Лекция 6. Представление систем на стандартном симплексе

Представление систем на
стандартном симплексе
Представление систем на стандартном симплексе
Определение. Стандартным симплексом S называется фазовое
пространство
n
S  {( x1 ,, xn ) : xi  0,
i  1, n,
x
i 1
i
 1}.
Определение. Вид системы
n
xi   i t , x   xi   j t , x , i  1, n
(1)
j 1
называется заданием системы на стандартном симплексе через функции
перехода, где  i t , x  положительно однородные по x.
Математическое моделирование
процессов отбора
2
Первая теорема о представлении
Теорема 1.1 (Первая теорема о представлении).
Любая система xi  Fi t , x1 ,, xn  на стандартном симплексе S
n
может быть представлена в виде x i   i t , x   xi   j t , x ,
(i  1, n),
j 1
где функции  i t , x  квазиположительные, положительно однородные
по переменным x. При этом, если функции Fi t.x  удовлетворяют
Условию Липшица по x хотя бы в некоторой окрестности
симплекса S
n


x1 ,, xn  : 0     xi    , xi  0, i  1, n,
i 1


(2)
где  ,  - некоторые положительные константы, то для функций  i t , x 
также будет выполняться условие Липшица в этой окрестности.
Математическое моделирование
процессов отбора
3
Доказательство.
Пусть  i t , x   Fi (t ,
n
x
) x j .
n
x
i 1
j 1
j
На стандартном симплексе S:  i t , x   Fi t , x .
Если Fi квазиположительны, то  i также квазиположительны..
Условие положительной однородности:
 i t , x   Fi (t ,
x
n
) x j   i t , x  при   0.
n
 x
i 1
i 1
j
n
Так как на симплексе S справедливо
n
 F (t , x)  0 , то и   (t , x)  0.
i
i 1
i 1
i
Тогда на симплексе S:
n
Fi t , x    i t , x   xi   j t , x ,
(i  1, n).
j 1
Пусть x, x - произвольные точки из окрестности (2) симплекса S, тогда точки
x
Математическое моделирование
процессов отбора
x
n
x x
j 1
принадлежат симплексу S.
,
n
j
j 1
j
4
Существует константа L такая, что
n
Fi t , x   Fi t , x   L x k  x k ;
k 1
| Fi (t ,
x
x
j 1
L
 2

)  Fi (t ,
n
n
j
) | L |
n
x
i 1
n
n
x
k 1
j
xk

n
n
j
j 1
n
L
| 2

n
x x
j 1
n
xk
n
| x  x
k 1
k
j 1
n
x k  x j | 
j
j 1
j
L
( xk  | x j  x j |  | xk  xk |  x j )  2


k 1
j 1
j 1
n
n
L
| x k  x j x k  x j x k  x j  x k  x j |  2


k 1
j 1
j 1
j 1
j 1
n
Т.к. Fi непрерывны, то M  const такая, что | Fi (t ,
n
x
) | M ,
n
x
j 1
n
| x
k 1
k
 x k |.
(i  1, n),
j
при любом выборе точки x из окрестности (2) симплекса S. Тогда
|  i t , x    i t , x  || Fi (t ,
(
2
) x j  Fi (t ,
n
x
j 1
L 2
n
x
j 1
j
n
x
) x j  Fi (t ,
n
x
i 1
j 1
j
n
x
) x j  Fi (t ,
n
x
i 1
j 1
j
n
x
) x j |
n
x
i 1
j 1
j
n
 M ) | x k  x k |.
k 1
Что и требовалось доказать.
Математическое моделирование
процессов отбора
5
Если система на стандартном симплексе автономная, то первую теорему
о представлении можно усилить.
Теорема 1.2
Пусть система xi  Fi t , x1 , xn , (i  1, n), на стандартном симплексе
является автономной. Тогда на симплексе S ее можно представить в виде
n
~
~
x i   i t , x   xi   j t , x , (i  1, n),
(3)
j 1
~
где функции  i квазиположительные, положительно однородные,
удовлетворяют условию Липшица в окрестности симплекса и, кроме
того, неотрицательные.
Математическое моделирование
процессов отбора
6
Доказательство.
По Теореме 1.1 для автономной системы x i  Fi t , x1 ,, x n  на стандартном симплексе
справедливо представление
n
x i   i t , x   xi   j t , x , где функции  i   i x 
j 1
не зависят от переменной t и непрерывны по x, квазиположительны, положительно
однородны, удовлетворяют условию Липшица.
0
Тогда для произвольных точек x  x1 ,, xn , M i  x1 ,, xi 1 ,0, xi 1 ,, xn  из симплекса S
справедливо


|  i  x    i M i0 | Lxi , (i  1, n),
где L – положительная константа. Следовательно
 
 i  x   Lxi   i M i0 ,
(i  1, n).
0
Так как  i квазиположительны, то  i M i   0, и
 i x   Lxi  0, (i  1, n).
Возьмем
~
 i x    i x   Lxi , (i  1, n).
Математическое моделирование
процессов отбора
7
Для любой точки x  S справедливо
n
n
n
~
~
 i  xi   j   i  Lxi  xi   j  xi  Lx j 
j 1
j 1
j 1
n
n
n
j 1
j 1
j 1
  i  Lxi  xi   j  Lxi  x j   i  xi   j ,
(i  1, n).
~
Значит правые части системы (1) от замены  i на  i на симплексе S не меняются,
и для этой системы справедливо (3).
Что и требовалось доказать.
Математическое моделирование
процессов отбора
8
Вторая теорема о представлении
Теорема 2.1 (Вторая теорема о представлении).
Пусть система на стандартном симплексе задана через функции перехода
 i t , x . Тогда отношения компонент ее решения
уравнениям
d  xi  xi   i (t , x)  j (t , x) 


,




dt  x j  x j  xi
xj 
если
xi t , x j t 
xi
удовлетворяют
xj
(i  1, n),
(4)
ни в один момент времени не обращаются в ноль.
Математическое моделирование
процессов отбора
9
Доказательство.
Для непрерывного отношения
d  xi
dt  x j

в силу уравнений (1) выполняется
 x j x i  xi x j


2

x
j

n

xi
xj
n
x j ( i t , x   xi   k t , x )  xi ( j t , x   x j   k t , x )
k 1
k 1
x
x j  i t , x   xi  j t , x 
x 2j

xi
xj
2
j

  i (t , x)  j (t , x) 

.

 x

x
i
j


Что и требовалось доказать.
Математическое моделирование
процессов отбора
10
Теорема 2.2.
Пусть в системе (4) функции  i t , x  - квазиположительные, положительно
однородные по переменным x. Если система (4) при любых положительных
начальных условиях из стандартного симплекса S имеет решение
с положительными компонентами xi t , то система (1) будет единственной
системой на стандартном симплексе, которой удовлетворяют переменные
xi t , i  1, n.
Математическое моделирование
процессов отбора
11
Доказательство.
x удовлетворяет одновременно (1) и (4). Докажем, что не существует другой системы
на симплексе S, кроме (1), которой удовлетворяют переменные (4).
Пусть на симплексе S существует система
(5)
x i  Ri t , x ,
не совпадающая с системой (1), которой удовлетворяет решение (4). Систему (5) можно
записать в виде
n
(6)
x i  Gi t , x   xi  G j t , x ,
j 1
где Gi t , x  - квазиположительные, положительно однородные по переменным x.
Справедливо
 i t , x   j t , x  Gi t , x  G j t , x 
i, j  1,, n.



xi
xj
xi
xj
Тогда x j  i t , x   xi  j t , x   x j Gi t , x   xi G j t , x  и просуммировав по j получаем
n
n
n
n
j 1
j 1
j 1
j 1
 i t , x  x j  xi   j t , x   Gi t , x  x j  xi  G j t , x , (i  1, n).
Так как
n
x
j 1
j
 1, то системы (1) и (6) тождественно совпадают.
Что и требовалось доказать.
Математическое моделирование
процессов отбора
12