Четность и нечетность тригонометрических функций

Четность и нечетность тригонометрических функций
Функция f называется четной, если вместе с каждым значением
переменной х из области определения f значение – х также входит в область
определения этой функции и при этом выполняется равенство f( – x)=f(x).
Функция f называется нечетной, если вместе с каждым значением
переменной х из области определения f значение – х также входит в область
определения этой функции и при этом выполняется равенство f(– x)= – f(x).
Например, функция f(x)=х4 – четная, а f(x)=х3 – нечетная. f(-x)=(-x)4=x4.
f(-x)=(-x)3=-x3.
График четной функции симметричен относительно оси ординат. График
нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Из этих правил вытекает следующее: при построении графика четной или
нечетной функции достаточно построить его часть для неотрицательных х, а
затем отразить полученный график относительно оси ординат (в случае четной
функции) или начала координат (в случае нечетной).
1
𝑥 3 +x
x
𝑥 3 -x
Пример: функция f(x)=x+ нечетная, функция f(x)=
- четная, функция
f(x)=х2+х не является ни четной, ни нечетной.
Косинус – четная функция, синус, тангенс, котангенс – нечетные
функции.
Доказательство. Любые два противоположных числа α
и –α изображаются на единичной окружности двумя точками
Рα и Р–α, симметричными относительно оси абсцисс. Так как
точки Рα и Р–α лежат на единичной окружности с центром в
начале координат О, то координатами точки Рα будут числа
cosα и sinα, а координатами точки Р–α будут числа cos(–α) и sin(–α).
Из того, что точки Рα и Р–α симметричны относительно оси абсцисс,
следует, то их абсциссы совпадают, а их ординаты противоположны. Поэтому
при любом α справедливы равенства cos(–α)=cosα и sin(–α)=–sinα.
Для тангенса и котангенса имеем:
tg(–α)= sin(–α)/cos(–α)= –sinα/cosα= –tgα;
ctg(–α)= cos(–α)/sin(–α)= cosα/(–sinsα)= –ctgα.
Упражнения
1. Докажите, что функции являются четными:
1) f(x)=3x2+x4
6) f(x)=
2) f(x)=x2cosx
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑥 2 −1
7) f(x)=
2𝑠𝑖𝑛
𝑥
2
𝑥
3) f(x)=x5sin
8) f(x)=
𝑥3
2
𝑐𝑜𝑠 𝑥 3
𝑐𝑜𝑠5𝑥+1
4) f(x)=4x6-x2
5) f(x)=
9) f(x)=sinxctg2x
10) f(x)=
4−𝑥 2
|𝑥|
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
1+𝑐𝑜𝑠𝑥
2. Докажите, что функции являются нечетными:
1) f(x)=x3sinx2
6) f(x)=
𝑐𝑜𝑠 𝑥 3
𝑥(25−𝑥 2 )
2) f(x)=x2(2x-x3)
7) f(x)=
3𝑥
𝑥 6 +2
3) f(x)=x5cos3x 4) f(x)=x(5-x2)
8) f(x)=
𝑥 2 𝑠𝑖𝑛𝑥
5) f(x)=
𝑥 4 +1
2𝑥 3
9) f(x)=tgxsin2x 10) f(x)=cosxsinx
𝑥 2 −9
3. Какие из указанных функций являются четными, какие – нечетными а какие
не являются ни четными, ни нечетными?
1) y=sinx+ctgx - x
2) y=x4+tg2x+xsinx 3) y= 𝑠𝑖𝑛𝑥
3
𝑥 −1
𝑡𝑔𝑥−𝑐𝑡𝑔𝑥
6) y=
|𝑥|
𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥
7) y=
𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑥+𝑡𝑔𝑥
8) y=
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
√1−𝑥 2
4) y=
1−𝑥
𝑡𝑔𝑥+1
9) y=
𝑡𝑔𝑥−1
|𝑥|
5) y=
𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥 2 +𝑠𝑖𝑛2 𝑥
10) y=
1+𝑠𝑖𝑛2 𝑥
4. Определите по графику четной или нечетной является функция или не
является ни четной, ни нечетной:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
5. Функции f и g определены на множестве всех действительных числе.
Является ли функция h четной или нечетной, если:
1) h(x)=f(x)g2(x),
2) h(x)=f(x)g2(x),
f – четная функция, g – f и g – четные функции
нечетная
3) h(x)=f(x)+g(x),
f и g – нечетные
функции
4) h(x)=f(x)g(x),
5) h(x)=f(x)g2(x),
6) h(x)=f(x)+g(x),
f и g – нечетные функции
f и g – нечетные функции
f и g
функции
7) h(x)=f(x)g(x),
8) h(x)=f(x)g(x),
9) h(x)=f(x)-g(x),
f – четная функция, g – f и g – четные функции
нечетная
10) h(x)=f(x)g2(x),
f – нечетная функция, g –
четная
–
четные
f – четная функция, g
– нечетная