Модель Кейна

Использование модели Кейна
для расчета
энергетического спектра
полупроводниковых структур
М.С.Жолудев
научные руководители:
д.ф.-м.н. В.Я.Алешкин
д.ф.-м.н. В.И.Гавриленко
Содержание
• Введение
• Описание однородных полупроводников
– kp-метод
– модель Кейна
• Учет неоднородностей
– плавное поле
– гетероструктуры
• Примеры расчетов
1. Введение
Введение
гамильтониан электрона в кристалле:
2
ˆ
p

ˆ
V (r)  pˆ  σ
H (pˆ ) 
 V (r ) 
2 2
2me
4me c
V (r  R )  V (r )
R – вектор прямой решетки
Теорема Блоха
гамильтониан электрона в кристалле:
2
ˆ
p

ˆ
V (r)  pˆ  σ
H (pˆ ) 
 V (r ) 
2 2
2me
4me c
V (r  R )  V (r )
R – вектор прямой решетки
ikr

(
r
)

e
un,k (r), k  1
собственная функция: n,k
медленная
огибающая
быстро осциллирующая
периодическая часть
Теорема Блоха
гамильтониан электрона в кристалле:
2
ˆ
p

ˆ
V (r)  pˆ  σ
H (pˆ ) 
 V (r ) 
2 2
2me
4me c
V (r  R )  V (r )
R – вектор прямой решетки
ikr

(
r
)

e
un,k (r), k  1
собственная функция: n,k
уравнение для
блоховских функций:
 Hˆ (pˆ  k ) u  Eu

 u (r  R )  u (r )
Теорема Блоха
гамильтониан электрона в кристалле:
2
ˆ
p

ˆ
V (r)  pˆ  σ
H (pˆ ) 
 V (r ) 
2 2
2me
4me c
V (r  R )  V (r )
R – вектор прямой решетки
ikr

(
r
)

e
un,k (r), k  1
собственная функция: n,k
уравнение для
блоховских функций:
… и его решения:
 Hˆ (pˆ  k ) u  Eu

 u (r  R )  u (r )
E1 (k ), , E n (k ), 
u1,k (r ), , u n,k (r ), 
Теорема Блоха
гамильтониан электрона в кристалле:
2
ˆ
p

ˆ
V (r)  pˆ  σ
H (pˆ ) 
 V (r ) 
2 2
2me
4me c
V (r  R )  V (r )
R – вектор прямой решетки
ikr

(
r
)

e
un,k (r), k  1
собственная функция: n,k
уравнение для
блоховских функций:
 Hˆ (pˆ  k ) u  Eu

 u (r  R )  u (r )
частично можем получить
…изиэксперимента
его решения:
E1 (k ), , E n (k ), 
u1,k (r ), , u n,k (r ), 
Выводы
• Нельзя вычислить зонную структуру
непосредственно решая уравнение
Шредингера, т.к. периодический потенциал
неизвестен
• Часть информации о зонной структуре
можно получить из эксперимента, а
остальное «достроить» с помощью
приближенных методов
2. kp-метод
kp-гамильтониан
 Hˆ (pˆ  k ) u  Eu

 u (r  R )  u (r )
2
2 2
ˆ
ˆ
p

k

p

k
ˆ
H (pˆ  k ) 


 V (r ) 
2me
me
2me

2
V (r)  pˆ  σ  2 2 V (r)  k  σ

2 2
4me c
4me c
kp-гамильтониан
 Hˆ (pˆ  k ) u  Eu

 u (r  R )  u (r )
2 2
ˆ
k  p  k
ˆ
ˆ
H (pˆ  k )  H (pˆ ) 

me
2me
Базис блоховских функций
 ˆ
k  pˆ  2k 2 
 H (pˆ ) 
 un,k  En (k ) un,k

me
2me 

Базис блоховских функций
 ˆ
k  pˆ  2k 2 
 H (pˆ ) 
 un,k  En (k ) un,k

me
2me 

 c,k (r)  eikruc,k (r)
Базис блоховских функций
 ˆ
k  pˆ  2k 2 
 H (pˆ ) 
 un,k  En (k ) un,k

me
2me 

 c,k (r)  eikruc,k (r)
Базис для периодических функций:
u n ,k (r ), n  1, 2, 
По нему можно разложить любую
периодическую функцию
Базис Кона-Латтинжера
Hˆ (pˆ ) un,0  En (0) un,0
k  0 – в точке с высокой симметрией
знаем о функциях больше
 c,k (r)  eikruc,k (r)
Базис для периодических функций:
un , 0 (r ), n  1, 2, 
По нему можно разложить любую
периодическую функцию
Базис Кона-Латтинжера
Hˆ (pˆ ) un,0  En (0) un,0
k  0 – в точке с высокой симметрией
знаем о функциях больше
 c,k (r)  eikruc,k (r)
Базис для периодических функций:
un , 0 (r ), n  1, 2, 
По нему можно разложить любую
периодическую функцию:
uc ,k (r )   Cnun ,0 (r )
n
Базис Кона-Латтинжера
Hˆ (pˆ ) un,0  En (0) un,0
k  0 – в точке с высокой симметрией
знаем о функциях больше
 c,k (r)   Cn eikr un,0 (r)
n
Базис для периодических функций:
un , 0 (r ), n  1, 2, 
Базис Кона-Латтинжера:
eikr un , 0 (r ), n  1, 2, 
k  1
Теория возмущений
возмущение
 c,k (r)  eikr uc ,0 (r)   Cn(1) eikr un,0 (r)
nc
возмущение
Теория возмущений
 ˆ
k  pˆ  2k 2 
 H (pˆ ) 
 un,k  En (k ) un,k

me
2me 

 c(,0k) (r)  eikruc,0 (r)
2-й порядок
E (k )  
(1)
c
Ec( 0 ) (k )  Ec (0)
nc
1-й порядок
uc , 0 k  pˆ un , 0
2
 2k 2

Ec (0)  En (0)
2me
Теория возмущений
 ˆ
k  pˆ  2k 2 
 H (pˆ ) 
 un,k  En (k ) un,k

me
2me 

 c(,0k) (r)  eikruc,0 (r)
1-й порядок
2-й порядок
E (k )  
(1)
c
Ec( 0 ) (k )  Ec (0)
nc
uc , 0 k  pˆ un , 0
2
 2k 2

Ec (0)  En (0)
2me
или
2 T
Ec (k )  Ec (0)  k  m 1  k
2
зона проводимости
всегда получается параболической
kp-метод
• Зависимость энергии от k рассматривается
как возмущение, вызванное влиянием
других зон
• Эта зависимость аппроксимируется
некоторой функцией, параметры которой
извлекают из экспериментальных
результатов.
• Невырожденная зона всегда получается
параболической
3. Модель Кейна
Evan O. Kane,
“Band structure of indium antimonide”,
J. Phys. Chem. Solids 1, 249 (1957)
Модель Кейна
возмущение
 c,k (r)  eikr uc ,0 (r)   Cn(1) eikr un,0 (r)
nc
возмущение
Модель Кейна
возмущение
 c ,k (r)  eikr  Ci( 0) ui ,0 (r)  eikr  Cn(1) un,0 (r)
i
возмущение
n i
Модель Кейна
возмущение
i  c, c
 c ,k (r)  eikr  Ci( 0) ui ,0 (r)  eikr  Cn(1) un,0 (r)
i
i  hh, hh
i  lh, lh
i  sh, sh
возмущение
n i
Гамильтониан Кейна – матрица
Векторная запись волновой функции:
где
 u1 (r ) 


u  
 u (r ) 
 8 
 e u ψ
ikr
T
 C1 
 
ψ   
C 
 8
Уравнение Шредингера:
Hˆ   E
T
T
ˆ
ˆ
H (p  k ) u ψ  Eu ψ
u Hˆ (pˆ  k ) uT ψ  Eψ
H(k )ψ  Eψ
Гамильтониан Кейна
k  pˆ
возмущение
me
2 2
ˆ

k

p

k
ˆ
H (pˆ ) 

me
2me
k  pˆ
возмущение
me
Гамильтониан Кейна (фрагмент)
H
энергия
в Г-точке
c
c
c
hh 
lh 
c
hh 
lh 
Ec
Ec
Ev
Ev
Гамильтониан Кейна (фрагмент)
H
энергия
в Г-точке
c
c
lh 
c
 2k 2
Ec 
2me
hh 

1
Pk
2
 2k 2
Ec 
2me
c
hh 
+
взаимодействие
базисных
функций
2
Pkz
3
1

Pk
6
 2k 2
Ev 
2me
1

Pk
2
2
Pkz
3
lh 
1

Pk
6
 2k 2
Ev 
2me
Гамильтониан Кейна (фрагмент)
H
энергия
в Г-точке
c
c
lh 
c
 2k 2
Ec 

2me

+
возмущение
hh 
lh 
1
Pk
2
 2k 2
Ec 

2me
c
hh 
+
взаимодействие
базисных
функций
1

Pk
2
2
Pkz
3
1

Pk
6
2
Pkz
3
1

Pk
6
 2k 2
Ev 

2me


 2k 2
Ev 

2me
Гамильтониан Кейна
c
c
c

T
c
hh 
hh 
1
Pk
2
T

lh 
1
Pk
2
2
Pkz
3
1
Pk
6

1
Pk
6
sh 

1
Pk z
3
2
Pkz
3
1
Pk
2
1

Pk
3
sh 

1
Pk
3
1
Pk z
3
lh 
hh 
lh 
2
Pkz
3
1
Pk
6
1

Pk
6
2
Pkz
3
U V
 S*
S
U V
R*
R
1
S
2
 2R
2

S
3
hh 
1
Pk
2
sh 
1
1
Pk z 
Pk
3
3

1
Pk
3
1 *
S
2
R
U V
S*
S
U V

2 *
S
3
 2V
2R*
1 *
S
2
sh 

R
*
2V
*
lh 

1
Pk z
3
 2R
2 *
S
3
2V

2
S
3
 2V
2R
1
S
2
U 
U 
Гамильтониан Кейна
c
c
c

T
c
hh 
T

lh 
1
Pk
2
2
Pkz
3
1
Pk
6

1
Pk
6
sh 

1
Pk z
3
2
Pkz
3
1
Pk
2
1

Pk
3
sh 

1
Pk
3
1
Pk z
3
lh 
hh 
hh 
1
Pk
2
lh 
lh 
hh 
1
Pk
6
2
Pkz
3
sh 
sh 
1
1
Pk z 
Pk
3
3

1
1
1
2
1
Pk 
Pk
Pk z
Pkz

Pk
Гамильтониан
Кона-Латтинжера
2
3
3
3
6
1 *
*
S
 2R
U V
S
R
2
S
U V
R*
R
1
S
2
 2R
U V
S*
S
U V
*
2V
*
R
2

S
3

2 *
S
3
 2V
2R*
1 *
S
2

2 *
S
3
2V

2
S
3
 2V
2R
1
S
2
U 
U 
Гамильтониан Кейна
c
c
c

T
c
hh 
hh 
1
Pk
2
T

lh 
1
Pk
2
2
Pkz
3
1
Pk
6

1
Pk
6
sh 

1
Pk z
3
2
Pkz
3
1
Pk
2
1

Pk
3
sh 

1
Pk
3
1
Pk z
3
lh 
hh 
lh 
lh 
2
Pkz
3
1
Pk
6
1

Pk
6
2
Pkz
3
hh 
1
Pk
2
sh 

1
1
Pk z 
Pk
3
3

1
Pk
3
1 *
S
2
Точный
учет
U V
 S * взаимодействия
R
зоны проводимости
и валентной
зоны R
S
U V
R*
R
1
S
2
 2R
S*
S
U V
*
2V
*
U V
2

S
3

2 *
S
3
 2V
2R*
1 *
S
2
sh 

1
Pk z
3
 2R
2 *
S
3
2V

2
S
3
 2V
2R
1
S
2
U 
U 
Модель Кейна
• Явно учитывает несколько зон, которые
имеют разную энергию даже в нулевом
приближении
• Взаимодействие между этими зонами
входит в гамильтониан точно
• Поправки к энергии, связанные с влиянием
далеких зон рассматриваются как
возмущение
• Модель учитывает непараболичность зоны
проводимости
kp-метод
для зоны проводимости
модель Кейна
базис – одна функция
базис – 8 функций
периодическая часть ψ
не зависит от k
периодическя часть ψ
зависит от k
непосредственного
взаимодействия между
базисными функциями
нет
непосредственное
взаимодействие между
базисными функциями
учитывается точно
влияние далеких зон
учитывается как kp-возмущение
влияние далеких зон
учитывается как kp-возмущение
зона проводимости
параболическая
зона проводимости
непараболическая
валентная зона
не рассматривается
валентная зона
учитывается 3 зоны
kp-метод
для валентной зоны
модель Кейна
базис – 4 или 6 функций
базис – 8 функций
периодическая часть ψ
зависит от k
периодическя часть ψ
зависит от k
непосредственного
взаимодействия между
базисными функциями
нет
непосредственное
взаимодействие между
базисными функциями
учитывается точно
влияние далеких зон
учитывается как kp-возмущение
влияние далеких зон
учитывается как kp-возмущение
зона проводимости
не рассматривается
зона проводимости
непараболическая
валентная зона
учитывается 2 или 3 зоны
валентная зона
учитывается 3 зоны
4. Неоднородные системы
Плавный потенциал
2
ˆ
p
 V (r )  U (r )
Hˆ (pˆ ) 
2me
V (r  R )  V (r )
Плавный потенциал можно разложить
по плоским волнам из 1-й зоны Бриллюэна:
~
U (r )   e U (k )
ikr
k1
Кулоновский потенциал мелкой примеси
является плавным вдали от центра
Плавный потенциал
 1 (r ) 


ψ (r )    
 (r ) 
 8 
 C1 
 
ikr
ikr
e ψe   
C 
 8
огибающие – плавные функции:
 i (r ) 
ikr
e
 Ci (k )
k1
H(k )ψ  Eψ
H(i)  IU (r)ψ(r)  Eψ(r)
J. M. Luttinger and W. Kohn,
“Motion of electrons and holes in perturbed periodic fields”,
Phys. Rev. 97, 869 (1955)
Гетероструктура
• Блоховские функции материалов,
образующих структуру, отличаются
• Потенциал, нарушающий периодичность,
не является плавным
Кусочно-гладкое решение
Материал A
Материал B
1. Находим огибающие для каждой однородной области
H (k )ψ  Eψ
A
A
A
H (k )ψ  Eψ
A
B
B
B
B
2. Сшиваем решения на границах
правильно – сшивать полные волновые функции:


T
exp( ik r0 ) u (r0 ) ψ
A
A
A


T
 exp( ik r0 ) u (r0 ) ψ B
B
B
граничные условия:
непрерывность полной волновой функции и ее производной
Кусочно-гладкое решение
Материал A
Материал B
1. Находим огибающие для каждой однородной области
H (k )ψ  Eψ
A
A
A
H (k )ψ  Eψ
A
B
B
B
2. Сшиваем решения на границах
приходится сшивать огибающие
exp( ik r0 )ψ
A
A
 exp( ik r0 )ψ
B
B
граничные условия – основная проблема
B
Опорный кристалл
V B (r )
V A (r )
Опорный кристалл
V B (r )
V 0 (r)
V A (r )


2
ˆ
p

0
0
0
ˆ
H (pˆ ) 
 V (r ) 

V
(r )  pˆ  σ
2 2
2me
4me c
V (r  R)  V (r)
0
0
Опорный потенциал V0 является периодическим для всей структуры.
Его блоховские функции – базис, по которому раскаладывается
волновая функция электрона.
Опорный кристалл
V (r )
V (r )
V B (r )
V 0 (r)
V A (r )


2
ˆ
p

0
0
ˆ
H (pˆ ) 
 V (r ) 

V
(r )  pˆ  σ 
2 2
2me
4me c

V (r)  pˆ  σ возмущение
 V (r ) 
2 2
4me c
V 0 (r  R )  V 0 (r )
Разложение волновой функции
 u10 (r ) 


Блоховские функции опорного потенциала
u  
одинаковы для всей структуры
 u 0 (r ) 
 8 
M. G. Burt,
“The justification for applying the effective-mass
approximation to microstructures”,
J. Phys.: Condens. Matter 4, 6651 (1992)
Разложение волновой функции
 u10 (r ) 


Блоховские функции опорного потенциала
u  
одинаковы для всей структуры
 u 0 (r ) 
 8 
Волновая функция имеет тот же вид,
что и в случае плавного потенциала:
 1 (r ) 


ψ (r )    
 (r ) 
 8 
 i (r ) 
ikr
e
 Ci (k )
k1
Разложение волновой функции
 u10 (r ) 


Блоховские функции опорного потенциала
u  
одинаковы для всей структуры
 u 0 (r ) 
 8 
Волновая функция имеет тот же вид,
что и в случае плавного потенциала:
 1 (r ) 


ψ (r )    
 (r ) 
 8 
 i (r ) 
ikr
e
 Ci (k )
k1
Уравнение Шредингера
записывается для всей структуры
H(i)ψ (r )  Eψ (r )
Полный гамильтониан
H(i)ψ (r )  Eψ (r )
Вместо волнового вектора используется
дифференциальный оператор.
Он не коммутирует с эффективной массой,
которая зависит от координат.
Граничные условия для огибающей
содержатся в гамильтониане.
Полный гамильтониан
H(i)ψ (r )  Eψ (r )
Явный вид гамильтониана неизвестен,
поэтому используются простые модели:
2

1
 i *  i
2
m ( z)
2 2
k
* z
2m
2
 
m ( z ) i m  ( z ) i m ( z ),
2
2    1
Расчет для неоднородной системы
• В случае плавного потенциала достаточно
перейти от алгебраический уравнений к
дифференциальным заменой k на  i 
• В гетероструктуре нет общего базиса
блоховских функций
Кусочно-гладкое решение
• Можно решать уравнение отдельно для
каждого материала
• Граничные условия неизвестны как и
блоховские функции
• Граничные условия нужно выбирать исходя
из каких-нибудь дополнительных
соображений
Опорный кристалл
• Можно выбрать опорный кристалл и
использовать его блоховские функции,
рассматривая различия материалов как
возмущение
• Гамильтониан описывает всю структуру и не
нужно сшивать решения на границах
• Правильный гамильтониан неизвестен, и
потому используются различные модели
(эквивалентно выбору граничных условий)
Гетероструктура
• Блоховские функции материалов,
образующих структуру, отличаются
• Потенциал, нарушающий периодичность,
не является плавным
• Это существенно для узких ям высокого
качества (например GaAs/AlAs)
5. Примеры расчетов
Уровни энергии в квантовой яме
HgTe/CdTe
1-я подзона
зоны проводимости
1-я валентная подзона
2-я валентная подзона
3-я валентная подзона
Энергия при k=0, мэВ
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
40
50
60
70
80
90
100
110
Ширина квантовой ямы, Å
120
Зонная структура КЯ
Hg0.86Cd0.14Te/Cd0.7Hg0.3Te
40
20
Energy, meV
0
-20
E(-3)
E(-2)
E(-1)
E(0)
E(1)
-40
-60
-80
-100
0,000
0,005
0,010
0,015
-1
k, Angstrom
0,020
Методы расчета зонной
структуры квантовых ям
трансфер-матрица
Кусочно-гладкое решение
матрица рассеяния
Полный гамильтониан
разложение по полному
ортонормированному
базису
трансфер-матрица
матрица рассеяния
связывает амплитуды огибающих
связывает амплитуды огибающих
для решений,
на правой и левой границе
распространяющихся внутрь
структуры
структуры и наружу
используется умножение матриц
используется умножение и
обращение матриц
метод неустойчив
метод устойчив
Применение различных методов
дискретный
спектр
непрерывный
спектр
метод матрицы
рассеяния
требует поиска нулей
функции
позволяет найти
решение с любой
наперед заданной
энергией
разложение по
полному базису
дает сразу
все уровни
всегда получается
дискретный спектр
Другие пути
• Разложение по большому числу зон
без kp-возмущения
(гамильтониан 14x14, 20x20, … иногда 8x8)
• Разложение по блоховским функциям
нескольких точек Γ, X, L, …
• Учет поправок, связанных с резким
потенциалом
• Расчеты из первых принципов – попытка
подобрать вид периодического потенциала