Приведение к каноническому виду линейных уравнений с

Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, экономики и информатики
Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений
Е.А.Головко
ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО
ПОРЯДКА
Методические указания
Иркутск 2008
Оглавление
Ведение……………………………………………………………………
3
§1 Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………
4
1.1. Необходимый теоретический материал………………………..
4
1.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к
6
каноническому виду уравнений гиперболического типа) ...
1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к
7
каноническому виду уравнений параболического типа)
1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к
9
каноническому виду уравнений эллиптического типа) ..
1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….
11
§2 Упрощение группы младших производных
13
для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
2.1. Необходимый теоретический материал …………………..
13
2.2. Пример выполнения задачи 4
14
2.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..
17
2
ВВЕДЕНИЕ
В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на
конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных
уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического
типов.
Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.
3
§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с
частными производными 2-го порядка с двумя независимыми
переменными.
Задача. Определить тип уравнения
A( x, y)U xx  2B( x, y)U xy  C ( x, y)U yy  a( x, y)U x  b( x, y)U y  c( x, y)U  f ( x, y)
(1)
и привести его к каноническому виду.
1.1. Необходимый теоретический материал.
I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения B 2  AC :
 если B 2  AC  0 в некоторой точке, то уравнение (1) называется
уравнением гиперболического типа в этой точке;
 если B 2  AC  0 в некоторой точке, то уравнение (1) называется
уравнением эллиптического типа в этой точке;
 если B 2  AC  0 в некоторой точке, то уравнение (1) называется
уравнением параболического типа в этой точке.
Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического,
параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.
Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в
другую. Например, уравнение yU xx  U yy  0 является уравнением эллиптического
типа в точках ( x, y ), y  0 ; параболического типа в точках (x,0) ; и гиперболического типа в точках ( x, y ), y  0 .
II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:
1. Определить коэффициенты A( x, y), B( x, y), C ( x, y) ;
2. Вычислить выражение B 2  AC ;
3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения
B 2  AC );
4. Записать уравнение характеристик:
(2)
A( x, y)dy 2  2 B( x, y)dxdy  C ( x, y)dx 2  0 ;
5. Решить уравнение (2). Для этого:
а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:
B( x, y )  B 2  AC
dy 
dx ;
(3)
A( x, y )
б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения
(1)):
4

1 ( x, y)  C1 ,
 1 ( x, y)  C2,
(4)
в случае уравнения гиперболического типа;
  2 ( x, y )  C ,
(5)
в случае уравнения параболического типа;
  3 ( x, y )  i 3 ( x, y )  C ,
(6)
в случае уравнения эллиптического типа.
6. Ввести новые (характеристические) переменные  и  :
 в случае уравнения гиперболического типа в качестве  и  берут
общие интегралы (4) уравнений (3), т.е.
  1 ( x, y),
   1 ( x, y);
 в случае уравнения параболического типа в качестве  берут общий интеграл (5) уравнения (3), т.е.    2 ( x, y ) , в качестве  берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию  2 , не
выражающуюся через  2 ( x, y ) , т.е.    2 ( x, y ) ;
 в случае уравнения эллиптического типа в качестве  и  берут
вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6)
уравнений (3):
  Re3 ( x, y)  i 3 ( x, y)   3 ( x, y),
  Im3 ( x, y)  i 3 ( x, y)    3 ( x, y).
7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя
правило дифференцирования сложной функции:
U   x, y ;  x, y 
U x  U    x  U   x ,
U y  U    y  U   y ,
U xx  U   x   2U   x x  U   x   U   xx  U  xx ,
2
2
(7)
U yy  U    y   2U    y y  U   y   U    yy  U  yy ,
U xy  U    x y  U    x y   y x   U  x y  U    xy  U  xy .
8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из
следующих видов:
 в случае уравнения гиперболического типа:
2
2
U   F1 U  ,U ,U ,  ,   0 ;
5
 в случае уравнения параболического типа:
U  F1 U  ,U ,U ,  ,   0 ;
 в случае уравнения эллиптического типа:
U   U  F1 U  ,U ,U ,  ,   0 .
1.2. Пример выполнения задачи 1.
Определить тип уравнения
U xx  4U xy  21U yy  2U x  3U y  5U  x 2
и привести его к каноническому виду.
(8)
Решение:
1. Определим коэффициенты A( x, y), B( x, y), C ( x, y) :
А=1, В= -2, С=-21.
2
2. Вычислим выражение B  AC :
B 2  AC  4  21  25 .
3. B 2  AC  25  0  уравнение гиперболического типа во всей плоскости
XOY.
4. Запишем уравнение характеристик:
dy 2  4dxdy  21dx 2  0 .
(9)
5. Решим уравнение (9). Для этого:
а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy:
 2  25
dy 
dx ;
1
dy   2  5dx ;
dy  7dx,
dy  3dx,
(10)
б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения
(9)):
y  7 x  C1 ,
y  3x  C2 ,
y  7 x  C1 ,
y  3x  C2 .
6. Введём характеристические переменные:
  y  7 x,
  y  3x.
7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Найдем сначала
6
 x  7,  y  1,  xx  0,  xy  0,  yy  0,
 x  3,  y  1,  xx  0,  xy  0,  yy  0.
Используя формулы (7), получим:
2 U x  7U   3U ,
 3 U y  U   U ,
1 U xx  49U   42U   9U ,
1 U xy  7U   4U   3U ,
 21 U yy  U   2U   U .
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующих
производных.
8. Собирая подобные слагаемые, получим:
U  {49  28  21}  U  {42  16  42}  U {9  12  21} 
 U  {14  3}  U

   2
{6  3}  5U 
.
16
Или после деления на -100 (коэффициент при U  ):
U   0,11U   0,09U  0,05U

   2

.
1600
Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всей
плоскости XOY. Канонический вид

   2
U   0,11U   0,09U  0,05U  
,
1600
где   y  7 x,   y  3x.
1.3. Пример выполнения задачи 2.
Определить тип уравнения
25U xx  10U xy  U yy  U y  2U  5 y  2 x
и привести его к каноническому виду.
(11)
Решение:
1. Определим коэффициенты A( x, y), B( x, y), C ( x, y) . В нашем примере они
постоянны:
А=25, В= -5, С=1.
2
2. Вычислим выражение B  AC :
7
B 2  AC  25  25  0 .
3. B 2  AC  0  уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.
4. Запишем уравнение характеристик:
(12)
25dy 2  10dxdy  dx2  0 .
5. Решим уравнение (12). Для этого:
а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy. Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:
(5dy  dx) 2  0 ;
(13)
5dy  dx;
б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):
5 y   x  C,
5 y  x  C.
6. Введём характеристические переменные: одну из переменных ( ) вводим
как и ранее
  5 y  x,
а в качестве  берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не
выражающуюся через  , пусть
  x;
7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Найдем сначала
 x  1,  y  5,  xx  0,  xy  0,  yy  0,
 x  1,  y  0,  xx  0,  xy  0,  yy  0.
Используя формулы (7), получим:
0 U x  U   U ,
1 U y  5U  ,
25 U xx  U   2U   U  ,
 10 U xy  5U   5U  ,
1 U yy  25U  .
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующих
производных.
8. Собирая подобные слагаемые, получим:
U  {25  50  25}  U  {50  50}  U {25} 
 U  {5}  2U     .
8
Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.
После деления на 25 (коэффициент при U  ):
U  0,2U  0,08U  0,4(   ).
Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всей
плоскости XOY. Канонический вид
U  0,2U  0,08U  0,4(   ).
где   5 y  x,   x.
1.4. Пример выполнения задачи 3.
Определить тип уравнения
U xx  4U yy  U x  3U y  U  x 2
и привести его к каноническому виду.
(14)
Решение:
1. Определим коэффициенты A( x, y), B( x, y), C ( x, y) :
А=1, В= 0, С=4.
2
2. Вычислим выражение B  AC :
B 2  AC  0  4  4 .
3. B 2  AC  4  0  уравнение эллиптического типа во всей плоскости
XOY.
4. Запишем уравнение характеристик:
(15)
dy 2  4dx2  0 .
5. Решим уравнение (15). Для этого:
а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy:
dy  2idx ;
(16)
б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений . Они
имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)
y  2 xi  C ,
(17)
y  2 xi  C.
6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части
одного из общих интегралов (17):
  Re( y  2 xi )  y,
  Im( y  2 xi )  2 x.
7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
9
Найдем сначала
 x  0,  y  1,  xx  0,  xy  0,  yy  0,
 x  2,  y  0,  xx  0,  xy  0,  yy  0.
Используя формулы (7), получим:
1 U x  2U  ,
 3 U y  U ,
1 U xx  4U  ,
4 U yy  U 
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих
производных.
8. Собирая подобные слагаемые, получим:
U  {4}  U  {4} 
 U  {3}  U  {2}  U   .
Или после деления на 4 (коэффициент при U  и U  ):
U   U  0,75U   0,5U  0,25U   .
Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей
плоскости XOY. Канонический вид
U   U  0,75U   0,5U  0,25U   .
где   y,   2 x.
10
1.5. Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.
1.1.
1.2.
U xx  8U xy  9U yy  21U x  3U y  U  0 .
2U xx  4U xy  6U yy  U x  7U y  3U  0 .
1.5
1.6
3U xx  4U xy  U x  3U y  U  0 .
 7U xy  21U yy  2U x  U y  4U  0 .
U xx  2U xy  8U yy  3U y  U  0 .
U xx  U xy  6U yy  2U x  U  x .
1.7
4U xx  2U xy  6U yy  8U x  U y  U  y .
1.8
1.9
U xx  16U yy  U x  3U y  6U  0 .
U xx  8U xy  2U x  U y  5U  x  y .
1.3.
1.4.
1.10 6U xx  U xy  U yy  U x  U y  U  0 .
Задача 2.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.
2.1. U xx  4U xy  4U yy  2U x  U y  U  x
2.2. 2U xx  4U xy  2U yy  U x  3U y  U  y 2
2.3. U xx  2U xy  U yy  U x  3U y  5U  0
2.4. 3U xx  6U xy  3U yy  5U x  3U y  2U  y  x
2.5. 4U xx  4U xy  U yy  U x  2U y  U  0
2.6. U xx  4U xy  4U yy  U y  U  x  y
2.7. 9U xx  6U xy  U yy  7U x  2U y  U  0
2.8. 2U xx  8U xy  8U yy  U x  U y  U  0
2.9. U xx  6U xy  9U yy  5U x  U y  3U  y
2.10. 9U xx  12U xy  4U yy  3U x  2U y  U  0
11
Задача 3.
Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
 U xx  2U xy  5U yy  2U x  3U y  5U  0
U xx  2U xy  10U yy  U x  3U y  5U  0
2U xx  4U xy  10U yy  8U x  3U y  U  sin x
U xx  4U xy  13U yy  7U x  6U y  0
3.6.
3.7.
3U xx  8U xy  7U yy  3U x  U y  2U  0
2U xx  6U xy  8U yy  U x  5U y  2U  y 
2x
3
U xx  6U xy  13U yy  3U x  U y  4U  0
3U xx  8U xy  6U yy  3U x  U y  2 
3.8.
3.9. 13U xx  4U xy  U yy  3U x  6U y  U  0
3.10. 10U xx  2U xy  U yy  U x  3U y  0
12
3x
2
§2. Упрощение группы младших производных
для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
2. 1. Необходимый теоретический материал
В самом общем виде линейное уравнение с частными производными второго
порядка с двумя независимыми переменными имеет вид
A( x, y )U xx  2 B( x, y )U xy  C ( x, y )U yy 
(1)
 a( x, y )U x  b( x, y )U y  c( x, y )U  f ( x, y )
Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов
 в случае уравнения гиперболического типа:
U   a1U   b1U  c1U  f1 ( , ) ;
(11)
 в случае уравнения параболического типа:
U  a2U   b2U  c2U  f 2 ( , ) ;
(12)
 в случае уравнения эллиптического типа:
(13)
U   U  a3U   b3U  c3U  f 3 ( , ) .
Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшего
упрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функции
(14)
U ( , )  e   V ( , ) ,
где V ( , ) - новая неизвестная функция,  ,  - параметры, подлежащие определению. Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры  ,  так, чтобы из трех слагаемых группы младших производных
в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического
и эллиптического типов соответственно примут вид
~
U   c~1U  f1 ( , ) ;
~
U  a~2U   f 2 ( , ) ;
~
U   U  c~3U  f 3 ( , ) .
Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам
13
U ( , )  e   V ( , ),
U   e    (V  V ),
U   e    ( V  V ),
U   e    (2V  2V  V ),
(15)
U   e    (V  V  V  V ),
U   e    (  2V  2V  V ).
Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболического
типа, т.е. уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение,
используя формулы (15).
с1 U ( , )  e   V ( , ),
a1 U   e    (V  V ),
b1 U   e    ( V  V ),
1 U   e    (V  V  V  V )
Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получим
(16)
e  {V  V (a1   )  V (b1   )  V (a1  b1    c1 )}  f1 ( , ) .
В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при V и V
a1    0,
b1    0.
Откуда   a1 ,   b1 . Подставив эти значения параметров в уравнение (16) и
разделив его на e    , придем к уравнению
~
U   c~1U  f1 ( , ) ,
~
где c~  2a b  a b  c , f ( , )  f e b1 a1 .
1
1 1
1 1
1
1
1
.
2.2. Пример выполнения задачи 4
Привести уравнение
U xx  4U xy  5U yy  3U x  U y  U  0
к каноническому виду и упростить группу младших производных.
Решение:
9. Определим коэффициенты A( x, y), B( x, y), C ( x, y) :
А=1, В= -2, С=5.
14
(17)
10.Вычислим выражение B 2  AC :
B 2  AC  4  5  1 .
11. B 2  AC  1  0  уравнение эллиптического типа во всей плоскости
XOY.
12.Запишем уравнение характеристик:
(18)
dy 2  4dxdy  5dx2  0 .
5. Решим уравнение (18). Для этого:
а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy:
 2  1
dy 
dx ;
1
dy   2  i dx ;
(19)
б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения
(17)):
y  (2  i ) x  C ,
y  2 x  xi  C ,
6. Введём характеристические переменные:
  y  2 x,
  x.
13.Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.
Найдем сначала
 x  2,  y  1,  xx  0,  xy  0,  yy  0,
 x  1,  y  0,  xx  0,  xy  0,  yy  0.
Используя формулы (7), получим:
 3 U x  2U   U  ,
1 U y  U ,
1 U xx  4U   4U   U  ,
 4 U xy  2U   U  ,
5 U yy  U  .
Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующих
производных.
14.Собирая подобные слагаемые, получим:
U  {4  8  5}  U  {4  4}  U  {1} 
 U  {6  1}  U  {3}  U  0.
Или
U   U  5U   3U  U  0.
15
(20)
Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)
U ( , )  e   V ( , )
упростим группу младших производных.
Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).
1
U ( , )  e   V ( , ),
 5 U   e    (V  V ),
 3 U   e    ( V  V ),
1
U   e    (2V  2V  V ),
1
U   e    (  2V  2V  V ).
Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20). Собирая подобные слагаемые, получим
(21)
e  {V  V  V (5  2 )  V (3  2 )  V (5  3  2   2  1)}  0 .
В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при V и V
 5  2  0,
 3  2  0.
3
5
Откуда   ,   . Подставив эти значения параметров в уравнение (21) и разде2
2
  
лив его на e
, придем к уравнению
15
V  V  V  0 .
2
Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид
V  V 
где   y  2 x,   x,
U ( , )  e
5 3
2
15
V 0,
2
V ( , ) .
16
2.3. Задачи для самостоятельного решения
Задача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младших
производных.
4.1.
3U xx  8U xy  6U yy  3U x  U y  2U  0 .
4.2.
3U xx  8U xy  7U yy  3U x  U y  2U  0 .
4.3.
2U xx  6U xy  8U yy  U x  5U y  2U  0 .
4.4.
U xx  4U xy  4U yy  4U x  9U y  3U  0 .
4.5.
U xx  6U xy  9U yy  4U x  3U y  7U  0 .
4.6.
2U xx  8U xy  8U yy  U x  2U y  5U  0 .
4.7.
U xx  2U xy  U yy  3U x  2U y  5U  0 .
4.8.
8U xx  6U xy  U yy  U x  3U y  U  0 .
4.9.
4U xx  8U xy  U yy  2U x  2U y  3U  0 .
4.10. U xx  2U xy  3U yy  2U x  7U y  3U  0 .
17