Задачи по теме «Дифференциальная геометрия»
advertisement
Задачи по теме «Дифференциальная геометрия» 1. Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой а) x sec t , y tg t , z at, при t / 4, б) r (t ) (t , t , t ) в точке (1,1,1) 2 3 t с) r (t ) (e , e , t ) при t=1, t 2 2. Написать уравнение соприкасающейся плоскости кривой r (t ) ( a cos t , b sin t , e ) в t точке t=0. 3. Доказать, что для следующих кривых кривизна и кручение равны: 1) x=a ch t, y=a sh t, z=at; 2) x 3t t , y 3t , z 3t t . 3 2 3 4. В точке t=0 для винтовой линии r (t ) (a cost , a sin t , bt) записать уравнения главной нормали; бинормали м соприкасающейся плоскости.. 5. Найти кривизну и кручение кривой x cos t , y sin t , z cos 2t. 3 3 6. Составить уравнение главной нормали и бинормали кривой: x t, y t 2 , z t 3 при t 1. 7. Найти кривизну и кручение в произвольной точке следующей кривой: r (t ) (2t , ln t , t 2 ) . 2 8. Найдите точки на кривой x , y ln t , z t 2 , в которых бинормаль параллельна t плоскости x y 8 z 2 0 . 9. Написать естественную параметризацию кривой x e t cos t , y e t sin t , z e t . 10. Доказать, что кривая r r (t ) t 2 2t 3; 2t 2 t 1; 3t 2 5 плоская. 2 3 11. Дана кривая r r (t ) (t , 1 t , t ) . Найти координаты вектора главной нормали и бинормали в точке (0,1,0)..
