L1-4

Естественный способ.
Этим методом можно пользоваться, если заранее известна траектория движения
частицы. В подобных случаях за координатную ось удобно принять кривую самой
траектории.
Пусть движение совершается вдоль кривой L (рис.1.7). Выберем точку отсчета О и
положительное направление оси. Положение частицы на кривой однозначно определится
длиной
части кривой, соединяющей частицу с точкой отсчета О, которая называется
дуговой координатой частицы. И так, закон движения в естественном методе
задается в виде

t  .
(1.19)
Рис. 1.8.
Изменение положения частицы за время
t
определяется приращением дуговой
координаты, которая есть путь, пройденный частицей:
 t  t    t 
 
В естественном методе скорость - это первая производная дуговой координаты по
времени:

d

t 0 t
dt
v  lim
(1.20)
Введем связанный с частицей единичный вектор

, который будет направлен по
касательной в любой точке траектории. Очевидно, что
зависит от положения точки на кривой, т.е.

сложная функция от времени
 =    t  .
=
.

меняет свое направление и
Учитывая (1.19), видим, что
Вектор скорости выразим с помощью введенного касательного вектора следующим
образом
v  v 
.
(1.21)
Воспользовавшись определением ускорения (1.8) и (1.21) получим
.
.
.
a  v   v  v
(1.22)
Учитывая, что  - сложная
полученного уравнения
функция
от
времени,
преобразуем
последний
член
.
v  vd / dt  v 2 d / d
(1.22')
рис. 1.9а.
Выразим
величину
через геометрические характеристики кривой.
d / d
Предположим, в момент времени t частица находится в точке А кривой, которой
соответствует единичный вектор
частица в момент времени
 t  .
  t  t 
Пройдя путь
d
за промежуток времени
dt
займет положение В (рис. 1.9а).
Предположим, что рассматриваемая кривая плоская, т.е. все ее точки лежат в одной
плоскости. Проведем нормали от точек А и В (перпендикуляры к касательным в плоскости
кривой), точку пересечения которых обозначим через
O1 .
В дифференциальной геометрии
показывается,
рис.1.9б.
что элементарный отрезок любой непрерывной кривой можно представить как дугу
окружности определенного радиуса. Так что, рассматриваемая часть кривой АВ есть дуга
окружности с центром в точке
O1
и радиусом
O1 A  O1 B  R
а R – радиусом
(рис. 1.9а). Точка
O1
называется центром кривизны этой части кривой,
кривизны. Фактически,
любую кривую можно представить как совокупность дуг с разными центрами и радиусами
кривизны.
Построив векторный треугольник AMN, показывающий приращение вектора d за
время
для
dt (рис. 1.9б), легко заметить, что он подобен треугольнику О1АВ. Исходя из этого,
d / d получим:

d

,
d
O1 A
d
1
 .
d
R
За время dt приращение d
перпендикулярно касательному вектору  в точке А
(рис. 1.8б), т.е. направлено по нормали в этой точке к центру кривизны. Введя единичный
вектор n , направленный по нормали, получим
d
n
 .
d
R
(1.23)
С учетом полученного результата и (1.22), выражение ускорения (1.22') примет
следующий вид
dv
v2
a 
n
dt
R
(1.24)
И так, ускорение в произвольной точке кривой представилось в виде суммы двух
взаимно-перпендикулярных
векторов
(рис.1.9).
Подобное представление вектора
ускорения имеет большие преимущества. Ускорение – это величина, показывающая
быстроту изменения скорости во времени. Скорость может меняться как по величине, так и
по направлению. Первый член в правой части формулы ускорения (1.24) называется
тангенциальным ускорением.
Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории,
характеризирует быстроту изменения величины скорости и равно первой
производной модуля скорости по времени:
рис. 1.10.
a 
dv
.
dt
(1.25)
Второе слагаемое называется нормальным ускорением:
v2
an 
R
.
(1.26)
Нормальное ускорение пропорционально квадрату скорости частицы и обратно
пропорционально радиусу кривизны кривой в данной точке. Оно перпендикулярно
вектору скорости, направлено к центру кривизны и характеризирует быстроту
изменения направления скорости