Производная и ее применение в науке и технике

Производная и ее применение в
науке и технике
Выполнил: Егоров Даниил,
студент 1-ого курса ЧЭМК
Производная функции









Определение производной
Геометрический смысл производной
Связь между непрерывностью и
дифференцируемостью
Производные основных элементарных функций
Правила дифференцирования
Производная сложной функции
Производная неявно заданной функции
Логарифмическое дифференцирование
Применение производной в науке и технике
Определение производной
Пусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).
Аргументу x придадим некоторое приращение
x
x
(a
;b)
:x
Найдем соответствующее приращение функции:

y

f(
x


x
)
f(
x
)
y
Если существует предел
f(x+ Δx )
y
f(x )
0
x
х
x+Δx
х
y
lim
x 0
x
то его называют производной
функции y = f(x) и обозначают
одним из символов:
dy
y; f(x
);
dx
Определение производной
Итак, по определению:
f(
x


x
)

f(
x
)

y
lim

x

0

x
Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке
интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом
интервале; операция нахождения производной функции
называется дифференцированием.
Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается
одним из символов:

x
y
(
x
);f
(
x
);y
0
0
0
Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс,
то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический
смысл производной.
Геометрический смысл производной
Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:
Через точки М и М1 проведем
секущую и обозначим через φ
угол наклона секущей.
y
М1
f(x+ Δx )
f(x )
x
α φ
0
y
М
М
х
x+Δx
х
y
tg

x
f(xx)f(x)

x
При x  0 в силу непрерывности функции
также
y
стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно
приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1
переходит в касательную.
   lim
 
lim
tg
tg

x
0

x
0
Геометрический смысл производной
f
(
x


x
)

f
(
x
)
 y

lim

tg


k

x

0

x
Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к

графику функции y = f(x) в точке,yабсцисса
которой равна x.
Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой
коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).
Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
y

y
к
x
x
)-x
y

y
f'(
(
x
)(
x
)
0
0
0
0
0
Уравнение
Уравнение
касательной
нормали
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется
f ' ( x0 )
нормалью к кривой.
1
1
1
k

 


y

y

 (
x

x
)
норм
0
0
k
'(
x
)
f
'(
x
)
кас f
0
0
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью
функции
Теорема
Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она
непрерывна в ней.
Доказательство:
Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке
х, следовательно существует предел:

y

y
lim
f(x) 

f(x
)

(x
) 

x
0

x

x
гд (x) 0 при x  0
По теореме о связи
е
 limy 0 

y

f
(
x
)

x


(
x
)

x
функции, ее предела и
бесконечно малой
x0
функции
Функция y = f(x) – непрерывна.
Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может
не иметь производной.
Производные основных элементарных функций
n
Z
x , тогда функция
Придадим аргументу x приращение
1
yx
n
Степенная функция:
получит приращение:
x
 x

y
x
n
n
Формула бинома Ньютона:
n
(
n

1
)n

22


a

b
a

na
b

a
b


2
!
n
(
n

1
)

(
n

k

1
)n

kk
n

a
b



b
k
!
n
n
n

1
K – факториал
k
!1
2
3

k
Производные основных элементарных функций
По формуле бинома Ньютона имеем:
n



y

x


x

x

n
(
n

1
)n
n
n

1

2 2
n
n

(
x

nx

x

x

x




x
)

x
2
!

yn
(
n

1
)

1n
n

2
n

1
Тогда:

nx
 x

x




x

x
2
!

y
n
(
n

1
)

n

1
n

2
n

1
lim

lim
nx

x

x




x




x

0

x

0

x
2
!


n
 nx n 1

x 'nx
n
n1
Производные основных элементарных функций
Логарифмическая функция:y
2
 ln x
xx  x

x


y

ln

x
ln
x
ln
1 

ln
x
 x  
x
 


x
ln
1



1
1

y
x

x lim 
lim

lim

lim
x
0

x

0

x

0
x 0
x x

x

x
x
 x x
ln
1 ~
1
x x

lnx ' 
x
при
x
0
Аналогично выводятся правила дифференцирования
других
основных


элементарных функций.
Правила дифференцирования
Пусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором
интервале (a; b) функции, С – постоянная.
(C)  0
v
(uv)u

v
  (Cu)Cu
(
u
v
)
u

u
v




(
u

v

w
)

u

v

w

u

v

w

u

v

w


v

u
v

u
 u
C

C

v



 
  2
2
v
v
v
v
Производная сложной функции
Пусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с
промежуточным аргументом u и независимым аргументом
x.
Теорема
u x в точке x а
Если функция u = φ(x) имеет производную
y u в
функция y = f(u) имеет производную
x
соответствующей точке u , то сложнаяyфункция
имеет
производную
, которая находится по формуле:
yx yu ux
Это правило остается в силе, если промежуточных
аргументов несколько:
y

f
(
u
);
u


(
v
);
v

g
(
x
)

y

f
(

(
g
(
x
)
 u
 x
yx yu
v v
Пример
1sin
x
y 3
x lnx
Вычислить производную
функции

sin
x
1

y  3

x
x ln
3
3


(
1

sin
x
)

(
x

ln
x
)

(
1

sin
x
)

(
x

ln
x
)

3 2
x

ln
x
 
3
3
3




(
1

(sin
x
)
)

(
x

ln
x
)

(
1

sin
x
)

((
x
)

ln
x

x
(ln
x
)
)

32
x

ln
x
 
1
cos
x

x

ln
x

(
1

sin
x
)

(
3
x

ln
x

x
x )
x

2
3
x

ln
x
3
2


3
2
Пример
12
Вычислить производную
ycos(ln
x)
функции
Данную функцию можно представить следующим образом:
12
y

cos
u
;u

v
;v

ln
x
 u
 x
yx yu
v v
12
12



y


sin
u


sin
v


sin
ln
x
u
11
11

u
12
v

12
ln
x
1
v 
x
1



y

sin
ln
x

12
ln
x

x
12
Коротко:
12
12
12



sin(ln
x
)
(ln
x
)
y
(cos(ln
x
))
12
11



sin(ln
x
)

12
ln
x

(ln
x
)
11
Производная неявно заданной функции
Если функция задана уравнением y = f(х) , разрешенным
относительно y, то говорят, что функция задана в явном
виде.
Под неявным заданием функции понимают задание функции
в виде уравнения не разрешенного относительно y:
F(x;y) 0
Для нахождения производной неявно заданной функции
необходимо продифференцировать уравнение по х,
рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное
выражение разрешить относительно производной.
3
3
x

y

3
xy

0

3
3



(
x
)
(
y
)
3
(
xy
)
0
2
2



3
x

3
y

y

3
(
x
y

x
y
)

0

2
2


x

y
y
y

x
y
0

yx2
y  2
y x
Логарифмическое дифференцирование
В ряде случаев для нахождения производной целесообразно
заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем
результат продифференцировать.
Такую операцию называют логарифмическим
дифференцированием.
24
3
x
24
3 x
x
(
x

1
)
e
x
(
x

1
)
e
y

y

ln
 ln

5
5
2

x

5


2
x

5
3
ln
y

2
ln
x

ln(
x

1
)

x

5
ln(
2
x

5
)
4
2


y
3
(
x

1
)
(
2
x

5
)




1

5

yx
4
x

1
2
x

5
2 4
3
x
 2 3
y
10
x

(
x

1
)

e
y
y  

1

y x4
x

4 2
x

5
2
5
x
5
Логарифмическое дифференцирование
Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.
v(x)
Функция yu(x)
называется степенно – показательной.
Производная такой функции находится только с помощью
логарифмического дифференцирования.
ysin
x
x21

sin

ln
y
ln
x
2
x

1

2

 
ln
y

(
x

1
)
ln
sin
x
 2
y
2








(
x

1
)

ln
sin
x

(
x

1
)

(ln
sin
x
)
y

y
cos
x
x21
2
y 
ysinx
2
x

ln(sin
x
)

(
x

1
)

y
sin
x
Применение производной
В биологии:
Пусть популяция бактерий в момент t (с) насчитывает x(t)
особей.x
(t)
3000

100
t2 . Найти скорость роста
популяции:
а) в произвольный момент t,
б) в момент t = 1 c.
Решение:
P = x’(t) = 200t;
P(1) = 200 (с).
Ответ: 200 с.
Применение в химии
Пусть количество вещества, вступившего в химическую
реакцию задается зависимостью: р(t) = t2/2 + 3t –3
(моль).
Найти скорость химической реакции через 3 секунды.
Решение:
v (t) = p ‘(t);
v (t) = t + 3;
v (3) = 3+3 = 6.
Ответ: 6 моль\с.
Применение в физике
Колебания. Гармонические колебания
Уравнение гармонических колебаний
xx
s
in
(

t

)
m
0
Уравнение скорости колебания




x


c
o
s
(

t


)x


s
i
n
(

t



)
2
v

x
'
(
t
)

x
s
i
n
(t

)
'


m
0
m
0
m
0
Уравнение ускорения колебания






x


s
i
n
(

t


)

x
s
i
n
(

t




)
a
(
t
)

v
'
(
t
)

v
c
o
s
(
t

)
'

x

c
o
s
(
t

)
'





m
0
m
0
2
m
2
0m
0
Электростатика. Ток в электрической цепи
Количество электричества
q  q(t )
Характеристика цепи переменного тока – мгновенное
значение силы тока в момент времени t:
q
(
t
)

q
(
t
)
0
I

l
i
m
I

l
i
m

q
'
(
t
)
м
г
c
p
0
tt

tt

0
0
tt

0
Пример: В какой момент времени ток в цепи равен нулю, если
количество электричества, протекающего через проводник,
задается формулой
? t  t 1
q
Решение:
1. Закон изменение силы тока:
1
I
(
t
)

q
'
(
t
)(

t

t

1
)
'
1

2
t
2. По условию I=0, получаем уравнение:
1
1 1

1
;
2
t
1
;t
;
t
2 4
2
t
Ответ:
0, 25c
1
1
0
2 t
Линейная плотность тела
Масса стержня есть функция
его длины
mm
 ()
x,x
[0
;]
l
Линейная плотность неоднородного стержня
 
m
(
x
)(

m
x
)
0
(
x
)

l
i
m

l
i
m

m
'
(
x
)
0
c
p
0
x

x
x

x
0
0
x

x
0
Заключение
В данной работе показано применение производной
как в биологии и химии, так и в таких разделах
физики, как термодинамика, электростатика,
колебания, не только с теоретической точки зрения,
но и с практической, т.е. при решении задач.
Спасибо за внимание