Олипиада 2 турx

ФГБОУ ВПО «БГПУ» им. М. Акмуллы
Центр развития одаренности школьников
ЗАДАНИЯ
2 тура дистанционной олимпиады по математике
для учащихся 7 класса
1) Найдите все такие целые С , при которых дробь
С7
является целым числом.
С4
Решение:
С не должно равняться -4, т.к. знаменатель дроби не может быть равен 0.
Выделим целую часть из дроби:
С7
= 1+
С4
11
поэтому исходное число будет целым, если 11 кратно с – 4. 11
С4
– простое число, значит, его делителями будут
- 11, - 1, 1, 11. Решим 4 уравнения: с – 4 = - 11; с – 4 = - 1;
с – 4 = 1; с – 4 = 11.
Получаем с = -7; с = 3; с = 5; с = 15.
Ответ: -7; 3; 5; 15.
2) Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик,
заплатив 40 руб; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 руб; третий купил
пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 руб; четвертый купил пенал и тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?
Решение:
П+Л=40
Л+К=12
П+К+2Т=50
П+Т=?
___________
П+2Т=50-К
К=12-Л
Л=40-П
К=12-40+П=П-28
П+2Т=50-(П-28)
2П+2Т=78
П+Т=39
Ответ: 39
3) Число 56 разложите на два слагаемых так, чтобы одна третья первого слагаемого
была равна одной четвертой второго.
Решение:
х+у=56;=>у=56-х
х/3=у/4; => 4х=3у; => 4х=3(56-х); => 4х/3+х=56; => (4+3)х/3=56; => 7х=56*3; =>
х=8*3=24;
у=56-24=32
4) Число a составляет 80% числа b, a число с оставляет 140% числа b. Найдите
числа a, b, c если известно что c больше a на 72.
Решение:
a=80%b=0,8b
c=140%d=1,4b
c-a=72, подставим значения а и с:
1,4 b-0,8b=72
0,6 b=72
b=120,
тогда :a=120*0,8=96
b=120*1,4=168
a+b+c=96+120+168=384
Ответ: 384
5) Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длинной 150 метров за
15 с. Найдите длину поезда и его скорость.
Решение:
Если представить, что в конце платформы стоит столб, то получится, что локомотив проезжает мимо платформы за 10 секунд, а потом еще весь остальной
поезд мимо столба в конце платформы идет 5 секунд. Значит скорость локомотива 150/10=15 м/сек. А так как он весь мимо столба проезжает за 5 секунд, то его
длина равна 15*5=75 метров. Ответ: 15 м/сек; 75 метров
6) Найдите наименьшее число записываемое одними единицами, которое делилось
бы на число 33…3 (сто троек).
Решение:
111 делится на 3 (сумма цифр равна трем, значит, число делится на три); 111111
делится на 33 (на 3 делится, так как сумма цифр делится на 3; на 11, так как
111111 = 11 Ч 10101); …;11…1(триста единиц) делится на 33…3(сто троек).
Или
Имеем равенство 333...33=3*111..11 (сто единичек). Число данное в условии
задачи, состоящее из единиц (k), должно делиться на оба множителя. Имеем
равенство 111...11(k единиц)=11..1(сто единиц)*100...0100...0100...010..01(Между
единицами расположено 99 нулей), причем равенство возможно, если k делится
на 100, т.е. k=100m. Число, записанное выше и составленное из нулей и единиц,
содержит m единиц и должно делится на три. Наименьшее m=3. Ответ:
наименьшее число, удовлетворяющее условию, состоит из 300 единиц.
7) Два одинаковых катера, имеющие одинаковую скорость в стоячей воде, проходят
по двум рекам одинаковое расстояние по течению и возвращаются обратно. В
какой реке на эту поездку потребуется больше времени в реке с быстрым течением или в реке с медленным течением?
Решение:
Пусть скорость катеров v км/ч,
скорость течения в первой реке -v1 км/ч,
а скорость течения во второй реке -v2 км/ч.
Пусть v1>v2 .
Если обозначить расстояние, проходимое в одном направлении катерами, через S ,то время, затраченное первым катером на весь путь:
t1=S/(v+v1)+S/(v-v1)=2Sv/(v2-v12),
а время, затраченное вторым катером:
t2=2Sv/(v2-v22).
Числители у обоих выражений одинаковы, то большей будет дробь с меньшим
знаменателем, а так как знаменатели есть разности с равными уменьшаемыми, то
знаменатель меньше у первой дроби, у которой вычитаемое v12 больше.
Ответ: Больше времени потребуется на поездку в реке с более быстрым течением.
8) Найдите цифры x и y, пятизначного числа, которое записывается 42x4y, если
известно, что это число делится на 72.
Решение:
x и y любые числа, сумма которых =8 и сумма х+4+y делится на 8
9) Для нумерации страниц учебника потребовалось 411 цифр. Сколько страниц в
учебнике?
Решение:
На страницы с 1 по 9 - ушло 9 цифр.
На страницы с 10 по 99 - ушло 90*2 = 180 цифр.
Далее на каждую страницу уходит по 3 цифры. Считаем.
Осталось: 411 - 9 - 180 = 222.
222 / 3 = 74
Т.е. оставшиеся цифры потрачены на страницы с 100 по 173.
Ответ: 173.
10)Сколько бабушек и прабабушек было у ваших прабабушек и прадедушек?
Решение:
У каждого человека два родителя. Следовательно:
У меня - 2 родителя.
У каждого из родителей по 2 родителя - 4 бабушки/дедушки.
У каждой из бабушек (пусть все будут бабушками) по 2 родителя. 8 прабабушек.
То есть, у каждого человека 8 прабабушек (считаем за прабабушек и прабабушек, и прадедушек).
Следовательно, у 8 прабабушек будет 8*8=64 прабабушки.
Ответ: 64 прабабушки.
ВЫПОЛНИЛ
Фамилия
Мингазов
Имя
Тимур
Отчество
Вилевич
Класс
7В
Школа
МБОУ СОШ №8
Город
Туймазы
Район
Туймазинский
Ф.И.О. учителя
Мусифуллина Рита Рашитовна