ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ «ФУНКЦИИ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ «ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛЫ.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ»
Сформулируйте определение функции.
Что называется областью определения функции?
Что называется постоянной функцией?
Какие существуют способы задания функции?
Может ли график функции пересекаться в нескольких точках прямой:
1) у=а;
2) х=а?
6. Сформулируйте определение сложной функции.
7. Сформулируйте определение обратной функции.
8. В чем отличие функции от обратной функции? Проиллюстрируйте геометрически.
9. Какие функции называются взаимно обратными?
10. Перечислите простейшие элементарные функции. запишите их математические
выражения, изобразите их графически.
11. Свойства показательных и логарифмических функций .
12. Дайте определение возрастающей и убывающей функции
13. Может ли график функции быть симметричным:
1) относительно оси абсцисс;
2) относительно оси ординат?
14. При каких значениях а и b функция у=ах+b является:
1) возрастающей; 2) убывающей?
15. При каких значениях а функция y  a  x является: 1) возрастающей;
2)
убывающей?
16. Дайте определение четной и нечетной функции
17. Укажите такое α, чтобы функция y  x  была: 1) возрастающей; 2) убывающей; 3)
четной; 4) нечетной.
18. Может ли функция быть четной или нечетной, если её областью определения
является промежуток  1; 1?
19. Областью определения нечетной функции является промежуток a; b. Что можно
сказать о числах а и b?
20. Известно, что функция y  f (x) нечетная и число х=0 принадлежит её области
определения. Найдите f(0).
21. Существует ли нечетная функция, принимающая только положительные значения?
22. Четной или нечетной функцией является произведение: 1) двух нечетных функций;
2) двух четных функций; 3) четной и нечетной функций?
23. Будет ли четной (нечетной) функцией сумма: 1) двух нечетных функций; 2) двух
четных функций; 3) четной и нечетной функций?
24. Может ли возрастающая (убывающая) функция быть: 1) четной; 2) нечетной; 3)
периодической?
25. Как найти точки пересечения графиков с осями координат?
26. Как сложить графики функций?
27. Сформулируйте два определения предела функции.
28. Перечислите все теоремы о пределах функции.
29. Какие замечательные пределы вы знаете?
30. Пусть х0 точка разрыва функции y  f (x) . Следует ли отсюда, что: 1) точка х0 не
входит в область определения этой функции; 2) не существует lim f ( x) .
1.
2.
3.
4.
5.
x x0
31. Функции y  f (x) и y  g (x) непрерывны на некотором промежутке. Обязательно
f ( x)
ли непрерывна на этом промежутке функция y 
?
g ( x)
32. Функция y  f (x) непрерывна в точке х0, а y  g (x) разрывна в этой точке. Что
можно сказать о непрерывности их суммы в точке х0?
33. Приведите пример функции, которая разрывна в точке х=0.
34. Функция не обращается в ноль ни при одном значении х. Следует ли отсюда, что
функция имеет один и тот же знак при всех значениях х?
35. Приведите пример функции, предел которой при x   равен 0; 1?
36. Приведите пример функции, не имеющей предела при x   .
37. При каких условиях из существования односторонних пределов функции следует
существование предела функции и наоборот?
38. Сформулируйте два определения предела функции при x   .
39. Сформулируйте определение бесконечно малой функции. Приведите пример.
40. Сформулируйте определение бесконечно большой функции.
41. Что означают записи: lim f ( x)  , lim f ( x)  , lim f ( x)   .
x x0 
x
x
42. Какова связь между бесконечно малой и бесконечно большой функциями?
43. Что значит сравнить две бесконечно малые функции?
44. Перечислите правила сравнения бесконечно малых функций.
45. Что означают записи: x  x0 , x  x0 , x  x0 , x  , x  , x   ?
0

46. В каких случаях говорят о наличии неопределенности вида
или ?
0

47. Как раскрыть такие неопределенности?
48. Сформулируйте определение непрерывности функции в точке х0.
49. В чем различие между понятиями непрерывности функции и пределом функции в
точке х0?
50. Какие точки называются точками разрыва функции?
ВЫВОДЫ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.
1. Докажите первый замечательный предел.
2. Докажите второй замечательный предел.
3. Докажите, что lim 1  x  x  e .
1
x 0
4. Доказать эквивалентность бесконечно малых функций:
x2
e x  1 ~x,
tanx~x,
1-cosx~
, ln(1+x)~x,
sin x ~х,
2
arcsinx~x,
arctanx~x.
a x  1 ~xlna,