Лекция 13. Системы близкие к системам отбора

Системы
близкие к системам
отбора
Введение

С точки зрения практики бывает нецелесообразно различать случаи,
когда в системе на стандартном симплексе:
x1  1, t  
   и    
x1  1  , t  
 Например, у твердого тела, находящегося в состоянии
термодинамического равновесия, происходят микроскопические
флуктуации – отклонения от абсолютно равномерного нагрева.
В обыденной жизни эти флуктуации
никто не замечает, и считается,
что температура тела во всех точках
одинакова.
T1  t
T2  t  
T3  t  
T1  T2  T3
В связи с этим имеет смысл выделить класс систем,
близких по своему поведению к системам строгого отбора.
Математическое моделирование
процессов отбора
2
Определение
.
x j  Fi(t,x1 ,...,xn ),i  1,n
Система
на стандартном симплексе S является близкой к системе отбора,
если существует положительное число ε (0<ε<<1) такое, что при
любых начальных условиях, принадлежащих симплексу, с
ненулевой j-й координатой, найдется момент времени Т, начиная
с которого xj(t)>1-ε, t>T .
x1(t)>1-ε для всех t>T
Математическое моделирование
процессов отбора
3
Теорема 1
.
.
Автономная система x j  Fi(x),i  1,n
на стандартном симплексе S является близкой
к системе отбора, если выполнено условие:
F1(x)>0 при_0  x1  1  
если
для
то
Математическое моделирование
процессов отбора
Система близкая
к системе отбора
4
Доказательство
t
x1 (t )  x1 (t0 )   F1 ( x( )) d
x1=1-ε
t0
F1(x) непрерывна на компакте К:
x1=x1(t0)
К
x2=ε/2
x3=ε/2
x1(t0)>0
 Если
 inf F1 ( x)
K
то из
x1(t)> β(t-t0)
F1(x) β>0
x1(t)> 1-ε
при t=T=t0+(1-ε)/β
Математическое моделирование
процессов отбора
5
При всех значениях t>T справедливо неравенство x1(t)1-ε.
Покажем это.
пусть
Предположим обратное:
t2 >T
тогда, так как
x1(t2)<1-ε
x1(t)-непрерывная
функция:
Tt1< t2
x1(t1)=1-ε
x1(t 2 )  x1(t1 )
 F1(x(t2 ))  0
t 1  t 2 0
t 2  t1
Что противоречит изначальному условию:
lim
F1(x)>0.
Математическое моделирование
процессов отбора
Теорема доказана.
6
Теорема 2
n
.
x i  Фi ( x)  xi  Ф j ( x), i  1, n
Система
,
j 1
где Фi(x) – квазиположительные, положительно однородные
функции, является близкой к системе отбора, если выполнено
условие
Ф1(x) Фi(x) при 0<x1 1-ε, xi 0, i  2,n .
x1
если

xi
Система
близкая к
то системе
отбора
для
Математическое моделирование
процессов отбора
7
Доказательство
n
 x  0,i  2,n
1
0,i  E, в некоторой точке области, вырезаемой
Предположим xi  
из стандартного симплекса условием
 0< x1 1-ε.
 0,i  E
Для i  E :
Фi ( x1 ,..., xn ) Ф1 ( x1 ,..., xi 1 ,0, xi 1 ,..., xn )
Поскольку x1 
i2
0  lim
xi 0
i
xi

.
x1
Отношение Ф1(x) / x1 ограниченно в рассматриваемой области, необходимо
выполнение условий: Фi(x1,...,xi 1,0,xi 1,...,xn )  0,i  E.
n
Ф1xi= Фix1, i  E
Просуммировав отдельно правые
Ф1xi>Фix1 , i  Е
и левые части этих неравенств
Ф1(1  x1 )  x1  Фi  0
при
0  x1  1  
по всем индексам i  Е  Е, получим
Это означает выполнение
требования теоремы 1:
i 2
n
Fi  Ф1 ( x)  x1  Фi ( x)  0
i 2
Математическое моделирование
процессов отбора
Теорема доказана.
8
Теорема 3
.
n

Для того чтобы система x i  Фi(x)  xi Ф j(x),i  1,n
j 1
была близкой к системе отбора,
достаточно,
чтобы
выполнялись
n
неравенства
Ф j(x)

Ф1(x) j  2
при 0  x1  1   .
 n
x1
 xj
j 2
если
система
то близкая
к системе
отбора
для
Математическое моделирование
процессов отбора
9
Доказательство
Решение системы
n
.
x i  Фi(x)  xi  Ф j(x),i  1,n принадлежит симплексу.
j 1
n
x
0  x1  1  
j 2
j
 1  x1  
n
n
Из Ф1 ( x)
x1

 Ф ( x)
j
j 2
n
x
j 2
j
Ф1(1  x1 )  x1  Фi
n
i 2
Ф1(x)  Ф1 x1  x1  Фi(x)  0
i 2
n
Ф1(x)  x1  Фi  0
i 1
Выполнены требования теоремы 1.
Математическое моделирование
процессов отбора
Теорема доказана.
10
Пример 1
n
.
Рассмотрим систему на стандартном симплексе xi  ai xi    xi  (a j x j   ), i  1, n .
j 1
аi – положительные константы, а1 > а2 >… > аn;
µ - некоторый параметр, 0<µ  1.
Покажем, что для нашей системы выполнено требование теоремы
3
n
 Ф (x)
(a j x j
при некотором ε:
Ф (x)
μ 
n
1

j
j 2
n
a1 
x1
x
Проведем оценку правой и левой
части неравенства:
n
Если коэффициенты а , а и параметр µ таковы,
(a j x j  μ)

что выполнено следующее неравенство,
a2  nμ
j 2
то
система
близка к системе отбора в силу теоремы 3.

,
1  x1
ε
μ a  nμ
x1
j 2
j
1
μ
μ
a1   a1 
.
x1
1 ε
a1 


μ)
j 2
1  x1
2

1 ε
2
ε
Укажем ε-окрестность
точки x=(1,0,…,0),
в которую заведомо попадает
решение системы:
a  a 2  4a1 (a2  n)
a  a 2  4a1 (a2  n) , где a=a +a +µ(1+n).
1
2

2a1
2a1
Математическое моделирование
Например, если a1=4,процессов
a2=1, n=4,
µ=0,003
отбора
ε(0,25;1).
11
Пример 2
Модель «хищник-n жертв»
с учетом возможности возникновения мутации.
жертвы
потомство
с вероятностьюfij
j-го вида
генотипа i
Данная модель описывается системой:
ai, k, b, s – положительные постоянные;
начальные условия: zi(t0)=zi0, y(t0)=y0, i  1, n .
n
.
 z i   f ij a j z j  kyzi , i  1, n

j 1
.
n
 y  b z y  sy

i

i 1
zi
Замена:
xi 
n
z
j 1
От системы переходим к рассмотрению
динамики удельных численностей жертв:
, i  1, n
.
n
n
n
xi   fij a j x j  xi  flj a j x j , i  1, n
j
Покажем,
что для этой системы
справедливо требование теоремы 3:
j 1
n
f
j 1
l 1 j 1
n
1j
ajxj
x1

n
 f
i  2 j 1
n
Математическое моделирование
процессов отбора
ij
x
i 2
ai x j
i
12
Оценим правую и левую части неравенства при условиях: 0  x1  1  ,
x
n
n
f
j 1
ajxj
x1
 f11a1 
f
j 2
1j
ajxj
x1
j 2
j
 1  x1   ,
n
max  f ij   f i1  1  f11.
n
1j
n
j 1, n

 f11a1  an
min f1 j ,
1   j  2,n
n
n
 f
i  2 j 1
n
n
ij
x
i 2
i2
i j
ajxj

i 2
n
a2 f 22  xi  a1 (1  f11 ) xi
i 2
i
i 1
n
x
i 2
 a2 f11 
a1 (1  f11 )

.
i
Если коэффициенты fij, аi таковы,что выполнено следующее неравенство,
то система близка к системе отбора в силу теоремы 3.

a1 (1  f11 )
2

(
a

a
f
)


a
(
1

f
)  0.
f
a

a
min
f

a
f

1
2
11
1
11
11 1
n
1j
2 11
j

2
,
n
1 

Обозначив:
  f11(a1  a2 )  an min f1 j , неравенство перепишется в виде
j 2,n
Если θ>0, то условие справедливо для следующих ε:
a1  a2 f11  D
a  a f  D где D=(a -a f )2-4θa (1-f ).
   1 2 11
,
1 2 11
1
11
2
2
Математическое моделирование
процессов отбора
13
а1
а2
аn
f11
ε
6
3
1
0,9
(0,22;1)
6
3
1
0,95
(0,1;1)
4
3
1
0,9
(0,44;1)
4
3
1
0,95
(0,21;1)
Рассмотрим динамику влияния
параметров на область определения ε.
минимальное
значение ε
f11
а1
Данный результат свидетельствует о том, что увеличение
коэффициента размножения жертв первого вида, а так же увеличение
вероятности того, что потомство первого вида жертв будет принадлежать
этому же классу, ведет к увеличению удельной численности жертв
первого вида среди остальных жертв.
Математическое моделирование
процессов отбора
14