*

*
*







Как
Как
Как
Как
Как
Как
Как
решить уравнение по математике.
быстро решить уравнение.
решить простое уравнение.
решить логарифмическое уравнение.
решить неравенство логарифмов.
решить квадратное уравнение.
решить квадратное неравенство.
*Как решить уравнение
по математике
*Слово "уравнение" говорит о том, что
записывается некое равенство. В нем есть
известные и неизвестные величины.
Существуют уравнения разного типа логарифмические, показательные,
тригонометрические и другие. Рассмотрим,
как научиться решать уравнения, на
примере линейных уравнений.
*Научитесь решать простейшее линейное уравнение
вида ax+b=0. x - это неизвестное, которое надо
найти. Линейными называются уравнения, в которых
x может быть только в первой степени, никаких
квадратов и кубов. a и b - любые числа, причем a не
может равняться 0. Если a или b представлены в
виде дробей, то в знаменателе дроби никогда не
бывает x. Иначе может получиться не линейное
уравнение. Решается линейное уравнение просто.
Переносим b на другую сторону знака равенства. При
этом знак, который стоял перед b, меняется на
противоположный. Был плюс - станет минус.
Получаем ax=-b.Теперь находим x, для чего делим
обе части равенства на a. Получаем x=-b/a
*1
* Чтобы решать более сложные уравнения, запомните 1-е
тождественное преобразование. Смысл его в
следующем. К обеим частям уравнения можно
прибавить одно и то же число или выражение. И по
аналогии - от обеих частей уравнения можно отнять
одно и то же число или выражение.Пусть имеется
уравнение 5x+4=8. Отнимем от левой и правой части
одно и то же выражение (5x+4). Получаем 5x+4(5x+4)=8-(5x+4). После раскрытия скобок имеет 5x+4-5x4=8-5x-4. В итоге получается 0=4-5x. При этом выглядит
уравнение по-другому, но суть его осталась прежней.
Исходное и конечное уравнения называются
тождественно равными.
*2
*Запомните 2-е тождественное
преобразование. Обе части уравнения
можно умножить на одно и то же число
или выражение. По аналогии - обе части
уравнения можно разделить на одно и то
же число или выражение. Естественно, не
следует умножать или делить на 0.Пусть
имеется уравнение 1=8/(5x+4). Умножим
обе части на одно и то же выражение
(5x+4). Получаем
1*(5x+4)=(8*(5x+4))/(5x+4). После
сокращения получаем 5x+4=8.
*3
* Научитесь с помощью упрощений и преобразований приводить
линейные уравнения к знакомому виду. Пусть
имеется уравнение (2x+4)/3-(5x-2)/2=11+(x-4)/6.
Это уравнение точно является линейным, потому что x находится в
первой степени и в знаменателях дробей x отсутствует.
Но уравнение не похоже на простейшее, разобранное на 1-м
шаге.Применим 2-е тождественное преобразование. Умножим обе
части уравнения на число 6 - общий знаменатель всех дробей.
Получаем 6*(2x+4)/3-6*(5x-2)/2=6*11+6*(x-4)/6. После сокращения
числителя и знаменателя имеем 2*(2x+4)-3*(5x-2)=66+1*(x-4). Раскроем
скобки 4x+8-15x+6=66+x-4. В итоге 14-11x=62+x.Применим 1-е
тождественное преобразование. Отнимем от левой и правой части
выражение (62+x). Получаем 14-11x-(62+x)=62+x-(62+x). В итоге 1411x-62-x=0. Получаем -12x-48=0. А это - простейшее
линейное уравнение, решение которого разобрано на 1-м шаге.
Сложное начальное выражение с дробями мы представили в обычном
виде, используя тождественные преобразования.
*
*4
*Часто ошибки допускаются при раскрытии
скобок. Помните о том, что если перед
скобкой стоит знак минус, при избавлении от
скобки знаки меняются на противоположные.
Например, на 4-м шаге открывали скобку (62+x)=-62-x.
Подробнее: http://www.kakprosto.ru/kak-16117-kakreshit-uravnenie-po-matematike#ixzz2nRpaIUXx
*
* Решайте больше уравнений по учебнику, в
конце которого есть ответы. Контролируйте
правильность выполнения заданий.
Подробнее: http://www.kakprosto.ru/kak16117-kak-reshit-uravnenie-pomatematike#ixzz2nRpj2XuZ
*
*Как решать квадратное
уравнение
Квадратное уравнение – уравнение вида
аХ2 + bх + с = 0.
Найти его корни не представляет сложности,
если воспользоваться нижеприведенным
алгоритмом.
В первую очередь необходимо найти
дискриминант квадратного уравнения. Он
определяется по формуле: D = b2 – 4ac.
Дальнейшие действия зависят от полученной
величины дискриминанта и делятся на три
варианта
*1
Вариант1. Дискриминант меньше нуля. Это означает,
что квадратное уравнение не имеет решений в
действительных числах.
Вариант 2. Дискриминант равен нулю. Это
означает, что квадратное уравнение имеет
один корень. Определить этот корень можно
по формуле: х = -b/(2a).
Вариант 3. Дискриминант больше нуля. Это
означает, что квадратное уравнение имеет два
различных корня. Для дальнейшего определения
корней надо найти квадратный корень из
дискриминанта. Формулы для определения этих
корней:х1 = (-b + Д)/(2а) и х2 = (-b - Д)/(2а), где Д –
квадратный корень из дискриминанта.
*2
Пример:
Дано квадратное уравнение: х2 – 4х – 5 = 0, т.е. а = 1; b = -4; с
= -5.
Находим дискриминант: D = (-4)2 – 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36.
D > 0, квадратное уравнение имеет два различных корня.
Находим квадратный корень из дискриминанта: Д = 6.
По формулам находим корни квадратного уравнения:
х1 = (-(-4) + 6)/(2*1) = 10/2 = 5;
х2 = (-(-4) - 6)/(2*1) = -2/2 = -1.
Итак, решением квадратного уравнения х2 – 4х – 5 = 0
являются числа 5 и -1.
*3
*Как быстро решить
уравнение
* Чтобы быстро решить уравнение, нужно максимально
оптимизировать количество шагов по нахождению его
корней. Для этого применяют различные методы
приведения к стандартному виду, который предусматривает
применение известных формул. Одним из примеров такого
решения может служить использование дискриминанта.
*
*
Подробнее: http://www.kakprosto.ru/kak-130664-kak-bystroreshit-uravnenie#ixzz2nRrjWmTL
*Решение любой математической задачи
может быть разделено на конечное
число действий. Чтобы быстро решить
уравнение, нужно правильно определить его
вид, а затем подобрать соответствующее
рациональное решение из оптимального
количества шагов.
*1
*Практические применения математических
формул и правил подразумевают
теоретические знания. Уравнения – это
довольно широкая в рамках школьной
дисциплины тема. По этой причине в
самом начале ее изучения нужно выучить
некоторый набор основ. К ним относятся
виды уравнений, их степени и подходящие
методы решения.
*2
*Ученики средней школы, как правило,
решают примеры на использование одной
переменной. Самым простым видом
уравнения с одной неизвестной является
линейное уравнение. Например, х - 1 = 0,
3•х = 54. В этом случае нужно просто
перенести аргумент х в одну сторону
равенства, а числа – в другую, используя
различные математические действия:
х – 1 = 0 |+1; х = 1;
3•х = 54 |:3; х = 18.
*3
*Не всегда линейное уравнение можно
выявить сразу. Пример (х + 5)² – х² = 7 + 4•х
тоже относится к этому виду, однако
выяснить это можно лишь после раскрытия
скобок:
*(х + 5)² – х² = 7 + 4•х
*х² + 10•х + 25 – х² = 7 + 4•х → 6•х = 18 → х =
3.
*4
*В связи с описанной трудностью при
определении степени уравнения не следует
опираться на наибольший показатель
степени выражения. Сначала упростите его.
Старшая вторая степень является признаком
квадратного уравнения, которое, в свою
очередь, бывает неполным и приведенным.
Каждый подвид подразумевает свой
оптимальный метод решения.
*5
*Неполное уравнение – это равенство вида х² = C, где C
– число. В этом случае нужно просто извлечь
квадратный корень из этого числа. Только не забудьте
про второй отрицательный корень х = -√C.
Рассмотрите несколько примеров уравнения,
приводимого к неполному квадратному:
*•
Замена переменной:
* (х + 3)² - 4 = 0
* [z = х + 3] → z² - 4 = 0; z = ±2 → х1 = 5; х2 = 1.
*•
Упрощение выражения:
* 6•х + (х - 3)² – 13 = 0
* 6•х + х² – 6•х + 9 – 13 = 0
* х² = 4
* х = ± 2.
*6
* В общем виде квадратное уравнение выглядит так: A•х² +
B•х + C = 0, а метод его решения основывается на расчете
дискриминанта. При B = 0 получается неполное уравнение,
а при A = 1 – приведенное. Очевидно, что в первом случае
дискриминант искать не имеет смысла, к тому же это не
способствует увеличению скорости решения. Во втором
случае также существует альтернативный способ, который
называется теоремой Виета. Согласно ей сумма и
произведение корней приведенного уравнения связаны со
значениями коэффициента при первой степени и
свободного члена:
* х² + 4•х + 3 = 0
* х1 + х2 = -4; х1•х2 = 3 – соотношения Виета.
* х1 = -1; х2 = 3 – по методу подбора.
*7
*Помните, что при условии целочисленного
деления коэффициентов уравнения В и С на
А, приведенное уравнение можно получить
из исходного. Иначе решайте через
дискриминант:
*16•х² – 6•х - 1 = 0
*D = B² – 4•A•C = 36 + 64 = 100
*х1 = (6 + 10)/32 = 1/2; х2 = (6 - 10)/32 = 1/8.
*8
*Уравнения высших степеней, начиная от
кубического A•х³ + B•х² + C•х + D = 0,
решаются различными способами. Один из
них – подбор целых делителей свободного
члена D. Затем исходный многочлен делится
на двучлен вида (х + х0), где х0 –
подобранный корень, и степень уравнения
снижается на единицу. Точно так же можно
решать уравнение четвертой степени и выше.
*9
*Рассмотрите пример с предварительным приведением
к общему виду:
*х³ + (х - 1)² + 3•х – 4 = 0
*х³ + х² + х – 3 = 0
*Возможные корни: ±1 и ±3. Подставьте их поочередно
и посмотрите, получится ли равенство:
*1 – да;
*-1 – нет;
*3 – нет;
*-3 – нет.
*10
*Итак, вы нашли первое решение. После
деления на двучлен (х - 1) получается
квадратное уравнение х² + 2•х + 3 = 0. Теорема
Виета не дает результатов, следовательно,
вычислите дискриминант:
*D = 4 – 12 = -8 < 0.
*Школьники средних классов могут заключить,
что корень у кубического уравнения всего
один. Однако старшие ученики, изучающие
комплексные числа, легко определят
оставшиеся два решения:
*х = -1 ± √2•i, где i² = -1
*11
*Как решить простое
уравнение
Впервые с уравнениями сталкиваются
учащиеся начальной школы, сами того не
подозревая. Они логическим путем ищут
неизвестный член примера, подставляя
вместо него возможные варианты чисел.
Само же уравнение в том виде, которое
привычно для всех учащихся, немного
отождествлено, обобщено: неизвестное
число ищется сложнее и обозначается, как
правило, буквой латинского алфавита.
* Пусть дано уравнение: 4х - 6 + 3х = 43. Это простое
уравнение, не имеющее в своем составе степеней.
Алгоритм решения линейного уравнения:- Перенести
известные члены (просто числа) уравнения в правую
часть от знака равенства, а неизвестные (все члены
содержащие букву) – в левую. У вас должно получиться
вот что: 4х+3х = 43+6. Кстати, при переносе члена в
противоположную сторону его знак меняется на
противоположный;- Сложить однородные члены (с
одинаковым основанием). У вас выйдет 7х=49.
Получиться пример, где среди трех составляющих
только одно неизвестно, прячущееся под знаком
«икс».Решить пример, чтобы найти «икс» - второй
множитель, нужно произведение разделить на первый
множитель: х=49:7, х=7. Ответ: x=7.
*1
*Иногда уравнения упрощены: 5х= - 25. Тогда
для решения такого примера, просто
нужно решить произведение, найдя один из
множителей, учитывая математический знак
числа.
Подробнее: http://www.kakprosto.ru/kak-26359-kakreshit-prostoe-uravnenie#ixzz2nRvk9vsO
* Логарифмические уравнения - это
уравнения, содержащие неизвестную под
знаком логарифма и/или в его основании.
Простейшими логарифмическими
уравнениями являются уравнения вида
logaX=b, или уравнения, которые можно
свести к этому виду. Рассмотрим как
различные виды уравнения можно свести к
данному типу и решить.
*Как решить уравнение
с логарифмом
*Из определения логарифма следует, что для
того чтобы решить уравнение logaX=b
необходимо совершить равносильный
переход a^b=x, если a>0 и a не равно 1, то
есть 7=logX по основанию 2, то x=2^5, x=32.
*1
*При решении логарифмических уравнений часто
переходят к неравносильному переходу,
поэтому необходима проверка полученных
корней, путем подстановки в данное уравнение.
Например, дано уравнение log(5+2x) по
основанию 0,8=1, путем неравносильного
перехода, получается log(5+2x) по основанию
0,8=log0,8 по основанию 0,8, можно опустить
знак логарифма, тогда получается уравнение
5+2х=0,8, решая данное уравнение получаем
х=-2,1. При проверки х=-2,1 5+2х>0, что
соответствует свойствам логарифмической
функции (область определения
логарифмической области положительна),
следовательно, х=-2,1 - корень уравнения.
*2
*Если неизвестное находится в основании
логарифма, то подобное уравнение
решается теми же способами. Например,
дано уравнение, log9 по основанию (x2)=2. Действуя также как и в предыдущих
примерах, получаем (х-2)^2=9, x^24x+4=9, x^2-4x-5=0, решая данное
уравнение X1=-1, X2=5. Так как основание
функции должно быть больше 0 и не
равно 1, то остается только корень X2=5.
*3
* Зачастую при решении логарифмических уравнений
необходимо применять свойства логарифмов:
* 1) logaXY=loda[X]+loda[Y]
* logbX/Y=loda[X]-loda[Y]
* 2) logfX^2n=2nloga[X] (2n - четное число)
* logfX^(2n+1)=(2n+1)logaX (2n+1 - нечетное число)
* 3) logX с основание a^2n=(1/2n)log[a]X
* logX с основание a^(2n+1)=(1/2n+1)logaX
* 4) logaB=1/logbA, b не равен 1
* 5) logaB=logcB/logcA, c не равен 1
* 6) a^logaX=X, X>0
* 7) a^logbC=clogbA
* Используя данные свойства, вы можете свести
логарифмическое уравнение к более простому типу, а далее
решать уже вышеуказанными способами.
*4
* Логарифмическое неравенство - это
неравенство, содержащее в себе
логарифмы. Если вы готовитесь сдавать ЕГЭ
по математике, важно уметь решать
логарифмические уравнения и неравенства.
*Как решить неравенство
логарифмов
*Переходя к изучению неравенств с
логарифмами, вы должны уже уметь решать
логарифмические уравнения, знать свойства
логарифмов, основное логарифмическое
тождество.
*1
*Решение всех задач на логарифмы начинайте с
нахождения ОДЗ - области допустимых
значений. Выражение под логарифмом должно
быть положительным, основание логарифма
должно быть больше нуля и не равняться
единице. Следите за равносильностью
преобразований. ОДЗ на каждом шаге должно
оставаться одним и тем же.
*2
*При решении логарифмических неравенств
важно, чтобы с двух сторон от знака
сравнения были логарифмы, причем с одним и
тем же основанием. Если с какой-либо
стороны представлено число, запишите его в
виде логарифма, применяя основное
логарифмическое тождество. Число b
равняется числу a в степени log, где log логарифм b по основанию a. Основное
логарифмическое торжество является, по
сути, определением логарифма.
*3
*Решая логарифмическое неравенство,
обратите внимание на основание логарифма.
Если оно больше единицы, то при избавлении
от логарифмов, т.е. при переходе к простому
числовому неравенству, знак неравенства
остается тем же. Если основание логарифма
от нуля до единицы, знак неравенства
меняется на противоположный.
*4
*Полезно помнить ключевые свойства
логарифмов. Логарифм единицы равен нулю,
логарифм числа a по основанию a равен
единице. Логарифм произведения равен сумме
логарифмов, логарифм частного равен
разности логарифмов. Если подлогарифменное
выражение возводится в степень B, то ее
можно вынести за знак логарифма. Если
основание логарифма возводится в степень A,
за знак логарифма можно вынести число 1/A.
*5
*Если основание логарифма представлено
некоторым выражением Q, содержащим
переменную x, необходимо рассмотреть два
случая: Q(x) ϵ (1;+∞) и Q(x) ϵ (0;1).
Соответственно этому ставится и знак
неравенства при переходе от
логарифмического сравнения к простому
алгебраическому.
*6
*Как решить квадратное
неравенство
Решение квадратных неравенств и уравнений –
основная часть школьного курса алгебры. На умение
решать квадратные неравенства рассчитано
множество задач. Не стоит забывать и о том, что
решение квадратных неравенств пригодится
учащимся как при сдаче Единого Государственного
Экзамена по математике и поступлении в ВУЗ.
Разобраться же в их решении довольно просто.
Существуют различные алгоритмы. Один из наиболее
простых: решение неравенств методов интервалов.
Он состоит из простых шагов, последовательное
выполнение которых гарантировано приводит
учащегося к решению неравенства.
Метод интервалов на графике
*Умение решать
квадратные уравнения
*
*Для того, чтобы решить квадратное
неравенство методом интервалов, сперва
нужно решить соответствующее квадратное
уравнение. Переносим все члены уравнения с
переменной и свободный член в левую часть,
в правой части остается ноль. Корни
квадратного уравнения, соответствующего
неравенству (в нем знак "больше" или
*"меньше" заменен на "равно") можно найти по
известным формулам через дискриминант.
*1
*На втором этапе мы записываем неравенство в
виде произведения двух скобок (x-x1)(x-x2)<>0.
3Отмечаем найденные корни на числовой оси.
*Отмечаем найденные корни на числовой оси.
Далее мы смотрим на знак неравенства. Если
неравенство строгое ("больше" и "меньше"), то
точки, которыми отмечаем корни на
координатной оси пустые, в противном случае
("больше или равно").
*2
*Берем число, левее первого (правого на
числовой оси корня). Если при подстановке
этого числа в неравенство, оно оказывается
правильным, то интервал от "минус
бесконечности" до самого малого корня
является одним из решений уравнения, наравне
с интервалом от второго корня до "плюс
бесконечности". Иначе решением будет
интервал между корнями.
*3
*
*Не ошибитесь при решении
соответствующего квадратного
уравнения - в данном случае вы
неправильно решите неравенство.
*
*Не забывайте о том, строгое или
нестрогое неравенство решаете.
Если неравенство строгое, то
ставим круглые скобки (то есть не
берем в интервал корень
уравнения), иначе берем его в
промежуток (ставим квадратные
скобки).
*Полезен ли совет?