Document 322308

Фононы и другие "оны"
Из параграфа "спиновые волны" и рассмотренного выше подхода к
квантованию макроскопических полей можно понять два важных факта.
1. Любое локальное (узельное) возбуждение в кристаллической решетке из
требования периодичности превращается в волну.
2. Длинноволновые колебания (гидродинамические, упругие, плазменные,
намагниченности и многие др.), которые могут быть рассмотрены
макроскопически, при рассмотрении их взаимодействий пробной частицей или
другими возбуждениями необходимо проквантовать.
Колебания узельных атомов кристаллической решетки относительно
положения равновесия породит два сорта длинноволновых возбуждений.
Колебания центра масс элементарной ячейки породит 3 ветви акустических
фононов (АФ), а колебательные и вращательные степени свободы молекул,
образующих кристалл, породят 3-3 ветви оптических фононов (ОФ). Здесь  число атомов в элементарной ячейке. При этом частота АФ должна стремиться к
нулю при обращающемся в нуль волновом векторе, поскольку в этом случае
кристалл просто смещается в пространстве, как одно целое и не меняет своей
энергии. Колебание всех атомов относительно неподвижного центра их масс с
одинаковой фазой естественно изменяет энергию кристалла, поэтому ОФ имеют
конечную частоту порядка колебательных частот соответствующей молекулы.
При малых амплитудах колебаний вектор смещения пропорционален вектору
плотности смещения, использованного в разделе, где обсуждались плазменные
волны.
(1)
U  r    e
k,
ik  r
Vn

2  M    k,  

 e (k,  )  b k,  e (  k,  )  b  k,

N
Для определённости и ясности дальнейшего изложения вектор смещения будем
связывать с лёгким атомом в решётке, если она состоит из атомов нескольких

сортов. Здесь e (k ,  ) - единичный вектор поляризации. Для продольной ветви это


вектор k / k , для поперечных это два вектора перпендикулярных k / k .
Сопряженный оператору вектор смещения оператор импульса:
(2)
P  r   i   e
ik  r

 n  M    k,  
 e (k,  )  b k,  e (  k,  )  b6 k,
2


V
В данном случае правила коммутации по самому физическому смыслу
соответствуют коммутационным соотношениям для координаты и импульса
частицы (например, для узельного атома), поэтому фононы могут
рассматриваться, как "настоящие" бозоны в отличие от спиновых волн. В общем
случае гамильтониан для длинноволновых фононов можно записать в виде
аналогичному, рассмотренному в разделе о плазмонах
k,
(3)
 P r 2  , , ,  U U   , U  r U  r  
H    

 r  r 
dr
2
2
2




V 
Слагаемое в фигурных скобках, связанное с производными от вектора смещений,
можно выразить через тензор деформаций
(4)
1  U U  ,
U
   
, 
2  r r 
поскольку именно он связан с изменением расстояния между точками упругого
тела1. Тензор  ,,, , определяющие упругие свойства кристалла обязан быть
симметричным по индексам ,  и  , , а так же при перестановке пары этих
индексов.
Квадратичный гамильтониан (3) с помощью операторного фурье преобразования приводится к диагональному виду, тем же путем, что и для
плазмонов. Для решеток с достаточно высокой симметрии, или для модели
изотропного твердого тела тензор  ,,, можно задать двумя константами:
например, модулем сдвига  и адиабатическим модулем всестороннего сжатия K.


   , ,  , ,  K  2 / 3  

,,,
, ,
Для данного случая тензор 
изотропный и задается одной константой.
,
(4)

(5)

 OL  
(6)
H
    k,    b k, b k,   b k,  b k, ,
2
 ,
, 
Ввиду ортогональности векторов поляризации для различных мод
гамильтониан (3) сводится к диагональному виду
2

k,

если частоты удовлетворяют дисперсионным соотношениям:
AL  cL  k , где cL  (4 / 3  K ) / 
(7)
,
AT  c T  k , где cT   / 
соответствующие одной продольной и двум поперечным акустическим модам.
Кроме того, в данном случае имеется только одна продольная оптическая мода с
частотой OL .
Оператор взаимодействия электронов с акустическими фононами можно
построить из оператора U  r  . Локальная энергия электрона
V  r    ,  U ,  r  , где симметричный тензор  ,  определяет параметры
электрон – фононного деформационного взаимодействия. В ковалентных
кристаллах характерный масштаб энергии электрона несколько eV и определяется
постоянной решетки, поэтому локальное ее изменение за счет малой деформации
линейно по U  r  и порядок величин  ,  ~ eV , что вполне согласуется с


u  r 
l  r   r  
r   l 2  2r u  r , V   V 1  u  


r


2
1
r  r   r  u  r  ,
2
2
экспериментальными данными, например, по подвижности. Длинноволновая
деформация решетки в изотропной модели, пригодной для кристаллов с
кубической симметрией, приводит к изотропному гамильтониану.
(8)
V  r   i  
q
q
i  rq
i  rq  
  e
 bq  e
 bq 
2  N  M  c AL 

В идеальном ферми – газе дополнительная энергия электрона, связанная с
деформациями, появится из-за локального изменения уровня Ферми2. В этом
случае для оценок электрон – фононного взаимодействия простых металлах
можно использовать 2F/3.
В ионных кристаллах, где при неоднородной деформации возникают
электрические поля, более эффективным может стать поляризационное
взаимодействие, для которого можно написать гамильтониан электрон –
фононного аналогичный гамильтониане взаимодействию заряда с плазмоном.
  




0  D  E  4P или   ~ 4  e  Q ~ 4  n  e  U
(9)
Можно проинтегрировать последнее из соотношений (9) по r и получить
потенциал   r  . Домножая его на заряд электрона, получается потенциал
взаимодействия Ve ph  r    e     r  электрона с оптическим фононом:
2
irq
irq  
n
Ve  ph  r   i   4  e  g 
e
b e
b 
q
q
q
V  2    OL 
q
Однако проще продифференцировать (10) по r и убедиться, что с точностью до
недостающего множителя получившееся выражение совпадает с (1).
Естественно, что вместо электронной массы в (10) стоит приведенная масса,
близкая к массе легкого иона, а  0 L - частота продольного оптического фонона.
Величина g может быть близка к единице для кристаллов с большой разницей
масс ионов различного знака. Ее значение можно связать с диэлектрической
восприимчивостью кристалла и постоянной Фрелиха[ ]. Решая соответствующие
задачи задания можно установить, что для ионного кристалла
 4  e2 n 
p2  1 1 
 1
1
2
2
2
2
2
 2  e g 
 2  e  LO     g 2     ,
(11) g  
OL

 
OL     0 
  0 


(10)
а постоянная Фрёлиха    e2
v O  1/    1/  0  , где vO  2 LO m -
характерная скорость содержит новую неопределённую в этом параграфе
эффективную массу m .
2
 F   3 2 
N
 
2m  V 
2
23
2
V
V
N
 u   r   div u  r 
 Ve  ph  r   F      F 
, но
V
3
V
V