3 уравнение касательной прямой и нормальной плоскости

133
§3 УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПРЯМОЙ
И НОРМАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ К ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
КРИВОЙ
Из аналитической геометрии известно, что всякому уравнению с тремя неизвестными F ( x , y , z ) = 0 ( или в явной форме z = f ( x , y ) ) соответствует в декартовой
системе координат некоторая поверхность.
Один из способов задания кривой в пространстве, задание как линии пересечения двух поверхностей :
F1 ( x , y , z ) = 0 ⎫⎪
⎬.
F2 ( x , y , z ) = 0⎪⎭
Другой способ задания - параметрическое задание
x = x( t ) , y = y( t ) , z = z( t) , t ∈ T
(1)
Найдем канонические уравнения касательной прямой к пространственной кривой заданной параметрически уравнениями (1) в некоторой точке M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , соответствующей значению параметра t 0 ∈ T . Искомые уравнения имеют вид
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
,
m
n
p
r
r
r
r
r
Кривая L ∈ R 3 есть годограф вектор- функции r ( t ) = x( t ) i + y( t ) j + z( t ) k , а вектор
где m, n, p -проекции (координаты) направляющего вектора прямой s = ( m, n, p) .
r
r ′( t ) направлен по касательной к кривой L , следовательно его можно считать на-
правляющим вектором прямой, значит m = x ′( t 0 ) , n = y ′( t 0 ) , p = z ′( t 0 ) . Тогда искомые
уравнения примут вид
x − x0
x ′( t 0 )
=
y − y0
y ′( t 0 )
=
z − z0
(2)
z ′( t 0 )
z
M0
О
х
y
134
Определение Нормальной плоскостью к пространственной кривой называется плоскость, перпендикулярная касательной прямой и проходящая через точку касания.
Пусть M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) - точка касания. Уравнение плоскости, проходящей через
эту точку имеет вид
A( x − x 0 ) + B( y − y 0 ) + C( z − z 0 ) = 0 ,
r
где n( A, B, C ) - нормальный вектор плоскости. Из определения нормальной плоскости
r
r
следует, что векторы n( A, B, C ) и r ′( t ) коллинеарные, поэтому можно считать, что
A = x ′( t 0 ), B = y ′( t 0 ), C = z ′( t 0 ) . Тогда искомое уравнение примет вид
x ′(t 0 )( x − x 0 ) + y ′(t 0 )( y − y 0 ) + z ′(t 0 )( z − z 0 ) = 0
(3)
Пример Найти уравнение касательной прямой и нормальной плоскости к годографу L, заданному параметрическими уравнениями
⎧x = a cos t ,
⎪
⎨ y = a sin t , t ∈ R, a = const , b = const ,
⎪z = bt
⎩
в точке M 0 , соответствующей значению параметра t 0 = π 3 .
z
M0
О
y
t
N
a
х
Данная кривая называется винтовой линией. При произвольном t
x 2 + y 2 = (a cos t ) + (a sin t ) = a 2
2
2
Найдем координаты точки касания:
π a
x0 = a cos
3
=
2
, y0 = a sin
π
3
=a
π
3
, z0 = b
3
2
r
Определим координаты направляющего вектора касательной r ′(t 0 )
x′(t 0 ) = − a sin
π
3
= −a
3
;
2
135
y ′(t 0 ) = a cos
π
1
=a ;
3
2
z ′(t 0 ) = b .
Тогда уравнения касательной
π
3
a
z −b
y−
3.
2 =
2 =
a
b
3
−a
2
2
x−
Уравнение нормальной плоскости
a
3⎛
3⎞ ⎛
a⎞ a⎛
π
⎟ − b⎜ z − b ⎞⎟ = 0 .
⎜ x − ⎟ − ⎜⎜ y −
2 ⎝
2⎠ 2⎝
2 ⎟⎠ ⎝
3⎠
§ 4 КРИВИЗНА КРИВОЙ
Дифференциал длины дуги.
Пусть кривая L - график непрерывно дифференцируемой функции y = f ( x ) .
Такую кривую называют гладкой. Возьмем точка А за начало отсчета. Пусть M ∈ L ,
тогда длина дуги АМ будет функцией абсциссы х точки М.
y
M1
M
A
О
x
x
(
Обозначим эту функцию l ( x ): AM = l ( x ) . Найдем дифференциал функции l ( x ) ,
который будем называть дифференциал длины дуги. Найдем l ′( x ) . По определению
l ′( x ) =
dl
l ( x + Δx ) − l ( x )
= lim
Δx
dx Δx→0
(4)
Без доказательства примем теорему:
Теорема 1 Предел отношения длины дуги гладкой кривой к длине стягивающей
ее хорды при стремлении длины дуги к нулю равен единице:
lim
Δx →0
(
MM1
MM1
=1
На основании теоремы 1 и свойств эквивалентных бесконечно малых величин,
(
заменим дугу MM1 эквивалентной ей хордой MM1 = Δx 2 + Δy 2 . Тогда
136
2
dl
Δx 2 + Δy 2
⎛ Δy ⎞
= lim
= lim 1 + ⎜ ⎟ = 1 + y ′ 2
l ′( x ) =
2
Δx → 0
⎝ Δx ⎠
dx Δx→0
Δx
Отсюда
dl = 1 + y ′ 2 dx .
(5)
Внеся dx под знак радикала получим
dl = dx 2 + dy 2
(6)
L
y
M1
T
M
A
О
x
x+dx
x
Из формулы (6) следует, что с геометрической точки зрения дифференциал дуги кривой в точке М с абсциссой х равен длине соответствующего отрезка касательной к линии L в точке M(x,y)/ Это отрезок МТ.
Если кривая L задана параметрически, уравнениями
x = x( t ) , y = y( t ),
то с использованием принятых в механике обозначений получим,
x t′ = x& , y t′ = z&, y x′ =
Подставив эти значения в уравнение (5) получим,
y&
x&
dl = x& 2 + y& 2 dt
Кривизна кривой. Основные определения.
Одной из важных характеристик кривой является мера ее изогнутости. Для введения такой меры необходимо ввести количественную характеристику.
D
B
C
A
137
M1
M
Рассмотрим на кривой точки М и M1 Проведем в этих точках касательные к
кривой. При переходе от точки М к M1 касательная поворачивается на угол Δϕ , который называется углом смежности . Отношение угла смежности дуги к ее длине называется средней кривизной дуги
Δϕ
K cp =
.
Δl
Средняя кривизна характеризует среднюю изогнутость кривой на всей дуге. Для характеристики меры изогнутости кривой в точке введем новое понятие
Определение 7 Кривизной К линии L в точке М называется предел, к которому стремится средняя кривизна K cp дуги MM1 линии L при стремлении точки M1 к
точке М:
Δϕ
K = lim K cp = lim
M1 → M
Δl → 0
Δl
Вычисление кривизны кривой.
Пусть кривая L является годографом дважды дифференцируемой векторной
r
функции действительного аргумента r ( t ) .
О
138
Δϕ
. Угол смежности Δϕ - угол между
Δt →0 Δl
r
r
r
r
r& ( t + Δt ) . Вектор r& ( t + Δt ) = r& ( t ) + Δr& ( t ) . Из векторного произведения векторов
r
r
r& ( t ) + Δr& ( t ) находим:
r r
r
r r
r& , r& + Δr&
r& , Δr&
sin Δϕ = r r
r ⇒ sin Δϕ = r& r&
r ,
r& r& + Δr&
r r + Δr&
r r r
так как r& , r& = 0 .
Кривизна кривой K = lim
[ (
)]
[
r
r& ( t ) и
r
r& ( t ) и
]
[ ]
При Δt → 0 Δl → 0 и Δϕ → 0 , а также Δϕ ~ sin Δϕ . Следовательно кривизна
[
]
r r
r& , Δr&
sin Δϕ
Δϕ
K = lim
= lim
= lim r r
=
& r& ( t + Δt ) Δl
Δt → 0 Δl
Δt → 0
Δt → 0 r
Δl
r
⎡ r& Δr& ⎤
⎢r , ⎥
⎣ Δt ⎦
= lim
.
Δt → 0 r r
l
Δ
r& r& ( t + Δt )
Δt
r&
r&
Если Δt → 0 , то r ( t + Δt ) → r ( t ) и Δl ≈ Δr ; тогда
r r
r& , &&
r
K = r3
(7)
r&
[ ]
Формула (7) используется, для вычисления кривизны плоской или пространственной кривой L, если она является годографом дважды дифференцируемой вектор r
функции r ( t ) .
r
r
r
r
Пример Вычислить кривизну кривой r ( t ) = e t i + e − t j + t 2k в произвольной
точке t и при t=0.
r r
r
r
r
r
r
r& (t ) = e t i − e −t j + 2k , &r&(t ) = e t i + e − t j
r
i
r r
r& (t ), &r&(t ) = e t
[
]
et
[rr& (t ), &rr&(t )] =
K=
r
k
r
r
r
2 = − 2e − t i + 2e t j + 2 k
r
j
− e −t
e −t
0
(
)
(
2
)
2e − 2t + 2e 2t + 4 = 2 e −t + e t = 2 e −t + e t .
r
r& (t ) = e 2t + e −2t + 2 = e − t + e t .
(
2 e −t + e t
(e
−t
+e
)
t 3
)=
(
(e
2
−t
+e
)
=
2
) (x + y )
t 2
2
.
Замечание Часто при задании векторной функции скалярного аргумента исr
пользуют натуральный параметр (длину дуги). При таком задании кривой r& ( l ) = 1 и
r
r
вектор &&r ( l ) перпендикулярен вектору r& ( l ) . Тогда формула (7) примет вид
r
K = &&
r ( l) .
139
Вычисление кривизны плоской кривой, заданной параметрически.
Пусть гладкая плоская кривая L задана параметрически уравнениями
x = x( t ) ⎫
⎬
y = y( t ) ⎭
r
r
r
Запишем вектор - функцию r ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j и воспользуемся формулой (7)
r
r r
r
r
r
для определения кривизны этой кривой. Найдем r& ( t ) = x&( t ) i + y& ( t ) j , &&r ( t ) = x&&( t ) i + &&y( t ) j .
Тогда
r
j
r
i
[ rr& ( t), &&rr( t)] = x&( t)
r
k
r
0 = ( x& ( t ) &&
y ( t ) − x&&( t ) y& ( t )) k .
y& ( t )
x&&( t ) &&
y( t )
0
[rr& (t ), &&rr(t )] = x&(t ) &&y(t ) − &&x(t ) y& (t ) ,
r
2
2
r& (t ) = x& (t ) + y& (t )
Получаем формулу для определения кривизны кривой, заданной параметрически
r r
r& , r&&]
[
=
K=
r
r&
3
( x&
&&& − xy
&&&
xy
2
+ y& 2 )
3
(8)
2
Вычисление кривизны плоской кривой в декартовых координатах.
Если кривая L задана уравнением y = f ( x ) , то формулу для вычисления
кривизны можно получить из формулы (8)Ю если явное задание считать параметрическим:
Тогда из формулы (8) имеем K =
⎧ y = f (t )
⎨
⎩x = t
&&
y
(1 + ( y& ) )
2
3
2
или переходя к уравнению линии в де-
картовой системе координат ,
K=
d2y
dx 2
⎛ ⎛ dy ⎞ 2 ⎞
⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ⎝ dx ⎠ ⎠
3
2
2
.
4
Пример Найти кривизну в любой точке циклоиды x = a( t − sin t ), y = a(1 − cos t )
1
Ответ: K =
.
t
4a sin
2
Пример Вычислить кривизну кривой y = ln x в точке х=1. Ответ: K =
Радиус, круг и центр кривизны.
Проведем к кривой L нормаль в точке М(х;y) и отложим на этой нормали в сторону
вогнутости кривой отрезок MN = R , по величине обратный кривизне K : R = 1 R . Отре-
140
зок MN называется радиусом кривизны, точка N -центром кривизны, а круг с центром
в точке N и радиусом R - кругом кривизны кривой в точке М(х;y).
y
N
M
х
О
Если кривая L задана в декартовой системе координат уравнением y = f ( x ) , то
ее радиус кривизны находится по формуле
(1 + y ′ )
2
R=
3
2
y ′′
Если кривая L задана параметрически, то ее радиус кривизны определяется по
формуле
( x&
+ y& 2 ) 2
R=
&&&
&&&
yx − yx
r r
Если L - годограф вектор функции r = r ( t )
r3
r&
R= r r
r& , &&
r
2
[ ]
3