Задача № 39. Частица с энергией падает на прямоугольный

Задача № 39.
Частица с энергией E падает на прямоугольный потенциальный порог высотой U 0 .
U
Найдите приближённое выражение для коэффициента отражения R для случая 0 1 .
E
Решение:
Прямоугольный потенциальный порог имеет вид, представленный на рисунке 1:
Рисунок 1
0, x  0
U ( x)  
U 0 , x  0
Составим уравнение Шредингера для области x  0 :
 2 1 2m
 2 E 1  0
x 2
(1)
Для области x  0 :
 2 2 2m
 2 ( E  U 0 ) 2  0
x 2
(2)
Запишем дифференциальные уравнения (1) и (2) в виде:
 2 1
 k12 1  0
x 2
(3)
 2 2
 k22 2  0
2
x
(4)
где k12 
2m
2
E и k22 
2m
2
( E  U 0 ) . В нашем случае E  U 0 . Решения дифференциальных
уравнений (3) и (4) имеют вид:
 1 ( x)  A1 exp(ik1 x)  B1 exp(ik1 x)
(5)
 2 ( x)  A2 exp(ik2 x)  B2 exp(ik2 x)
(6)
Первое слагаемое выражения (5) соответствует падающей дебройлевской волне, второе
слагаемое – отражённой волне. В области x  0 существует только прошедшая волна,
которой соответствует первое слагаемое выражения (6), поэтому коэффициент B2  0 .
Таким образом, выражение (6) примет вид:
 2 ( x)  A2 exp(ik2 x)
(7)
Волновая функция частицы должна удовлетворять стандартным условиям. Используя
условие непрерывности в точке x  0 , получим:
A1  B1  A2
(8)
Используя условие гладкости (непрерывности первых производных), получим:
k1 A1  k1B1  k2 A2
(9)
Из уравнений (8) и (9) следует:
k1 A1  k1B1  k2 A1  k2 B1
(k1  k2 ) A1  (k1  k2 ) B1
Откуда получим:
B1 k1  k2

A1 k1  k2
(10)
Так как квадрат амплитуды волновой функции в нашем случае характеризует плотность
вероятности местонахождения частицы, а скорость движения частицы v k , то поток
плотности вероятности:
P
vA2
kA2
(11)
Для падающей дебройлевской волны поток плотности вероятности:
P
k1 A12
(12)
Для отражённой дебройлевской волны поток плотности вероятности:
P'
k1 B12
(13)
Коэффициент отражения частицы от потенциального порога равняется:
P ' B12  k1  k2 
R



P A12  k1  k2 
Так как k1 
2mE
2
, k2 
(14)
2m( E  U 0 )
, получим:
2
 k  k   2mE  2m( E  U 0 )   E  E  U 0
R 1 2  
 
 k1  k2   2mE  2m( E  U 0 )   E  E  U 0
2




2

U0 
 1 1

E




U0 
 1 1

E 

2
(15)
U0
1 . В этом случае в числителе выражения (15) получим
E
нуль. Таким образом, R  0 , то есть дебройлевская волна практически полностью
проходит в область потенциального порога.
Теперь рассмотрим случай
U0
1 коэффициент отражения R  0 , то есть дебройлевская волна
E
практически полностью проходит в область потенциального порога.
Ответ: В случае