Дистанционная олимпиада по математике 7 класс (II x

7 класс
1) Найдите все такие целые С , при которых дробь
С7
является целым числом.
С4
С  7 (С  4)  3 С  4
3
3
=
=
+
=1+
=>C+4 - делитель 3.
С4
С4
С4
С4
С4
3 7 4
1)С+4=1=>С=-3
= =4, 4 – целое число
3 4 1
Решение:
6
2)С+4=3=>С=-1  1  7 = =2, 2 – целое число
1 4 3
57 2
3)С+4=-1=>С=-5
= =-2, -2 – целое число
 5  4 1
77
0
4)С+4=-3=>С=-7
= =0, 0 – целое число
74 3
Ответ: -3; -1; -5; -7.
2) Четыре школьника сделали в магазине покупки: первый купил пенал и ластик,
заплатив 40 руб.; второй купил ластик и карандаш, заплатив 12 руб.; третий
купил пенал, карандаш и две тетради, заплатив 50 руб.; четвертый купил пенал и
тетрадь. Сколько заплатил четвертый школьник?
Решение:
П+Л=40
П+Л=40
К+Л=12 =>
-К-Л=-12 => П-К=28 => К=П-28
П+К+2Т=50 => П+(П+28)+2т=50 => 2П+2Т=78 => П+Т=39
Ответ: пенал и карандаш стоят 39 рублей.
3) Число 56 разложите на два слагаемых так, чтобы одна третья первого слагаемого
была равна одной четвертой второго.
1
1
х = у |•12
3
4
4x=3y
3
4
x= у
x+y=56
7
у =56
4
7
y=56: у
4
y=32
x=56-32=24
Ответ: 24 и 32
4) Число a составляет 80% числа b, a число с составляет 140% числа b. Найдите
числа a, b, c, если известно, что c больше a на 72.
Решение:
a=0,8b |•7 c больше a на 72 => c-72=a
c=1,4b |•4
7a=5,6
7a=4c
c=7\4a
4c=5,6b
c-72=a
c=a+72 => a+72=7\4a => a=96
c=96+72=168 b=96:0,8=120
Ответ: a=96; b=120; c=168
5) Поезд проходит мимо светофора за 5 с, а мимо платформы длинной 150 метров за
15 с. Найдите длину поезда и его скорость.
Решение: х м – длина поезда
у м/с – скорость поезда
х:у=5 => х=5у
(х+150):у=15
Т.к. х=5у ,то
(5y+150):у=15
5у+150=15у
10у=150
у=15
скорость поезда = 15 м\с
если х=5у, то
х=15•5
х=75
длина поезда = 75 м
Ответ: длина = 75 м; скорость поезда = 15 м\с
6) Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, которое делилось
бы на число 33…3 (сто троек).
Решение: нам нужно чтобы число 111…111 делилось на 333...333
100 троек
число 111…111 должно делится на 3 и на 111...1(100 единиц)
Если 111…1(100 единиц) взять 1 или 2 раза, то оно не будет делится на 3,т.к.
сумма цифр числа не делится на 3. Если взять 111…1(сто троек) 3 раза, то оно
будет делится и на 3 и на 111…1(100 единиц),значит делится также и на
33…3(100 троек).Значит искомое число будет равно111…1(300 единиц)
Ответ: число = 11…1(300 единиц)
7) Два одинаковых катера, имеющие одинаковую скорость в стоящей воде,
проходят по двум рекам одинаковое расстояние по течению и возвращаются
обратно. В какой реке на эту поездку потребуется больше времени в реке с
быстрым течением или в реке с медленным течением?
Решение:
укажем числа:
Пусть собс. скор.=12км\ч
3 км\ч – скорость течения реки с быстрым течением
2 км\ч – скорость течения реки с медленным течением
Расстояние - 5 км
Решаем:
5\15+5\9=8\9 (ч) – время по реке с быстрым течением
5\14+5\10=6\7 (ч) – время по реке с медленным течением
8\9 больше 6\7
Ответ: в реке с быстрым течением потребуется больше времени на эту поездку.
8) Найдите цифры x и y, пятизначного числа, которое записывается 42x4y, если
известно, что это число делится на 72.
Решение:42x4y делится на 72 => 7+2=9, 9 делится на 9 => 72 делится на 9
Значит, 42x4y должно делится на 9, и на 8. 4+2+х+4+у должно делится на 9,
т.к. 10+(х+у) должно делится на 9. х+у=8
1) х=0, у=8 42048 делится на 9 и на 8
2) х=8, у=0 42840 делится на 9 и на 8 делится на 72
При других значениях х и у число не делится на 8 , а значит не делится на 72.
Ответ: пары чисел: 8;0 и 0;8
9) Для нумерации страниц учебника потребовалось 411 цифр. Сколько страниц в
учебнике?
Решение: с 1 по 9 = 1 цифра 9 раз
с 10 по 99 = 2цифры по 90 раз
189 стр. = с 1 по 99
411-189=222 222\3=74 74 – остальные страницы.
99+74=173 стр.
Ответ: 173 страницы.
10)
Сколько бабушек и прабабушек было у ваших прабабушек и прадедушек?
Решение: У каждого человека 2 бабушки и 4 прабабушки. Значит, у каждой
из моих четырёх прабабушек по 2 бабушки (4•2=8 бабушек у моих
прабабушек) и у каждой из моих 4 прабабушки по 4 прабабушки (4•4=16
прабабушек у моих прабабушек). Итак, 8+16=24 бабушек и прабабушек у
моих прабабушек. Аналогично, у моих прадедушек будет 24 бабушек и
прабабушек. Всего: 24+24=48.
Ответ: 48