Федеральное агентство по образованию Томский

Федеральное агентство по образованию
Томский Государственный архитектурно-строительный университет
Реферат
Производная по направлению
Градиент
Выполнила: Лавренюк Т.И.
Гр. 017-13
Проверил: Радченко А.В.
Томск,2008
Содержание
1. Производная по направлению
2. Градиент
3. Список литературы
3
4
5
2
Производная по направлению
Поместим начало вектора S в точку М0 (х0, у0, z0). На векторе S
возьмем точку М (х0+∆х, у0+∆у, z0+∆z) на расстоянии ∆S = x 2  y 2  z 2 от
точки М0, при этом функция u = f(x, y, z) получит приращение
∆u = f(х0+∆х, у0+∆у, z0+∆z) - f(x0, y0, z0).
Определение.
Если существует конечный предел отношения lim
u
, то этот предел
S
S 0
называется производной функции u = f(x, y, z) по направлению S и
обозначается символом:
u
S
Если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки
М0 (х0, у0, z0), то
u
u
u
u

cos  
cos  
cos 
S
x
y
z
где cos α, cos β, cos γ направляющие косинусы вектора S.
Пример решения задачи
Задача: Показать, что в точке А (4,-12) производная функции
3
z  x  3x 2  6 xy  y 2 по любому направлению равна нулю.
Решение
Найдем значения частных производных в точке А:
z 4,12 
 3 x 2  6 x  6 y  3  16  6  4  6   12   0
x
z 4,12
 6 x  2 y  6  4  2   12  0
y
Посмотрим значение производной в направлении произвольного
вектора S:
u
 0  cos   0  cos   0
S
Задача решена.
3
Градиент
Определение.
Вектор, координаты которого в декартовой системе координат равны
значениям частных производных функции в точке М0, называется
градиентом этой функции в заданной точке, и обозначается:
gradu 
u
u
u
i
j
k
x
y
z
Градиент функции в точке М0 дает скорость (величину и
направление) наибыстрейшего изменения функции в точке М0 (х0, у0, z0).
Некоторые свойства градиента:
1. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет
наибольшее значение, если направление вектора S совпадает с
направлением градиента; это наибольшее значение равно
gradu
Наибольшее значение
u
= gradu
S
u
будет при   0 , и в этом случае
S
2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к
вектору grad u, равна нулю.
В этом случае


2
, cos  =0 и
u
 gradu cos   0
S
Теорема.
Пусть дано скалярное поле u  ux, y, z  и определено в этом
скалярном поле поле градиентов
gradu 
u
u
u
i
j
k
x
y
z
u
Производная
по направлению некоторого вектора S равняется
S
проекции вектора grad u на вектор S.
4
Пример решения задачи
Задача: Найти величину и направление градиента функции
z  arctg
x
в точке М (2,2)
y
Решение
Найдем значения частных производных в точке М:
z 2,2 

x
z 2,2 

y
1
x
1   
 y
x
2

1 1

y 4
x
1   
 y
2

1
1

2
4
y
Найдем значение градиента функции в точке М:
2
2
 1   1
gradz       

16
4
4  4 
2
2
Определим направление градиента функции, т.е. найдем его
направляющие косинусы:
1
2
2


4 4
2
1
2
2
cos    

4 4
2
cos  
Задача решена.
Литература:
1. Функции нескольких переменных. Методические указания.
/ Куницына Т.С. Томск: Изд-во Томского архитектурно-строительного
университета, 2003. – 64с.
2. Данко П.Е., ПоповА.Г., Кожевникова Т.Я.
Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для
студентов вузов. В 2-х частях. Ч 1. – 4-е изд., испр. И доп. – М.:Высш.
Шк., 1986.- 304с., ил.
5