Способы решения тригонометрических уравнений

Способы решения
тригонометрических
уравнений
Разработала: Наркевич Тамара Анатольевна
учитель математики, высшей кв.категории
Учебно-воспитательный комплекс «Лицей №10»
г. Марганец Днепропетровской обл.
ФОРМА:
урок - презентация
ЦЕЛЬ:
• Ознакомить учащихся с общей схемой
решения тригонометрических уравнений
различных типов;
• Формировать умения решать
тригонометрические уравнения,
приводимые к квадратным и однородные
уравнения.
Первый шаг к успеху при решении
тригонометрических уравнений – это
умение решать простейшие
тригонометрические уравнения.
Тригонометрическими уравнениями
называют уравнения, в которых переменная
содержится под знаками тригонометрических
функций.
К их числу прежде всего относятся
простейшие тригонометрические уравнения,
т.е. уравнения вида
sinx=a, cosx=a, tgx=a,
где a - действительное число.
К настоящему моменту мы
знаем, что:
• Если |a|≤1, то решения уравнения cosx=a имеют вид
x=±arccosa+2πn, nєZ;
• Если |a|≤1, то решения уравнения sinx=a имеют вид
x=(-1)n arcsina+πn, nєZ;
или, что то же самое, x1=arcsina+2πk, kєZ
x2=π-arcsina+2пk, kєZ;
• Если |a|>1, то уравнения cosx=a, sinx=a не имеют
решений;
• Решения уравнения tgx=a для любого значения a
имеют вид x=arctga+πn, nєZ.
Особо важны частные случаи:
sin x  0,
x  n, n  z;
sin x  1,
x
sin x  1,
cos x  0,

 2n, n  z;
2

x    2n, n  z;
2

x   n, n  z;
2
cos x  1,
x  2n, n  z;
cos x  1,
x    2n, n  z .
Найдите ошибку
и назовите правильный ответ:
1
sin 2 x  ;
3
3
cos x 
;
2
1
sin x  ;
2
1
cos x   ;
2
1
x  ( 1)n arcsin  n; n  Z
6
x
x

6

3
 n, n  Z ;
 2k , k  Z ;

x  (  )  2n, n  z .
3
Найдите ошибку
и назовите правильный ответ:
1
sin 2 x  ;
3
3
cos x 
;
2
1
sin x  ;
2
1
cos x   ;
2
1
1 n
x  ( 1)n arcsin  ; n  Z
2
3 2
x
x

6

3
 n, n  Z ;
 2k , k  Z ;

x  (  )  2n, n  z .
3
Найдите ошибку
и назовите правильный ответ:
1
sin 2 x  ;
3
3
cos x 
;
2
1
sin x  ;
2
1
cos x   ;
2
1
1 n
x  ( 1)n arcsin  ; n  Z
2
3 2
x
x

6

6
 2n, n  Z ;
 2k , k  Z ;

x  (  )  2n, n  z .
3
Найдите ошибку
и назовите правильный ответ:
1
sin 2 x  ;
3
1
1 n
x  ( 1)n arcsin  ; n  Z
2
3 2

3
cos x 
;
2
x
1
sin x  ;
2
x  ( 1)
1
cos x   ;
2
6

 2n, n  Z ;
k

6
 k , k  Z ;
x  (  )  2n, n  z .
3
Найдите ошибку
и назовите правильный ответ:
1
sin 2 x  ;
3
1
1 n
x  ( 1)n arcsin  ; n  Z
2
3 2

3
cos x 
;
2
x
1
sin x  ;
2
x  ( 1)
1
cos x   ;
2
2
x
 2n, n  z .
3
6
 2n, n  Z ;
k

6
 k , k  Z ;
Уравнения,
приводимые к
квадратным.
Однородные
уравнения
Способы решения
тригонометрических уравнений
Разложение на
множители
(вынесение за
скобку, формулы
сокращённого
умножения и пр.)
Уравнения, решаемые
с помощью
тригонометрических
формул (суммы и
разности, сложения,
двойного угла и пр.)
Уравнения,
решаемые с
помощью
введения
вспомогатель
ного угла.
Уравнения, приводимые к квадратным
acosx +b cosx + c = 0
2
Например:
a sinx + b cosx + c =0
2
acos2x +b cosx +c=0
a sinx +b sinx + c = 0
2
Например:
acosx +bsinx +c=0
2
acos2x +bsinx + c = 0
a tgx + b tgx +c =0
2
Например:
atgx + bctgx +c=0 |·tgx≠0
a tgx +btgx +c =0
2
Решение:
at² +bt + c =0
sinx =t
cosx =t
tgx =t
|t|≤ 1, т.к.
|t|≤1, т.к.
t R,т.к.
E(sinx)=[-1;1]
E(cosx)=[-1;1]
E(tgx)=R
Метод введения новой переменной
Пример 1
cos 2 x  sin 2 x  cos x  0;
sin2 x  1  cos 2 x;
2 cos 2 x  cos x  1  0; замена : y  cos x;
2 y 2  y  1  0;
y1  1

1

1  cos x  1, cos x   ;
2
y2   
2
2
x  2k , k  z; x  
 2n, n  z;
3
2
Ответ : 2k , k  z; 
 2n, n  z .
3
Пример 2
x
x
 3 ctg  4;
2
2
x
2 x
tg  4tg  3  0;
2
2
y 2  4 y  3  0;
tg
| tg
x
 0;
2
x
замена : y  tg ;
2
y1  1, y2  3;
x
x
tg  1;
tg  3;
2
2
x 
x
  k , k  z ,
 arctg 3  n, n  z .
2
x
4

2
2
 2k , k  z , x  2 arctg 3  2n, n  z .

Ответ :  2k , k  z , 2 arctg 3  2n, n  z .
2
Решите самостоятельно
2  cos x  2 sin x;
2
Решение:
2  cos 2 x  2 sin x;
2  (1  sin 2 x )  2 sin x;
sin x  2 sin x  3  0;
2
t 2  2t  3  0;
t1  3;
cos 2 x  1  sin2 x;
Пусть
sinx=t,
t  1;
-3 не удовлетворяет
условию
t 2  1;
sin x  1;
x

2
 2k ; k  z .

Ответ :  2k ; k  z .
2
t  1;
Однородные уравнения
• Уравнения вида asinx+bcosx=0
называют
однородным тригонометрическим уравнением
первой степени
• Уравнения вида asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0
называют однородным тригонометрическим
уравнением второй степени
Итак, дано уравнение asinx+bcosx=0, где
a≠0, b≠0. Разделив обе части уравнения
почленно на cosx, получим:
sinx
cosx
0
a
b

;
cosx
cosx cosx
atgx  b  0;
В итоге приходим к простейшему
тригонометрическому уравнению:
b
tgx   .
a
Примеры
№1. Решить уравнение
2sinx-3cosx=0
Решение. Разделив обе части уравнения
почленно на cosx  0, получим
2tgx-3=0;
tgx=1,5;
x=arctg1,5 + πn, n є Z;
Ответ: arctg1,5 + πn, n є Z.
Решите самостоятельно
уравнение:
sin2x+cos2x=0
Решение: Почленно разделив обе части
уравнения на cos2x≠0, получим:
tg 2 x  1  0;
tg 2 x  1;
2x  
x


8
4
 n, n  z;

n
2
Ответ : 
, n  z;

8

n
2
, n  z.
Рассмотрим однородное
тригонометрическое уравнение
второй степени
asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0.
Алгоритм решения
однородных тригонометрических
уравнений второй степени
• Посмотреть, есть ли в уравнении член asin2x;
• Если этот член содержится, то есть а≠0, то
уравнение решается делением обеих его частей
на cos2x и последующим введением новой
переменной z=tgx;
• Если этот член не содержится, то есть а=0, то
уравнение решается методом разложения на
множители: за скобки выносят cosx;
Примеры
№1. Решить уравнение
sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0.
sin2x-3sinxcosx+2cos2x=0 /÷cos2x≠0;
tg2x-3tgx+2=0;
Введем новую переменную z=tgx;
z2-3z+2=0;
z1 =1, z2 =2;
tgx=1; x= π/4+ πn, n є Z;
tgx=2; x=arctg2 + πk, k є Z;
Решение:
Ответ:

4
+ πn, n є Z, arctg2 + πk, k є Z.
№2.
Решить уравнение
√3sinxcosx+cos2x=0.
cos x ( 3 sin x  cos x )  0;
Решение:
cos x  0
или

x   n, n  z;
2
3 sin x  cos x  0;
|  cos x  0
3tgx  1  0;
1
tgx  
;
3
1
x  arctg( 
)  k , k  z;
3

x    k , k  z;
6


Ответ :  n, n  z;  k , k  z .
2
6
Решите самостоятельно
2 sin x  sin x cos x  3 cos x  0;
2
2
Решение
2
|:
cos
x  0;
2 sin x  sin x cos x  3 cos x  0;
2
2tg 2 x  tgx  3  0;
2 y 2  y  3  0;
y1  1,5;
tgx  1,5;
x  arctg1,5  n, n  z;
2
замена : tgx  y;
y2  1;
tgx  1;
x  arctg( 1)  k , k  z;
x

4
 k , k  z;
Ответ: arctg1,5   n , n  z , 

4
 k , k  z .
Решите уравнения
1)tg x  (1  3 )tgx  3  0;
2
2) sin x  5 sin x cos x  2 cos x  1;
2
2
1
3)3 sin x  sin 2 x  2.
2
2
Среди предложенных уравнений
выберите уравнения, приводимые к
квадратным и однородные уравнения:
2 cos x  3 sin x  2  0;
2
sin x  sin 2 x  0;
4 sin x  3 cos x  2;
2
3 sin x  3 sin x cos x  2 cos x  1;
cos x  cos 3 x  cos 2 x;
2
3 sin x  cos x  0;
3tgx  ctgx  2.
2
неизвестный тип тр. уравнения
однородное тр. уравнение
2 cos 2 x  3 sin x  2  0;
квадратное тр. уравнение
приводящиеся к кв.тр.уравнение
приводимое к однородному тр. ур
ВЕРНО!
МОЛОДЦЫ!
Далее
Подумайте!
Вернуться к заданию
неизвестный тип тр. уравнения
однородное тр. уравнение
sin x  sin 2 x  0;
2
квадратное тр. уравнение
приводящиеся к кв.тр.уравнение
приводимое к однородному тр. ур
ВЕРНО!
МОЛОДЦЫ!
Далее
Подумайте!
Вернуться к заданию
неизвестный тип тр. уравнения
однородное тр. уравнение
4 sin x  3 cos x  2;
квадратное тр. уравнение
приводящиеся к кв.тр.уравнение
приводимое к однородному тр. ур
ВЕРНО!
МОЛОДЦЫ!
Далее
Подумайте!
Вернуться к заданию
неизвестный тип тр. уравнения
однородное тр. уравнение
3 sin x  3 sin x cos x  2 cos x  1;
2
2
квадратное тр. уравнение
приводящиеся к кв.тр.уравнение
приводимое к однородному тр. ур
ВЕРНО!
МОЛОДЦЫ!
Далее
Подумайте!
Вернуться к заданию
неизвестный тип тр. уравнения
однородное тр. уравнение
cos x  cos 3 x  cos 2 x;
квадратное тр. уравнение
приводящиеся к кв.тр.уравнение
приводимое к однородному тр. ур
ВЕРНО!
МОЛОДЦЫ!
Далее
Подумайте!
Вернуться к заданию
неизвестный тип тр. уравнения
однородное тр. уравнение
3 sin x  cos x  0;
квадратное тр. уравнение
приводящиеся к кв.тр.уравнение
приводимое к однородному тр. ур
ВЕРНО!
МОЛОДЦЫ!
Далее
Подумайте!
Вернуться к заданию
неизвестный тип тр. уравнения
однородное тр. уравнение
3tgx  ctgx  2
квадратное тр. уравнение
приводящиеся к кв.тр.уравнение
приводимое к однородному тр. ур
ВЕРНО!
МОЛОДЦЫ!
Конец
Подумайте!
Вернуться к заданию
Спасибо за внимание!
Домашнее задание:
п.39 – выучить; №466(а,б,в,г),
№467(г,д,е,ж*).