Показательная функция

Показательная функция
• Определение.
Функция, заданная формулой у = ах
(где а > 0, а ≠ 1, х – показатель
степени), называется показательной
функцией с основанием а.
График показательной
функции.
При а > 0:
При 0 <а < 1:
Свойства показательной
функции
•
•
•
•
при а>0:
1.Область определения –
множество действительных
чисел.
2.Область значений –
множество положительных
действительных чисел.
3.Функция возрастает на
всей числовой прямой.
4.При х = 0, у = 1, график
проходит через точку (0; 1)
•
•
•
•
при 0 < а < 1:
1. Область определения –
множество действительных
чисел.
2. Область значений –
множество положительных
действительных чисел.
3. Функция убывает на
всей числовой прямой.
4. При х = 0, у = 1,
график проходит через
точку ( 0 ; 1).
Свойства функции
При а >1, 0 < а <1 справедливы
равенства:
• 1. ах · ау = ах+у
• 2. ах : ау = ах-у
• 3. (а ·в)х = ах · вх
4. (а/в)х = ах/ вх
• 5. (ах)у = аху
Выполни самостоятельно!
1. Постройте график функции
у = 3х
2. Сравните числа:
1.
4 ² и 4³
2. (0,3)2 и ( 0,3)-3
3. Вычислите:
1.
21,3 · 2-0,7 · 40,7
2.
(27· 64 )1/3
Показательные уравнения
• Показательными уравнениями
называются уравнения вида
аf(x) = аq(x), где а – положительное
число, отличное от 1, и уравнения,
сводящиеся к этому уравнению.
Способы решения
показательных уравнений
Первый способ
Пример:
Приведение
обеих частей
уравнения к
одному и тому
же основанию.
2х = 32,
так как 32= 25, то
имеем:
2х = 25
х = 5.
Третий способ
Пример:
3х –– 3х+3 = –78
Вынесение
общего
множителя за
скобки.
3х –3х ×33 = –78
3х ( 1 –33 ) = –78
3х ( – 26) = – 78
33 = – 78 : ( –26)
3х = 3
Х = 1.
Четвертый способ
Пример: 4х = х + 1
Графический:
построение
графиков
функций в
одной
системе
координат
4
у
3
2
1
х
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
Ответ: х = -0,5, х = 0.
Выполните самостоятельно!
Решите уравнения:
1) (⅓)х+2 = 9
2) 2х-1 = 1
3) 2 ·22х– 3 · 2х - 2 = 0
4) 2х = х + 3
5) 4х+1 + 4х = 320
Показательные неравенства
• Показательными неравенствами
называются неравенства вида
аf(x) > аg(x) , где а – положительное
число, отличное от нуля, и
неравенства, сводящиеся к этому виду
f(x) > q(x).
Свойства показательной
функции
• Если а > 0,
то показательное
неравенство
аf (x) > аg (x)
равносильно
неравенству того
же смысла
f(x) > q(x).
• Если 0 < а < 1 ,
то показательное
неравенство
аf (x) > аg (x)
равносильно
неравенству
противоположног
о смысла
f(x) < q(x).
Решение показательных
неравенств
22х-4 >
22х-4 >
2х – 4 >
2х >
х>
64
26
6
10
5
Ответ: х >
(0,2)х ≥ 0,04
(0,2)х ≥ (0,2)2
х ≤
Ответ: х ≤ 2
5
Выполни самостоятельно!
1.
2.
3.
4.
5.
45-2х ≤ 0,25
0,37+4х > 0,027
2х + 2х+2 < 20
112х+3 ≥ 121
54х+2 ≤ 125
А. Дистервег
• „Развитие и образование ни одному
человеку не могут быть даны или
сообщены. Всякий, кто желает к ним
приобщиться, должен достигнуть этого
собственной деятельностью,
собственными силами, собственным
напряжением”