Дополнение к лекции 12

Взаимодействие двух пробных зарядов в ионном кристалле и
плазме
Рассмотрим взаимодействие двух пробных покоящихся зарядов через коллективные
длинноволновые возбуждения среды, которые описываются, как свободное
бозонные поля. Гамильтониан в такой модели имеет вид:
(1)


H      q  bq,  bq,  12  V  r1   V  r2  
q,
e2
r1  r2
Взаимодействие заряда с полями будем описывать гамильтонианом:
(2)
V  r   iz пр.   F  q   ei rq  bq,  b  q, ,

q,

в котором для оптических фононов в ионных кристаллах:
(3)
(4)
g
.
q
Гамильтониан (1) можно диагонализовать, то - есть представить в виде:
F  q  


H    O q q  12  Veff  r1  r2   Const ,
q
в котором фигурирует новое свободное бозонное поле и независящая от его
состояния величина. Неоператорную величину Veff  r1  r2  можно
интерпретировать, как эффективную энергию взаимодействия двух пробных,
локализованных в точке r1 и r2 , зарядов в среде. К такому виду гамильтониан (1)
приводится с помощью введения новых операторов:
(5)
q  bq  cq и q  bq  c*q ,
которые образуют линейную комбинацию первичных бозонов1. Поскольку cq
просто комплексное число, то коммутационные соотношения для новых
операторов остаются бозонными. Линейные по операторам слагаемые в (1)
исчезают, если
F  q 
e
V
i r1q
(6)
cq  c* q  iz пр.
(7)
Ĥ      q   q  q  c*q  cq 
  q 
при этом гамильтониан преобразуется к виду:

1
2

 eir2q ,

e2
r1  r2
q
.
Эффективная энергия взаимодействия, включающая и прямое кулоновское
взаимодействие, получается в виде:
(8)
1
Veff  r1 , r2   z
2
пр.
e
q, 
iq  r1  r2 
 4 e 2 2  F  q  2



2
  q 
 q


,


Предварительно полезно диагонализовать гамильтониан вида: H  a  a    a    a .

Для этого достаточно ввести новые операторы так, что a
*
   c и a      c* , тогда

H       c   c*  c*c      c    *    c*  . Взять константу c   * ток, чтобы
исчезли линейные по

и

члены, при этом H  

   *
а дополнительная постоянная, которая добавляется к энергии свободных полей:
(9) Const  z
2
пр.

2  F  q 
2
   q 
q,
В этих формулах учитывается возможность одновременного существования
нескольких длинноволновых мод.
В ионных кристаллах взаимодействие двух статических пробных зарядов
ослабляется в 0 раз:
2
(10) Veff  r1 , r2   z пр.  e
q,
iq  r1  r2 
4 e2
q2


g2
z 2 пр.e2
1


,


2 e2  LO   0 r1  r2

поэтому константы взаимодействия связаны со статической диэлектрической
постоянной 0. Более точное соотношение включает в себя диэлектрическую
постоянную на оптических частотах :
 1 1
 g 2  2  e2  LO   
 0
 LO 2  e2
  0 
Коэффициент, определяющий электрон – фононное взаимодействие для ионных
кристаллов:
(11)
(12)
1

1

g2
1
 1
1
F  q   2  e2   LO    1  2
  0  q
2
можно связать с постоянной Фрелиха [ ]    e2
 vO   LO   1 ,
q
vO  1/    1/  0  , в которой
vO  2 LO m и содержит новую неопределённую в этом параграфе
эффективную массу m . Как будет видно из следующего параграфа эффективная
масса определяется не только кристаллическим полем но и поляронным
эффектом, При этом  / 2  NPh - числу сопровождающих медленный электрон
фононов, которое для многих ионных кристаллов обычно значительно больше
единицы. Такое число сопровождающих фононов свидетельствует о том, что
теория возмущений не может в борновском приближении претендовать на
количественную оценку, однако, для качественного понимания поляронного
эффекта мы ею в следующем параграфе воспользуемся. Отрицательная
постоянная добавка к собственной энергии зарядов:
(13)
Const  z 2пр. 1    1  0   4  e2 q 2 ,
q
как обычно, расходящаяся при больших q, однако для фононов имеется
формальное ограничение q < /a, где a- постоянная решетки, поэтому Const ~эВ.
Такая оценка вполне соответствует энергии искажения решетки зарядом e. Для
этой величины мы так же получим оценку в рамках теории возмущений для
полярона равную  LO  NPh . Это ещё раз свидетельствует о том, что NPh
достаточно велико и теория возмущений не применима. В этом параграфе мы не
пользовались приближением теории возмущений, поэтому полученная здесь связь
(11) параметра электрон фононного взаимодействия с экспериментально
измеряемыми диэлектрическими постоянными  0 ,   и частотой продольного
оптического фонона вполне отражает количественное соотношения между ними.