Презентация Воронов Пётр

Задача №1:
Найти все значения параметра а, при которых не
имеет корней уравнение.
(1)
Решение:
Данное уравнение равносильно системе:
(2)
Уравнение (1) не имеет корней тогда и только тогда, когда не имеет решений полученная
система. Это возможно в двух случаях:
а) квадратное уравнение (2) не имеет корней;
б) корни уравнения (2) не удовлетворяют условию
Найдём все значения параметра, при котором выполняется хотя бы один случай:
а) уравнение не имеет корней, если D<0, т.е.
и, значит,
б) корни уравнения
1 способ.
Корни уравнения
меньше 1 (достаточное условие):
Ответ:
меньше 1, если больший корень уравнения
2 способ.
Рассмотрим квадратичную функцию
Её корни меньше 1 тогда и только тогда, когда одновременно выполняются условия:
Отсюда:
Ответ:
3 способ.
Пусть t=x-1. Тогда x<1 , значит, t+1<1, t<0.
В таком случае уравнение
примет вид:
Корни этого уравнения отрицательны, если их сумма отрицательна, а произведение –
положительно. По теореме Виета заключаем:
Ответ:
1
.
Другие способы.
4 способ.
Решим противоположную задачу: найдём множество всех значений параметра а,
при которых уравнение
имеет хотя бы одно решение
(множество Х).
А это возможно только, если больший корень уравнения
больше или равен 1, следовательно получаем:
Значит искомые решения параметра не принадлежат только полуинтервалу
Ответ:
5 способ.
Возведём в квадрат обе части уравнения
, получаем:
Последняя система позволяет графически найти все значения а, при котором она не имеет
решения. Мы ищем все такие значения параметра а, при которых прямые пучка y=-a(x+2)
не имеет общих точек с параболой
на промежутке [1; +). При
общих точек нет. Значение найдём из того условия, что прямая y= -a(x+2) проходит через
точку М(1;12):
y=x^2+2*x+9
y=4*x+8
Задача №2:
Решить систему уравнений
Решение:
1 способ.
Следовательно:
Получаем систему уравнений
Ответ: x=1, y=1, z=1.
в которой очевидны корни .
2 способ.
Выразив из первого уравнения z через x и y и подставив найденное выражение во второе
уравнение, после несложных преобразований получаем уравнение:
Очевидно, что дискриминант не положителен при всех значениях у.
Следовательно, уравнение может иметь решения только при D=0 , т.е. у=1. Тогда
Ответ: x=1, y=1, z=1.
3 способ.
3 способ:
Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи. Уравнение
описывает плоскость, пересекающую координатные оси в точках А(3; 0; 0), В(0; 3; 0) и С(0;
0; 3), а уравнение (2)- сферу с центром в начале координат О и радиусом, равным . Для
выяснения того, что представляет собой пересечение сферы с плоскостью, нужно сравнить
радиус сферы с расстоянием от её центра до плоскости. Расстояние от точки О до
плоскости АВС можно найти, вычислив высоту OD тетраэдра ОАВС.
Отсюда находим что OD=
, радиус сферы в точности равен расстоянию от её центра до
плоскости. Это означает, что плоскость касается сферы и исходная система имеет
единственное решение, которое легко угадывается.
Ответ: x=1, y=1, z=1.
4 Способ.
Решение x=у=z=1 легко угадывается. Докажем, что система не имеет других решений.
Сделаем замену переменных: а=х+1, b=y+1, c=z+1. Тогда в новых переменных уравнение
x+y+z=3 примет вид a+b+c=0. Преобразуем второе уравнение системы:
Осталось решить полученную систему уравнений, ответ в которой очевиден:
Ответ: x=1, y=1, z=1.
Список используемой литературы:
1. Научно-методический журнал «Математика в школе»
2. Научно-популярный журнал «Квант»
3. Першин А.И. Воронина О.А. «Задачи с параметрами»
4. С. Н. Олехник, М. К. Потапов Б. И. Пасиченко «Алгебра и начало анализа»
5. «Уравнение и не равенства: учебно-методическое пособие для учащихся 10-11
классов»
6. В. П. Моденов «Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод: учебное
пособие»