Применение преобразования Лапласа Математический анализ Раздел: операционное исчисление

Математический анализ
Раздел: операционное исчисление
Тема: Применение преобразования
Лапласа
Лектор Пахомова Е.Г.
2011 г.
§14. Применение преобразования Лапласа
Метод решение задач математического анализа и других
разделов математики с помощью преобразования Лапласа,
называют операционным исчислением.
1. Интегрирование ЛДУ с постоянными
коэффициентами
ПРИМЕР 1. Найти решение задачи Коши:
y  y  cos t , y (0)  2, y(0)  0
Замечание. Требование, чтобы начальные условия задачи Коши
были заданы в точке t0 = 0 не является существенным.
Если t0  0 , то достаточно ввести новую переменную по
формуле u = t – t0 . Это изменит правую часть уравнения и
начальные условия приобретут необходимый вид.
ПРИМЕР 2. Найти решение задачи Коши:
y  y  2t ,
y (2)  8,
y(2)  6
В случае, если изображение для правой части
сложно, решение задачи
y ( n )  a1 y ( n1)    an1 y  an y  f (t ) ,

( n 1)

y (0)  y (0)    y
(0)  0

f(t)
(1)
можно выразить через решение задачи
y ( n)  a1 y ( n 1)    an 1 y   an y  1,

( n 1)
y (0)  y (0)    y
(0)  0 
(2)
А именно:
если y(t) – решение уравнения (1), y(t) ≓ Y(p) ;
y1(t) – решение уравнения (2), y1(t) ≓ Y1(p) ;
f(t) ≓ F(p) ;
то
Y(p) = p  Y1(p)  F(p)
t

y(t) = y1(0)  f(t) + y1(t)  f(t) =
 y1 (t   ) f ( )d
0
найти
Замечание. Требование, чтобы начальные условия задачи Коши
были нулевыми, не является существенным.
Если начальные условия ненулевые, т.е. имеют вид:
y (0)  y0 , y(0)  y1, , y ( n 1) (0)  yn 1 ,
то достаточно ввести новую функцию z(t) по формуле
t2
t3
t n1
z (t )  y(t )  y0  y1  t  y2   y3     yn1 
2!
3!
(n  1)!
Новое уравнение
необходимого вида.
будет
иметь
начальные
условия
2. Интегрирование систем ЛДУ с постоянными
коэффициентами
ПРИМЕР 2. Найти решение задачи Коши:
 x  y  y  et ,
  
2 x  y  2 y  cost ;
x(0)  y (0)  0.
3. Решение интегральных уравнений типа свертки
ОПРЕДЕЛЕНИЕ.
Уравнение вида
x
y( x)  f ( x)   y(t )  k ( x  t )dt
0
где f(x), k(x) – известные функции, y(x) – неизвестная
функция, называется интегральным уравнением типа
свертки .
Пусть y(x), f(x), k(x) – оригиналы,
y(t) ≓ Y(p), f(t) ≓ F(p), k(t) ≓ K(p).
Тогда
F ( p)
Y ( p) 
.
1  K ( p)