Образец заданий 11 класс - Тюменский государственный
advertisement
Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный архитектурно-строительный университет» Межрегиональная многопрофильная олимпиада школьников «Менделеев» по математике 2-ой очный заключительный тур 2013 год 11 класс «Утверждаю» И.о.ректора, проректор по ЭиФ _______________Е.Г. Мальцева «_____»________________2013г. Задача 1. Доказать, что если a, b, c положительные числа, то a 2 3 b 2 3 2 c 3. (10 баллов) Задача 2. Утром 1 сентября учитель математики написал числа 6 и 7. Затем он поручил дежурному каждое утро стирать написанные на доске числа и писать вместо них их среднее геометрическое и среднее гармоническое. Чему будет равно произведение чисел, написанных на доске днем 22 октября? ab Средним арифметическим чисел a и b называется число , а их средним 2 2 гармоническим . 1 1 a b (10 баллов) Задача 3. Решите уравнение cos 4 4 x cos 2 x 2 sin 4 x cos 4 x . (15баллов) Задача 4. На окружности выбраны диаметрально противоположные точки А и В и отличная от них точка С. Касательная к окружности в точке А и прямая ВС пересекаются в точке D. Докажите, что прямая , касающаяся окружности в точке С, делит пополам отрезок АD. (15баллов) y 2 x 3 3 x 2 2 x Задача 5. Решите систему уравнений 2 . x y 3 3 y 2 2 y (25баллов) Задача 6. Найти наименьшее значение функции f ( x) x( x 1)( x 2)( x 3) . (25баллов) Председатель методической комиссии В.Н. Ситников
