Октаэдр

Подготовила:
Клюкина Полина
10 А класс
Шадринск 2013
Октаэдр
 Октаэдр одна из геометрических фигур, которую относится к сакральной
геометрии, алхимии и изучается в стереометрии. Эта фигура называется
платоновым телом и является одним из пяти священных фигур, одним из пяти
правильных многогранников. Его соотносят со стихией воздуха, эфиром, с
энергетическим телом человека. Слово октаэдр состоит из двух слов: восемь и
грань, другими словами октаэдр - это восьмигранник, ограниченный восемью
треугольниками, обладающий симметрией. Эта геометрическая фигура состоит из
8 граней, 6 вершин (в каждой из которых, сходится 4 ребра) и 12 ребер. Сумма углов
октаэдра составляет 240°. Октаэдр считается антипризмой, имеющей треугольное
основание.
,
 Если длина ребра октаэдра равна а, то площадь его
полной поверхности (S) и объём октаэдра (V)
вычисляются по формулам:
 Радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:
 Радиус вписанной в октаэдр сферы может быть
вычислен по формуле:
 Как и все правильные многогранники, октаэдр
обладает симметрией.
 Три из 9 осей симметрии октаэдра проходят через
противоположные вершины, шесть - через середины
ребер.
Центр симметрии октаэдра - точка пересечения его
осей симметрии.
 Три из 9 плоскостей симметрии тетраэдра проходят
через каждые 4 вершины октаэдра, лежащие в одной
плоскости.
Шесть плоскостей симметрии проходят через две
вершины, не принадлежащие одной грани, и середины
противоположных ребер.
Свойства октаэдра
 Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре (из
восьми) граней октаэдра будут совмещены с четырьмя
гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут
совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.
 Октаэдр с ребром в состоит из 6 октаэдров (по
вершинам) с ребром в 2 и 8 тетраэдров (по граням) с
ребром у: 2
 Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть
вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести
граней куба.
 В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь
вершин куба будут расположены в центрах восьми
гранях октаэдра.
Виды октаэдров
 Октаэдр Брикара. В 1897 французский математик Брикар году доказал, что
существуют изгибаемые октаэдры, эти фигуры не имеют самопересечений и
являются невыпуклыми.
 Существует еще один октаэдр, который был открыт Леонардо да Винчи, и
называется он - звездчатый октаэдр. Его можно рассматривать, как соединение двух
тетраэдров. Сто лет спустя звездчатый октаэдр был заново открыт Иоганном
Кеплером, который назвал его звезда восьмиугольная.
 Где можно встретить октаэдр? Чаще всего эту фигуру можно
встретить в природе. Алмазы часто имеют вид октаэдра. Уже в XIV
веке стали делать огранку, которая повторяет эту геометрическую
фигуру.
 Другие минералы тоже имеют форму октаэдра, например куприт
(красная медная руда). Так же октаэдр можно найти среди других
руд: самородная медь, малахит, лимонит. Такие минералы, как
хлорид натрия (поваренная соль), оливин, перовскит, шпинель,
флюорит тоже имеют форму этой геометрической фигуры.
Различные металлы, например никель, магний, титан, лантан
имеют структуру пор и пустот похожую на октаэдр
 Совсем недавно была представлена интересная находка из
Марокко - графитовые кристаллы, имеющие форму октаэдра. Это
удивительно, потому что никогда раньше не встречался графит
такой конфигурации. Природа продолжает творить божественные
фигуры, преподнося нам изумительное открытия и необычные
геометрические подарки.