϕ(b) − ϕ(a).
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Доказательство второй теоремы I
Доказательство второй теоремы о среднем. В первую
очередь, обсудим случай, когда f (x) ≡ C . Имеем
Z
b
Z
b
f (x)g (x)dx = C
Z
ξ
g (x)dx = C
a
a
Z
g (x)dx + C
a
Z
= f (a)
ξ
g (x)dx =
ξ
Z
g (x)dx + g (b)
a
b
b
g (x)dx
ξ
для любой точки ξ ∈ [a, b]. Тем самым, можем считать, что
f (a) 6= f (b).
Напомним, что для того, чтобы применить лемму, необходимо
несколько выйти за рамки отрезка [a, b]. Легко заметить, что
непрерывность и монотонность функции f (x) и g (x) можно при
этом сохранить (например, можно их продолжить константами
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Доказательство второй теоремы II
слева и справа). Поэтому можем смело проводить рассуждения
и записать тождество
Z b
f (x + h)G (x + h) − f (x)G (x)
dx =
h
a
Z b
Z b
f (x + h)[G (x + h) − G (x)]
f (x + h) − f (x)
dx −
G (x)dx,
h
h
a
a
где функция G – первообразная функции g . Применив лемму к
функции f (x)G (x), получаем соотношение
Z b
f (x + h)G (x + h) − f (x)G (x)
dx = f (b)G (b)−f (a)G (a)+o(h)
h
a
при h → 0. Рассмотрим
f (x + h)[G (x + h) − G (x)]
− f (x)g (x) ≤
h
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Доказательство второй теоремы III
. Заметим, что
G (x + h) − G (x)
= ∆h G (x).
h
Воспользовавшись свойствами модуля и тождеством
AB − CD = (A − C )B + (B − D)C ,
можем написать оценку
≤ |f (x + h) − f (x)||∆h G (x)| + |∆h G (x) − g (x)||f (x)| ≤
≤ C1 |f (x + h) − f (x)| + C2 |∆h G (x) − g (x)|.
Последнее неравенство имеет место, ввиду ограниченности
функций f (x) и ∆h G (x). Ограниченность функции f (x)
автоматически обеспечивает теорема Вейерштрасса. В то
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Доказательство второй теоремы IV
время как, ограниченность функции ∆h G (x) требует
дополнительных объяснений. Первообразная G (x) является
непрерывной функцией, поэтому по теореме Лагранжа можем
написать
∆h G (x) =
G (x + h) − G (x)
= G 0 (ξ) = g (ξ),
h
где ξ – некоторая точка между x + h и x. В свою очередь,
функция g также непрерывна, поэтому последнее выражение
тоже ограниченно.
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Доказательство второй теоремы V
Напоминание: непрерывность на отрезке и модуль
непрерывности
Модулем непрерывности функции f , заданной на множестве X ,
называется функция
ωf (δ) =
|f (x1 ) − f (x2 )|.
sup
x1 ,x2 ∈X , |x1 −x2 |<δ
Модуль непрерывности неотрицателен, не убывает,
полуаддитивен. Кроме того, функция f непрерывна на отрезке
тогда и только тогда, когда
lim ωf (δ) = 0.
δ→0+
Как указано в напоминании, имеем
|f (x + h) − f (x)| ≤ ωf (|h|).
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Доказательство второй теоремы VI
Как было получено ранее, найдется такая точка ξ между x + h
и x такая, что ∆h G (x) = g (ξ). Заметим, что ξ = x + hξ ,
причем |hξ | ≤ |h|. Поэтому, ввиду неубывания модуля
непрерывности, можем написать
|∆h G (x) − g (x)| = |g (x + hξ ) − g (x)| ≤ ωg (|hξ |) ≤ ωg (|h|).
Таким образом, можем записать оценку
f (x + h)[G (x + h) − G (x)]
− f (x)g (x) ≤ C1 ωf (|h|) + C2 ωg (|h|).
h
Отсюда
Z
a
b
f (x + h)[G (x + h) − G (x)]
dx −
h
Z
b
f (x)g (x)dx ≤
a
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Доказательство второй теоремы VII
Z
a
b
f (x + h)[G (x + h) − G (x)]
− f (x)g (x) dx ≤
h
Z b
Z b
≤ C1
ωf (|h|)dx + C2
ωg (|h|)dx ≤
a
a
≤ C3 ωf (|h|) + C4 ωg (|h|) −−−→ 0.
h→0
Таким образом
Z
a
b
f (x + h)[G (x + h) − G (x)]
dx =
h
Z
b
f (x)g (x)dx + o(h).
a
Осталось разобраться со слагаемым
Z
a
b
f (x + h) − f (x)
G (x)dx =
h
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Доказательство второй теоремы VIII
Применив сначала первую теорему о среднем, а затем
вспомогательную лемму, получаем
Z
= G (ξh )
a
b
f (x + h) − f (x)
dx = G (ξh )[f (b) − f (a) + o(h)].
h
Тем самым, получаем тождество
Z
f (b)G (b)−f (a)G (a) =
b
f (x)g (x)dx−G (ξh )[f (b)−f (a)+o(h)]+o(h).
a
Кроме G (ξh ), все функции, представленные в соотношении
имеют предел (они либо константы, либо бесконечно малые)
при h → 0. Поэтому, так как f (b) − f (a) 6= 0, предел имеет и
функция G (ξh ). Так как функция G (x) непрерывна, то
найдется точка ξ ∈ [a, b], на которой этот предел реализуется,
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Доказательство второй теоремы IX
т.е. G (ξ) = limh→0 G (ξh ). Отсюда, выполнив предельный
переход в соответствующем тождестве, имеем
Z
f (b)G (b) − f (a)G (a) =
b
f (x)g (x)dx − G (ξ)(f (b) − f (a)).
a
Тем самым, получаем
Z
b
f (x)g (x)dx = f (a)[G (ξ) − G (a)] + f (b)[G (b) − G (ξ)] =
a
Z
= f (a)
ξ
Z
g (x)dx + f (b)
a
b
g (x)dx.
ξ
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Признак Дирихле I
Признак Дирихле сходимости несобственного интеграла
R∞
Рассмотрим несобственный интеграл a f (x)g (x)dx.
Предположим, что функции f (x) и g (x) удовлетворяют
условиям:
1
2
Функция f (x) непрерывна на [a, ∞).
Rx
Функция F (x) = a f (t)dt ограничена на [a, ∞).
Функция g (x) дифференцируема, g 0 ≤ 0, limx→∞ g (x) = 0.
R∞
Тогда несобственный интеграл a f (x)g (x)dx сходится.
3
Доказательство. В первую очередь, отметим, что функция
g (x) монотонно стремится к нулю при x → ∞. С другой
стороны, первообразная F (x) ограничена. Таким образом, для
данного ε > 0 существуют такие M, N ≥ a, что |F (x)| ≤ M для
всех x ∈ [a, ∞), и |g (x)| ≤ ε/4M для всех x ≥ N.
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Признак Дирихле II
Возьмем x2 > x1 > N. По второй теореме о среднем, найдется
точка ξ ∈ [x1 , x2 ] такая, что выполнено соотношение
Z
x2
Z
ξ
f (x)g (x)dx = g (x1 )
x1
Z
f (x)g (x)dx + g (x2 )
x1
x2
f (x)g (x)dx.
ξ
Отсюда, получаем
Z x2
f (x)g (x)dx ≤ |g (x1 )||F (ξ)−F (x1 )|+|g (x2 )||F (x2 )−F (ξ)| <
x1
ε
ε
2M +
2M = ε.
4M
4M
Осталось только применить критерий Коши сходимости
несобственного интеграла первого рода.
<
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Признак Абеля I
Признак Абеля сходимости несобственного интеграла
R∞
Рассмотрим несобственный интеграл a f (x)g (x)dx.
Предположим, что функции f (x) и g (x) удовлетворяют
условиям:
1
2
Функция f (x) непрерывна на [a, ∞).
R∞
Несобственный интеграл a f (x)dx сходится.
Функция g (x) непрерывна, монотонна и ограничена на
[a, ∞).
R∞
Тогда несобственный интеграл a f (x)g (x)dx сходится.
3
Доказательство. Отметим, что функция g (x) ограниченна на
[a, ∞). Значит найдется постоянная M такая,R что |g (x)| ≤ для
∞
всех x ∈ [a, ∞). Фиксируем ε > 0. Интеграл a f (x)dx
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Признак Абеля II
сходится, поэтому, по критерию Коши, найдется N ≥ a такое,
что для всех x2 > x1 > N выполнено
Z x2
ε
f (x)g (x)dx <
.
2M
x1
Функции f (x) и g (x) непрерывны, а g (x) монотонна, значит
применима вторая теорема о среднем. Имеем
Z
x2
Z
ξ
f (x)g (x)dx = g (x1 )
x1
Z
f (x)g (x)dx + g (x2 )
x1
x2
f (x)g (x)dx,
ξ
для некоторой точки ξ ∈ [x1 , x2 ]. Отсюда
Z x2
f (x)g (x)dx ≤ |g (x1 )||F (ξ)−F (x1 )|+|g (x2 )||F (x2 )−F (ξ)| <
x1
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Признак Абеля III
<M
ε
ε
+M
= ε.
2M
4M
Комментарий
Как видно из доказательств, достаточно написать вторую
теорему о среднем,
Z x2
f (x)g (x)dx ≤ |g (x1 )||F (ξ) − F (x1 )| + |g (x2 )||F (x2 ) − F (ξ)|,
x1
и оценить множители. В одном случае – первый бесконечно
мал, второй ограничен, в другом – первый ограничен, а второй
бесконечно мал.
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Примеры I
R∞
Исследуем на сходимость интеграл 1 sinx x dx. Рассмотрим две
функции: f (x) = sin x и g (x) = x1 . Первообразная функции f (x)
будет ограниченной. Действительно, имеем
Z x
sin(t)dt = | cos(1) − cos(x)| ≤ 2.
|F (x)| =
1
Функция g (x) непрерывна и убывает
R ∞ к нулю. Таким образом,
по признаку Дирихле интеграл 1 sinx x dx сходится.
Проверим его на абсолютную сходимость. Заметим, что
| sin x| ≤ 1. Поэтому
| sin x| ≥ sin2 (x) =
1 − cos(2x)
.
2
Отсюда
| sin x|
1
cos(2x)
≥
−
.
x
2x
2x
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Примеры II
Постоянная 1/2 на сходимость/расходимость
не влияет,
R∞
расходится.
Интеграл
поэтому ее отбросим. Интеграл 1 dx
x
R ∞ cos(2x)
dx наоборот сходится, все по тому же признаку
x
1
Абеля. Действительно, функция g (x) = x1 непрерывна и
убывает к нулю, а первообразная функции f (x) = cos(2x)
ограничена, так как
Z x
sin(2x) sin(2)
|F (x)| =
cos(2t)dt =
−
≤ 1.
2
2
1
R∞
Отсюда, по признаку сравнения, интеграл 1 | sinx x| dx
R∞
расходится. Таким образом, интеграл 1 sinx x dx сходится
условно.
Разберем
пример на признак Абеля. Рассмотрим интеграл
R ∞ sin x arctan
x
dx. Функция g (x) = arctan x непрерывна,
x
1
монотонна и ограничена. С другой стороны, интеграл от
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев
Примеры III
функции f (x) = sinx x сходится. Значит, по признаку Абеля, и
интеграл от произведения этих функций сойдется.
Абсолютно этот интеграл также разойдется. Достаточно
написать неравенство
| sin x arctan x|
π | sin x|
≥
x
4 x
при x ≥ 1, вспомнить, что интеграл от функции
расходится, и применить признак сравнения.
sin x
x
Математический анализ: критерий Коши, абсолютная/у
А. Н. Медведев