1+ - БГПУ им.М.Акмуллы

ФГБОУ ВПО «БГПУ» им. М. Акмуллы
Центр развития одаренности школьников
Iтур дистанционной олимпиады по математике
для учащихся 7 класса
ВЫПОЛНИЛ
Фамилия ГАЦАЕВ
Имя Руслан
Отчество Исаевич
Класс 7а
Школа МБОУ «СОШ № 13»
ГородОктябрьский
Район_______________________________
Ф.И.О. учителя Исмагилова Лилия Магсумовна
7 класс
1) Найдите все такие целые С, при которых дробь
С7
является целым числом.
С4
Решение:
Выделим целую часть из указанной дроби:
𝑐+7
𝑐−4+11
𝑐−4
𝑐−4
=
= 1+
11
𝑐−4
Исходное число будет целым, если 11 делится на с-4 без остатка; при этом с не
равно 4. Делителями 11 являются: 11, -11, 1, -1.
Значит, с -4=11, с=15
с -4 = -11, с= - 7
с -4 = 1, с= 5
с – 4= - 1, с= 3.
Ответ: - 7; 3; 5; 15.
2) Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик, заплатив 40 руб; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 руб; третий купил
пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 руб; четвертый купил пенал и тетрадь.
Сколько заплатил четвертый школьник?
Решение:
Пусть П – пенал; Л – ластик; Т – тетрадь; К- карандаш
Из условия задачи следует:
П+Л=40
Л+К=12
П+К+2Т=50
Найти: П+Т
К=12-Л
Л=40-П
К=12-40+П=П-28
П+2Т=50-К
П+2Т=50-(П-28)
П+2Т+П=78
2П+2Т=78
П+Т=39
Значит, пенал и тетрадь стоят 39 руб
Ответ:39 руб
3) Число 56 разложите на два слагаемых так, чтобы одна третья первого слагаемого
была равнаодной четвертой второго.
Решение:
Пусть а – 1 слагаемое, b -2 слагаемое. Тогда a + b=56. Так как по условию, 1/3
первого слагаемого равна ¼ второго, то имеем второе уравнение a/3=b/4.
a=56-b, (56-b)/3=b/4.
Используя свойство пропорции, получим4(56-b)=3b, 7b=224, отсюдаb=32. Тогда a=24.
Значит, 1 слагаемое – 24, 2 слагаемое – 32. (проверка: 24+32=56; треть 1 слагаемого=8, четверть второго = также 8)
Ответ: 24 и 32
4) Число a составляет 80% числа b, a число с составляет 140% числа b. Найдите
числа a, b, c, если известно, что c больше a на 72
Решение:
Так как, с больше а на 72, то с-а=72
Так как, а составляет 80% числа b, то а=0,8b
Так как с составляет 140% числа b, то с=1,4b
Значит, 1,4b – 0,8b = 72
0,6b= 72
b=120
Тогда, а=120*0,8=96
с=120*1,4=168
Ответ: а=96; b =120; с=168
5) Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длинной 150 метров за
15 с. Найдите длину поезда и его скорость.
Решение:
1) 150/(15-5)=15 м/с – скорость поезда
2) 15*5=75 м – длина поезда
Ответ: 75 м; 15 м/с
6) Найдите наименьшее число записываемое одними единицами, которое делилось
бы на число 33…3 (сто троек).
Решение:
Разложим число33…3 (сто троек) на множители: 333...33=3*111..11 (сто единичек). Искомое число должно делиться на оба множителя.
Составим равенство:
111...11 (n единиц) = 11..1 (сто единиц)*100...0100...0100...010..01 (Между единицами расположено 99 нулей)
Это равенство будет выполняться, если n делится на 100, т.е. n=100k. Число,
составленное из нулей и единиц, содержит m единиц и должно делится на три.
Наименьшее k=3.
Ответ: наименьшее число состоит из 300 единиц.
7) Два одинаковых катера, имеющие одинаковую скорость в стоящей воде, проходят
по двум рекам одинаковое расстояние по течению и возвращаются обратно. В какой реке на эту поездку потребуется больше времени в реке с быстрым течением
или в реке с медленным течением?
Решение:
Пусть скорость катеров х км/ч. Весь путь – S.
Скорость течения по 1 реке v1 км/ч
Скорость течения по 2 реке v2 км/ч
Пусть v1>v2
Тогда время первого катера:
t 1=
𝑆
+
𝑆
=
𝑥+v1 𝑥− v1
2𝑆𝑥
𝑥 2 − v12
Время второго катера:
t 2=
𝑆
𝑥+v2
+
𝑆
𝑥− v2
=
2𝑆𝑥
𝑥 2 −v22
Числители у обеих дробей получились одинаковые. Значит, большей будет та
дробь, у которой знаменатель меньше.
Так как v1> v2, то t1> t2
Таким образом, на поездку с быстрым течением понадобится больше времени, чем
на поездку с медленным течением.
Ответ: на поездку в реке с быстрым течением.
8) Найдите цифры x и y, пятизначного числа, которое записывается42x4y,если известно, что это число делится на 72.
Решение:
Так как, по условию, число делится на 72, то оно делится и на 2 и на 9. Значит цифра у должна быть четной, а это возможно при 0, 2, 4, 6, 8.
Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9. Значит,
4+2+х+4+у=10+х+у
Тогда, х+у равняется либо 8, либо 17. Это возможно при следующих комбинациях:
Х=8 у=0
Х=6 у=2
Х=4 у=4
Х=2 у=6
Х=9 у=8
Из них получаются числа:
42840
42642
42444
42246
42948
Из них только одно нацело делится на 72: 42840
Таким образом, х=8, у=0
Ответ: х=8, у=0
9) Для нумерации страниц учебника потребовалось 411 цифр. Сколько страниц в
учебнике?
Решение:
Для нумерации страниц обычно применяются однозначные, двузначные и
трехзначные числа.
С первой страницы по 9 – 9 страниц (9 цифр)
С 10 по 99 страницы ушло 2*90=180 цифр
Осталось: 411-9-180=222 цифры на трехзначные числа
222/3=74
Значит, эти 74 числа – это номера страниц с 100 по 173.
Значит, в учебнике 173 страницы.
Ответ: 173 страницы.
10)
Сколько бабушек и прабабушек было у ваших прабабушек и прадедушек?
Решение:
У нас может быть 8 бабушек и дедушек вместе, у них по две бабушки и 4
прабабушки.
8*2=16 бабушек
8*4 =32 прабабушки
Ответ: 16 бабушек и 32 прабабушки