§19. Скалярное поле и его характеристики

Математический анализ
Раздел: Функция нескольких переменных
Тема:
Скалярное поле
и его характеристики
Лектор Белов В.М.
2010 г.
§19. Скалярное поле
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть G – некоторая область в пространстве Oxyz [на плоскости xOy]. Говорят, что на G задано
скалярное поле, если в каждой точке MG определена
функция 3-х переменных u = f(M) [функция 2-х переменных
z = f(M)].
Поведение скалярного поля характеризуют
1) производная по направлению;
2) градиент.
1. Производная по направлению
Пусть z = f(x,y) определена в области DxOy ,
M0(x0,y0)D,
s̄ – некоторый вектор.
Пусть M(x0+x,y0+y) D , такая, что M 0 M ⇈ s̄̄ .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует и конечен
z ( M 0 )
z(M )  z(M 0 )
lim
 lim
M 0M 0 M 0 M
M 0M 0
M 0M
то его называют производной функции z = f(x,y) в точке
M0(x0,y0) по направлению вектора s̄ .
Обозначают:
f ( x , y ) z ( M )
0
0
,
0
s
s
f ( x0 , y0 ) z ( M 0 )
,


ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ПО
НАПРАВЛЕНИЮ
z ( M 0 )
M 0M
– средняя скорость изменения функции z = f(x,y) на
отрезке M0M .
z ( M 0 ) – скорость изменения функции z = f(x,y)
 lim
M 0M  0 M 0M
в точке M0(x0,y0) в направлении вектора s̄ .
Так же как и для функции одной переменной доказывается, что
z (M 0 )
1) если
 0 , то функция в точке M0(x0,y0) в направлеs
нии вектора s̄ возрастает;
z (M 0 )
2) если
 0 , то функция в точке M0(x0,y0) в направлеs
нии вектора s̄ убывает;
z ( M 0 )
3) если
 0 , то в направлении вектора s̄ функция не
s
изменяется.
 направление вектора s̄ – направление линии уровня функции, проходящей через точку M0
(вектор s̄ является касательным к линии уровня в точке M0).
Замечание.
Частные производные функции являются частным случаем
производной по направлению. А именно:
1) f x ( M 0 ) – производная функции по направлению вектора i (направлению оси Ox);
2) f y ( M 0 ) – производная функции по направлению вектора j (направлению оси Oy).
Пусть z = f(x,y) дифференцируема в точке M0(x0,y0). Тогда
z ( M 0 )  f x ( x0 , y0 )x  f y ( x0 , y0 )y    (x)2  (y)2 ,
где  – бесконечно малая при
( x ) 2  ( y ) 2  0
Обозначим | M0M | =  . Тогда
x =   cos , y =   cos
s
y
x
(x)  (y)   ,
2
2
где cos, cos – направляющие ко
синусы вектора s̄ .


M
y
M0
Следовательно,
z ( M 0 )  f x ( x0 , y0 )  cos  f y ( x0 , y0 )  cos     
x
Разделив на | M0M | =  и перейдя к пределу при   0, получим
z ( M 0 )
lim
 lim f x ( x0 , y0 ) cos  f y ( x0 , y0 ) cos   
M 0 M 0 M 0 M
 0


z ( M 0 )

 f x ( x0 , y0 ) cos  f y ( x0 , y0 ) cos  ,
s
где cos , cos – направляющие косинусы вектора s̄ .
Замечание. Аналогично определяется и обозначается производная по направлению для функции 3-х переменных u = f(x,y,z).
Для нее получим
u ( M 0 )
 f x ( M 0 ) cos  f y ( M 0 ) cos   f z( M 0 ) cos ,
s
где cos , cos , cos – направляющие косинусы вектора s̄.
2. Градиент
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Градиентом функции z = f(x,y) в точке
M0(x0,y0) называется вектор с координатами
f x ( x0 , y0 ) ,
Обозначают: gradz(M0).
f y ( x0 , y0 ) .
СВОЙСТВА ГРАДИЕНТА
1) gradz(M0) определяет направление, в котором функция в
точке M0 возрастает с наибольшей скоростью.
При этом | gradz(M0) | равен наибольшей скорости изменения
функции в точке M0.
2) gradz(M0) перпендикулярен к линии уровня функции
z = f(x,y), проходящей через точку M0.
Замечание. Для функции 3-х переменных градиент определяется и обозначается аналогичным образом, и сохраняет все
свои свойства.
§20. Полезные теоретические сведения
1. Формула Тейлора для функции одной переменной
Пусть y = f(x) дифференцируема в окрестности точки x0 .
Тогда
f(x0) = f (x0)  x + 1  x ,
где 1(x0,x) – бесконечно малая при x  0.
 f(x0 + x) = f(x0) + f (x0)  x + 1  x .
Обозначим x0 + x = x ,
 x = x – x0
и формула (1) примет вид:
f(x) = f(x0) + f (x0)  (x – x0) + 1  (x – x0) ,
где 1(x0,x) – бесконечно малая при x  x0.
(1)
(2)
Если y = f(x) n раз дифференцируема в окрестности точки x0 , то
применим n раз формулу (2) к функции i и получим (3):
( n)
f ( x0 )
f ( x0 )
f
( x0 )
f ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2 
( x  x0 )n 
1!
2!
n!
  n ( x  x0 )n
где n(x0,x) – бесконечно малая при x  x0.
Формулу (3) называют формулой Тейлора разложения функции f(x) по степеням (x – x0) (в окрестности точки x0).
Слагаемое
(n)
f ( x0 )
f ( x0 )
f
( x0 )
2
f ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 )   
( x  x0 )n
1!
2!
n!
называют многочленом Тейлора функции f(x) по степеням
(x – x0).
Слагаемое Rn = n  (x – x0)n называют остаточным членом
формулы Тейлора.
Остаточный член Rn можно записать в нескольких формах:
1) Rn = n  (x – x0)n = o((x – x0)n ) – форма Пеано;
2) если y = f(x) n + 1 раз дифференцируема в окрестности
точки x0 , то Rn можно записать в форме Лагранжа :
f ( n 1) (c)
Rn 
( x  x0 )n 1 ,
(n  1)!
где c – точка между x0 и x .
Если в формуле Тейлора x0 = 0 , то она примет вид (4):
f (0)
f (0) 2
f ( n) (0) n f ( n 1) (c) n 1
f ( x)  f (0) 
x
x 
x 
x .
1!
2!
n!
(n  1)!
Формулу (4) называют формулой Маклорена.
Применение формулы Маклорена (Тейлора):
1) в приближенных вычислениях (значений функций, определенных интегралов и т.п.);
2) при нахождении пределов.
2. Формула Тейлора для функции n переменных
Пусть y = f(x) n раз дифференцируема в окрестности точки x0 .
Тогда
d nf(x0) = f (n)(x0)  (x)n .
Если c – точка между x0 и x , то (0; 1) такое, что
c = x0 +   x .
Следовательно, формулу (3)
( n)
f ( x0 )
f ( x0 )
f
( x0 )
f ( x)  f ( x0 ) 
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2 
( x  x0 )n 
1!
2!
n!
  n ( x  x0 )n
можно записать в виде
df ( x0 ) d 2 f ( x0 )
d n f ( x0 ) d n 1 f ( x0    x)
f ( x )  f ( x0 ) 



.
1!
2!
n!
(n  1) !
Пусть z = f(x,y) n + 1 раз дифференцируема в некоторой
окрестности U точки M0(x0,y0).
Тогда, как и в случае функции y = f(x) справедлива формула
df ( M 0 ) d 2 f ( M 0 )
d n f (M 0 )
f (M )  f (M 0 ) 


 Rn , (5)
1!
2!
n!
где M(x0 + x,y0 + y)U
d n 1 f ( x0   x, y0   x)
Rn 
(n  1)!
(0    1)
и Rn = o(n) при   (x)2  (y)2  0.
Формулу (5) называют формулой Тейлора для функции z = f(x,y)
в окрестности точки M0(x0,y0) (по степеням (x – x0), (y – y0) ).
Слагаемое
df ( M 0 ) d 2 f ( M 0 )
d n f (M 0 )
f (M 0 ) 


1!
2!
n!
называют многочленом Тейлора функции f(x,y) в окрестности точки M0(x0,y0).
Слагаемое Rn называют остаточным членом формулы
Тейлора функции f(x,y) в окрестности точки M0(x0,y0).
Аналогичный вид имеет формула Тейлора для функций
большего числа переменных
3. Понятие квадратичной формы
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Многочлен n переменных x1, x2 , …, xn в
котором все члены имеют одинаковую степень, называется
однородным или формой.
ПРИМЕРЫ.
1) f(x1, x2 , x3) = 2x1 + 4x2 – 5x3
– однородный 1-й степени (линейная форма);
2) f(x1, x2) = 2x12 + x1x2 + 3x22
– однородный 2-й степени (квадратичная форма);
3) f(x1, x2) = x13 – x12x2 + x1x22 – 4x23
– однородный 3-й степени.
Общий вид квадратичной формы:
f(x1, x2 , …, xn) = a11x12 + a22x22 + … + annxn2 +
+ 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … +2a1nx1xn +
+ 2a23x2x3 + 2a24x2x4 + … +2a2nx2xn +
+ … + 2an–1,nxn–1xn .
Будем считать, что aij = aji .
Тогда квадратичную форму можно записать в виде
f ( x1 , x2 , , xn ) 
n
 aij xi x j
i , j 1
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратичная форма f(x1, x2 , …, xn) называется положительно (отрицательно) определенной если
f(x1, x2 , …, xn) > 0 [f(x1, x2 , …, xn) < 0]
для любых, не равных одновременно нулю, значений
переменных x1, x2 , …, xn .
Положительно и отрицательно определенные квадратичные
формы называются знакоопределенными.
Если квадратичная форма может принимать как
положительные, так и отрицательные значения, то она
называется неопределенной.
Симметрическая матрица из коэффициентов квадратичной
формы, т.е. матрица вида
 a11 a12  a1n 


a
a

a
2n 
A   12 22
     
a a a 
nn 
 1n 2 n
называется матрицей квадратичной формы.
Главными угловыми минорами квадратной матрицы C = (cij)
называются ее миноры вида
c11 c12 c13 c14
c11 c12 c13
c21 c22 c23 c24
c11 c12
c11 ,
,
c21 c22 c23 ,
è ò.ä.
c31 c32 c33 c34
c21 c22
c31 c32 c33
c41 c42 c43 c44
ТЕОРЕМА 1 (критерий Сильвестра).
1) Квадратичная форма положительно определена  все
главные угловые миноры ее матрицы – положительные.
2) Квадратичная форма отрицательно определена  знаки
главных угловых миноров ее матрицы чередуются, начиная с
минуса, т.е.
a11 a12 a13
a11 a12
a11  0,
 0,
c12 a22 a23  0
è ò.ä.
a12 a22
a13 a23 a33
4. Применение к исследованию функций n
переменных на экстремум
Пусть z = f(x,y) , D(z) = D  xOy ,
M0(x0,y0)D .
Пусть z = f(x,y) трижды дифференцируема в окрестности U
точки M0 и M0 – критическая точка для z = f(x,y). Тогда
1) MU
df ( M ) d 2 f ( M )
f (M )  f (M 0 ) 
0
1!

0
2!
 R2 ,
2
2
где R2 = o(2) при   (x)  (y)  0 ;
2) f x ( M 0 )  0 ,
f y ( M 0 )  0
d 2 f (M 0 )
f (M )  f (M 0 ) 
 R2 ,
 df(M0) = 0 и
2!
2
d f (M 0 )
 f ( M 0 ) 
,
2!
1
 ( M 0 )x 2  2 f xy
 (M 0 )xy  f yy
 ( M 0 )y 2 ) .
 f (M 0 )  ( f xx
2
Так как d2f(M0) – квадратичная форма с матрицей
 ( M 0 ) f xy
 ( M 0 ) 
 f xx


 ( M 0 ) f yy
 ( M 0 ) 
 f xy
получаем следующие достаточные условия экстремума
функции 2-х переменных:
1) функция z = f(x,y) имеет в точке M0(x0,y0) максимум, если
квадратичная форма d2f(M0) отрицательно определена, т.е.
 ( M 0 )  0,
f xx
 ( M 0 ) f xy
 ( M 0 )
f xx
 0;




f xy ( M 0 ) f yy ( M 0 )
2) функция z = f(x,y) имеет в точке M0(x0,y0) минимум, если
квадратичная форма d2f(M0) положительно определена, т.е.
 ( M 0 )  0,
f xx
 ( M 0 ) f xy
 ( M 0 )
f xx
 0.
 ( M 0 ) f yy
 ( M 0 )
f xy