Четность и нечетность функций

Четность и нечетность функций
Функция называется четной, если для любого значения х из ее области
определения значение – х также принадлежит области определения и верно
равенство f( - x)=f(x).
Область определения четной функции симметрична относительно нуля.
График четной функции симметричен относительно оси Оу.
Функция называется нечетной, если для любого значения х из ее области
определения значение – х также принадлежит области определения и верно
равенство f( - x)= - f(x).
Область определения нечетной функции симметрична относительно нуля.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Сумма двух четных функций четна, а сумма двух нечетных – нечетна.
Доказательство: f(x)+g(x)=f( - x)+g( - x)=f(x)+g(x).
Произведение двух четных функций является четной функций,
произведение двух нечетных функций также является четной функций.
Произведение четной и нечетной функции – нечетно.
Доказательство: (fg)( - x)=f( - x)g( - x)=f(x)g(x)=(fg)(x).
1
Если функция f четна (нечетна), то и функция четна (нечетна).
𝑓
Доказательство: если функция f четна и f(x)0, то
1
𝑓(−𝑥)
=
1
.
𝑓(𝑥)
Если Х симметрично относительно начала координат, то любая заданная
на Х функция f является суммой четной и нечетной функций f=g+h, где 𝑔(𝑥) =
𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)
2
, ℎ(𝑥) =
𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)
2
.
𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)
𝑓(−𝑥)−𝑓(𝑥)
Доказательство: 𝑔(−𝑥) =
= 𝑔(𝑥), ℎ(−𝑥) =
= −ℎ(𝑥).
2
2
Отсюда следует, что функция g(x) четна, а функция h(x) нечетна. При этом
𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)
𝑓(𝑥)−𝑓(−𝑥)
𝑓(𝑥) =
+
= 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥).
2
2
Примеры решения задач
Пример 1. Определить четность (нечетность) функции
Решение: функция
𝑥 2 +4
3𝑥 6 +𝑥 4 +7
6
𝑥 2 +4
.
3𝑥 6 +𝑥 4 +7
является четной, поскольку четны функции
𝑥 2 + 4 ((−𝑥)2 + 4 = 𝑥 2 + 4) и 3𝑥 + 𝑥 4 + 7, а
𝑥 2 +4
3𝑥 6 +𝑥 4 +7
= (𝑥 2 + 4)
1
3𝑥 6 +𝑥 4 +7
.
Ответ: четная
Пример 2. Исследовать функцию на четность:
1) 𝑦 =
𝑥4
; 2) 𝑦 =
𝑥 2 +1
𝑥 4 −3𝑥 2
|𝑥−2|
; 3) 𝑦 = 𝑥|𝑥| − 4𝑥 7 .
Решение.
𝑥4
1) Замечаем, что функция 𝑦 = 2 имеет D(y)=R, следовательно, функция
𝑥 +1
определена на симметричном множестве.
𝑦=
(−𝑥)4
=
𝑥4
(−𝑥)2 +1 𝑥 2 +1
. Отсюда следует, что функция четная.
2) Функция 𝑦 =
𝑥 4 −3𝑥 2
|𝑥−2|
имеет D(y)=( - ∞; 2)(2; +∞). Так как D(y) не
является симметричным множеством, второе условие проверять
необходимости. Эта функция не обладает свойством четности.
нет
3) Очевидно, что функция 𝑦 = 𝑥|𝑥| − 4𝑥 7 имеет D(y)=R т.е. определена на
симметричном множестве и для нее справедливо равенство: 𝑦 = −𝑥|−𝑥| −
4(−𝑥)7 == −𝑥|𝑥| + 4𝑥 7 =−(𝑥|𝑥| − 4𝑥 7 ). Отсюда следует, что функция нечетная.
Упражнения
1. Определите, является функция четной, нечетной или не является ни четной,
ни нечетной:
1)
5)
9)
1
1+𝑥+𝑥 2
+
2) (𝑥 + 1)4 + (𝑥 − 1)4
1
1−𝑥+𝑥 2
6) 𝑥 4 − 4𝑥 + 5
𝑥 3 −𝑥
7)
𝑥 2 +1
𝑥 4 +𝑥 2 +1
10)
𝑥 2 +1
3)
𝑥+4
𝑥−4
+
𝑥−2𝑥 3
1+2𝑥 2
𝑥−4
𝑥+4
4) 𝑦 = 𝑥 4 −
8)
−𝑥 2 +1
2+𝑥 2
𝑥 3 +1
𝑥 2 +1
2. Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функций:
1) 3𝑥 2 − 𝑥 + 7
2)
𝑥 2 +4
𝑥 3 +1
3)
4)
𝑥2
2
5)
9)
𝑥 2 +1
6)
7)
8)
𝑥 2 +𝑥+1
𝑥 3 +1
10)
𝑥 2 +4
3. Найдите ось симметрии для графиков функций:
1) (𝑥 − 3)4 + 2(𝑥 − 3)2 + 5
2)
3)
4)
5) 𝑥 2 − 3𝑥 + 5
6)
7)
8)
9)
10)
4. Найдите центр симметрии для графиков функций:
1) (𝑥 − 2)3 + 3(𝑥 − 2) − 6
2)
3)
4)
5) (𝑥 + 4)5 + (𝑥 + 4)3 − 1
6)
7)
8)
9)
10)
5. Определите по графику четной или нечетной является функция:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
6. Определите четность или нечетность функции:
1) 𝑓(𝑥) =
16𝑥 2
𝑥 2 +1
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 13 −
2𝑥 21
√𝑥 8
3) 𝑓(𝑥) = √𝑥 4 + 4𝑥 2 + 4 −
√𝑥 2
4) 𝑓(𝑥) =
2𝑥 3
𝑥 2 −9
5) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 2 − 4𝑥 8 + |𝑥| + 6) 𝑓(𝑥) = (𝑥 3 )5 +
3
2
(𝑥 11 )3
𝑥 6 −1
7) 𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −4
|𝑥|
10
8)
𝑓(𝑥) = √5𝑥 2 − 3 + 9) 𝑓(𝑥) = 𝑥√25𝑥 12 − 6𝑥
𝑥 5 −𝑥 3
√3𝑥 2 − 5
𝑓(𝑥) =
10)
(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥
7. Функции f и g определены на множестве всех действительных чисел.
Является ли функция h четной или нечетной, если:
1) h(x)=f(x)g2(x),
2) h(x)=f(x)g2(x),
f – четная функция, g – f и g – четные функции
нечетная
3) h(x)=f(x)+g(x),
f и g – нечетные
функции
4) h(x)=f(x)g(x),
5) h(x)=f(x)g2(x),
6) h(x)=f(x)+g(x),
f и g – нечетные функции
f и g – нечетные функции
f и g
функции
7) h(x)=f(x)g(x),
8) h(x)=f(x)g(x),
9) h(x)=f(x)-g(x),
f – четная функция, g – f и g – четные функции
нечетная
–
четные
f – четная функция, g
– нечетная
10) h(x)=f(x)g2(x),
f – нечетная функция, g –
четная
8. Найдите:
1) 𝑓(−3) + 𝑓(4), если f(x) – нечетная 2) 𝑓(−2) + 𝑓(5), если f(x) – четная
функция и f(3)= - 7; f( - 4)=3
функция и f(2)=3; f( - 5)=2
3) 2𝑓(−3) − 𝑓(4), если f(x) – четная 4)
функция и f(3)= - 7; f( - 4)=5
5) 4𝑓(5) + 𝑓(−2), если f(x) – нечетная 6)
функция и f( - 5)=3; f(2)= - 8
7)
8)
9)
10)