7 класс - БГПУ им.М.Акмуллы

ФГБОУ ВПО «БГПУ» им. М. Акмуллы
Центр развития одаренности школьников
ЗАДАНИЯ
II тура дистанционной олимпиады по математике
для учащихся 7 класса
1) Найдите все такие целые С , при которых дробь
С7
является целым числом.
С4
С 7 С 43 С 4
3
3



 1
.
С4
С4
С4 С4
С4
3
Дробь
будет целым числом, если знаменатель (С+4) будет кратен 3, т.е.
С4
Решение:
С+4=3, с=-1 – решение.
С+4=-3, с=-7 – решение.
С+4=1, с=-3 – решение.
С+4=-1, с=-5 – решение.
Ответ: -1; -7; -5; -3.
2) Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик,
заплатив 40 руб; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 руб; третий купил
пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 руб; четвертый купил пенал и
тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?
Решение:
 п  л  40

 л  к  12 , п+т=?
п  к  2т  50

Из (1)-(2): п+л-п-к=40-12
п-к=28.
((1)-(2))+(3): п-к+п+к+2т=28+50, 2п+2т=78, п+т=39.
Ответ: 39.
3) Число 56 разложите на два слагаемых так, чтобы одна третья первого слагаемого
была равна одной четвертой второго.
Решение: Пусть а - первое слагаемое, (56-а) – второе, тогда:
1
1
а  (56  а )
3
4
1
1
а  14  а
3
4
1
1
а  а  14
, первое слагаемое -24, а второе 32.
3
4
7
а  14
12
7
а  14 :
12
а  24
Ответ: 24, 32.
4) Число a составляет 80% числа b, a число с оставляет 140% числа b. Найдите
числа a, b, c если известно что c больше a на 72.
 0,8в  а
 а  0,8в
 а  96



 с  168
Решение:  с  1,4в   1,4в  с
с  а  72
1,4в  0,8в  72
в  120



Ответ: 96; 168; 120.
5)
Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длинной 150 метров за
15 с. Найдите длину поезда и его скорость.
Решение: Для начала выразим 90км/ч в м/с: 90км / ч 
90  1000
 25 м / с . Теперь
3600
найдем время, за которое первый вагон поезда пройдет всю платформу 300м:
300
 12с . Найдем разность по времени прохождения первого и последнего
25
вагона: 30 с - 12 с = 18 с. Найдем длину поезда в метрах 25·18=450 м
Ответ: 450.
6) Найдите наименьшее число записываемое одними единицами, которое делилось
бы на число 33…3 (сто троек).
Решение: Число an = 11…1 (всего n единиц) делится на 33…3 (100 троек) тогда и
только тогда, когда n делится на 3 и an делится a100. Покажем, что an делится на am,
тогда и только тогда, когда n делится на m. Ясно, что 9an = 10n - 1. Поэтому an
делится на am тогда и только тогда, когда 10n - 1 делится на 10m - 1. Пусть n = dm + r.
Тогда 10n-1=(10n-m+10n-2m+...+10n-dm)(10m-1)+10r-1. Значит, 10n - 1 делится на 10m – 1,
тогда и только тогда, когда n делится на m. Запись этого числа состоит из 300
единиц.
Ответ: 300
7) Два одинаковых катера, имеющие одинаковую скорость в стоящей воде,
проходят по двум рекам одинаковое расстояние по течению и возвращаются
обратно. В какой реке на эту поездку потребуется больше времени в реке с
быстрым течением или в реке с медленным течением?
Решение: Пусть скорость катеров v км/ч, скорость течения в первой реке v1 км/ч, а
скорость течения во второй реке v2 км/ч. Пусть v1>v2. Если обозначить расстояние,
проходимое в одном направлении катерами, через S, то время, затраченное первым
катером на весь путь, t1 
катером, t 2 
S
S
2 Sv

 2
,
v1  v v  v1 v  v12
а время, затраченное вторым
2 Sv
. Поскольку числители у обоих выражений одинаковы, то
v  v 22
2
большей будет дробь с меньшим знаменателем, а так как знаменатели есть разности
с равными уменьшаемыми, то знаменатель меньше у первой дроби, у которой
вычитаемое v12 больше. Значит, больше времени потребуется на поездку в реке с
более быстрым течением.
Ответ: больше времени потребуется на поездку в реке с более быстрым течением.
8) Найдите цифры x и y, пятизначного числа, которое записывается 42x4y, если
известно, что это число делится на 72.
Решение: Так как 72 делится на 4, то по признаку делимости на 4 получаем,
что Y тоже делится на 4. Далее, так как 72 делится ещё и на 9, то по признаку
делимости на 9, X+Y+10 9, что возможно только лишь при X+Y=8 или
X+Y=17. Объединяя полученные результаты и пользуясь тем, что X,Y цифры, получаем возможные варианты: (X,Y)=(8,0); (X,Y)=(4,4); (X,Y)=(0,8);
(X,Y)=(9,8). Подставляя все эти пары в первоначальное число, убедимся, что
только две из них: (0,8) и (8,0), - подходят.
Ответ: X1=0,Y1=8; X2=8, Y2=0.
9) Для нумерации страниц учебника потребовалось 411 цифр. Сколько страниц в
учебнике?
Решение: С 1 по 9 странице ушло 9 цифр, с 10 по 99 ушло 90·2=180 цифр. Далее на
каждую страницу тратиться по 3 цифры. 411-9-180=222. 222:3=74, те.е оставшиеся
цифры потрачены с 100 по 173 страницы.
Ответ: 173.
10)
Сколько бабушек и прабабушек было у ваших прабабушек и прадедушек?
Решение: У меня 2 родителя, 4 бабушки и 4 дедушки, 8 прабабушек и 8
прадедушек. Следовательно: у каждого человека два родителя, т.е 21, у каждого из
родителей по 2 бабушки, т.е. 22 , у каждого человека 8 прабабушек, т.е. 23.
Получается 23·2=26=64 количество прадедушек и прабабушек у всех прадедушек и
прабабушек
Ответ: 64
ВЫПОЛНИЛ
Фамилия Алексеев
Имя Вадим
Отчество Александрович
Класс 7в
Школа МОБУ СОШ №2
Город (село) Бижбуляк
Район Бижбулякский
Ф.И.О. учителя Алексеева Елена Юрьевна