Теорема о существовании и единственности

1
Дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение.
Дифференциальными
уравнениями
называются
такие
уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких
аргументов, причем в уравнение входят не только сами функции, но и их
производные. Если рассматривать функции одного независимого аргумента, то
уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).
Определение. Порядком дифференциального уравнения называется
максимальный порядок входящих в уравнение производных или
дифференциалов от неизвестных функций.
Если уравнение содержит производные первого порядка, то его общий вид
F ( x, y, y / )  0 ,
(1)
x-независимая переменная
y-неизвестная функция
F-некоторая заданная функция от трех переменных
Функция F может быть определена не во всей области значений её
аргумента, а в некоторой области B, которая называется областью задания F.
Решением уравнения (1) называется такая функция y   (x) , которая
определена на интервале a  x  b (возможны случаи
a   и b   ), что при
подстановке данной функции в (1) мы получаем тождество на всем интервале.
Определение. Интервал (a,b)-называется интервалом определения решения
 (x ) и обозначается J ab .
Подставляя решение y   (x) в (1) мы предполагаем, что на интервале J ab
решение имеет первую производную (то - есть,  (x ) непрерывна), кроме того,
необходимо чтобы выполнялось условие: x  J ab точка с координатами
x, ( x), 
/

( x)  B .
Определение.
содержащее
Решение или интеграл дифференциального уравнения,
число
произвольных
постоянных
равное
порядку
2
дифференциального
уравнения
называется
дифференциального уравнения и имеет вид
общим
решением
y   ( x, C ) , где С - любые
постоянные. Выбрав некоторое частное значение С, мы получаем частное
решение.
Решение дифференциального уравнения можно полагать найденным, если
оно
представлено
в
виде
выражения
содержащего
квадратуры,
т.е.
неопределенные интегралы, для которых ответ может быть получен в
элементарных функциях или если решение вычислено приближенно.
Решение всегда может быть проверено подстановкой в дифференциальное
уравнение.
Дифференциальные уравнения первого
порядка, разрешенные относительно производной
В этом случае дифференциальное уравнение определяет переменную y / как
однозначную неявную функцию переменных x, y . То есть
y /  f ( x, y)
или
dy
 f ( x, y ) .
dx
Если
dy
 f (x ) , то
dx
(2)
y   f ( x)x  C . Константу С можно определить, если
x
известно значение y( x0 )  y0 , тогда y  y 0   f ( x)x .
x0
3
Геометрическое представление
Пусть дана плоскость XOY и функция f , определяющая дифференциальное
уравнение (2).
Функция f может быть определена не на всей плоскости, а лишь в точках
некоторого множества
Г . Будем полагать, что Г - открытое множество.
df
Пусть функция f и её частная производная
dy
аргументов x и y на Г . Решение уравнения (2)
непрерывные функции
y   (x) в плоскости XOY
представлено в виде кривой. Эта кривая в каждой точке Г имеет касательную
и полностью принадлежит Г .Такая кривая называется интегральной кривой
дифференциального уравнения (2).
Уравнение (2) устанавливает зависимость между координатами точки и
угловым коэффициентом касательной к графику решения в этой точке. То есть,
зная x , y можно вычислить
dy
, а, значит, дифференциальное уравнение (2)
dx
определяет поле направлений (некоторое векторное поле).
4
Задачей интегрирования дифференциального уравнения является нахождение
интегральных кривых, направления касательных к которым в каждой точке
совпадают с направлением поля.
Пример.
Дано дифференциальное уравнение
отличной от точки (0,0),
dy y
dy dx

или
. В каждой точке,

dx x
y
x
угловой коэффициент касательной к искомой
интегральной кривой равен отношению
y
,то есть он совпадает с угловым
x
коэффициентом прямой, направленной из начала координат в точку ( x, y ) .
Очевидно, интегральными кривыми в этом случае будут прямые y  Cx , так
как направление этих кривых всюду совпадает с направлением поля.
5
Теорема о существовании и единственности.
Так как дифференциальное уравнения имеет бесконечное множество решений,
то речь идет не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех
решений данного дифференциального уравнения.
Теорема. Пусть
dy
 f ( x, y )
dx
(1)
дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что f ( x, y ) задана на
некотором открытом множестве
Г,
которое принадлежит плоскости
В (декартовых координат). Предположим, что f ( x, y ) и
df
( x, y ) непрерывны на
dy
Г . Тогда:
1.
Для любой точки ( x0 , y0 )  Г найдется решение y   (x) уравнения (1),
которое удовлетворяет условию  ( x0 )  y0
2.
(2)
Если два решения y   ( x), y   ( x) уравнения (1) совпадают хотя бы в
одной точке x0 , ( x0 )   ( x0 ) , то решение  и  будут тождественно равны для
всех значений переменной x , для которых они определены.
Определение. Числа x0 , y0 называется начальными значениями для решения
y   (x) , а условие (2) называется начальными условиями.
Теорема утверждает, что координаты ( x0 , y0 )  Г могут быть начальными
значениями для некоторого решения уравнения (1). Два решения с общими
начальными условиями совпадают.
6
Геометрическая интерпретация.
Через некоторую точку Г проходит только одна интегральная кривая.
Решением (1) обычно называется некоторая функция y   (x) , заданная на
некотором определенном интервале x1  x  x2 . Наряду с этой функцией может
быть определена функция y   (x) , которая также является решением, но она
задана
на
другом
интервале
( x3 ; x4 ) .
Второй
пункт
утверждает,
что
 ( x),  ( x) совпадают на интервале, на котором они обе определены. Если
( x3 ; x4 ) полностью содержит ( x1; x2 ) , то решение y   (x ) , заданное на ( x3 ; x4 ) это есть
продолжение решения y   (x) . Поэтому если подразумевать под интегральной
кривой график непродолжаемого решения, то утверждение о том, что через
каждую точку ( x0 , y0 ) проходит единственная кривая становится точным.
Доказательство:
Переход от дифференциального уравнения к интегральному.
1.
а) Пусть y   (x) некоторое решение (1) определенное на r1  x  r2 ,тогда
выполняется тождество:
dy d ( x)

 f ( x, ( x))
dx
dx
при
этом
пусть:
(*)
 ( x0 )  y0 .
Проинтегрировав
(*),
получим:
x
 ( x )  y0   f ( ,  ( ))d .
(3)
x0
Продифференцировав соотношение (3) по x, получаем (*) , то есть
интегральное уравнение (3) эквивалентно дифференциальному уравнению (*) с
соответствующими начальными условиями.
7
б) Пусть
y   (x) непрерывная функция, определенная на r1  x  r2 . Причем
график этой функции целиком расположен в открытом множестве Г. Точка
x0  r1 ,r2  ,тогда воспользуемся правой частью тождества (3) и поставим в
соответствие  (x ) некоторую функцию  * , которая также определена на r1,r2  и
x
 * ( x)  y0   f ( , ( )) d
(4)
x0
График  * в общем случае может и не принадлежать открытому множеству Г.
Такая запись позволяет рассматривать правую часть (4) как оператор, который
ставит в соответствие    * , то есть
 *  А .
(5)
Рассмотрим интегральное уравнение (3) и перепишем его в виде
  А .
(6)
в) Последовательность непрерывных функций
0 ( x), 1 ( x),, n ( x)
,
(7)
заданных на отрезке r1,r2  будет сходиться равномерно, если
i 1  i  ai ,
причем


i 1
(8)
a i -сходящийся ряд .
Сущность метода последовательных приближений (метод Пикара).
Строится
последовательность
функций
 0 , ,  n ,  ,
все
эти
функции
непрерывны и определены на r1,r2  , точка x0  r1,r2  . Каждая функция (7)
определяется через предыдущую
i 1  Ai ,
i=0,1,…
(9)
Если график функции  i  Г , то функция  i 1 определяется по формуле (9) .
Для того чтобы могла быть определена функция i  2 нужно чтобы график
функции i 1  Г . Это требование можно выполнить, выбрав r1,r2  достаточно
малым. За счет уменьшения длины r1,r2  можно добиться того, чтобы для
последовательности (7) выполнялось соотношение:
8
i 1  i  k 1  0 , где k  (0,1) .
(10)
Тогда i 1  i  1  0 k i , то есть функциональная последовательность (7) будет
равномерно сходиться, и её предел будет удовлетворять соотношению (5).
Метод сжатых отображений
Выберем некоторое семейство функций  , заданных на r1,r2  , причем x0  r1,r2  .
И график функции из  принадлежит множеству Г. Пусть в отношении оператора
А семейство  удовлетворяет условиям:
1.Применяя оператор А к любой функции из семейства  , мы получаем функцию
из  .
2.Существует число k  (0,1) , что для любых двух функций из семейства
,  ,    выполняется: A  A  k   
. В этом случае оператор А будет
сжатием. Если для  выполняется условие 1 и 2, то исходя из некоторой
функций  0 , мы можем получить бесконечную последовательность функций (7) с
помощью формулы (9). Эти функции удовлетворяют всем условиям и сходятся к
решению уравнения   А .
Доказательство существования решения
Пусть задано открытое множество Г и ( x0 , y0 )  Г . Выберем в Г прямоугольник
П с центром в точке ( x0 , y0 ) . Сторона прямоугольника 2а. Это означает, что точки
принадлежащие П, будут удовлетворять условию x  x0  q, y  y0  a .
(11)
П- замкнутое множество, содержащиеся в Г, и непрерывные функции f ( x, y ),
ограничены на П:
f
y
9
f ( x, y )  k ,
f
M.
y
(12)
Рассмотрим в П более узкий прямоугольник Пr : x  x0  r, y  y0  a  r  q (13)
Обозначим  r семейство функций непрерывных и заданных на x  x0  r . При
этом графики функций принадлежат Пr , то есть функции  определенные на этом
отрезке, будут принадлежать  r , если
x  x  x0  r :  ( x)  0  a .
(14)
Выберем r таким образом, чтобы выполнялись условия:
1. Если функция  принадлежит  r , то и *  А  r .
2.
Найдется
такое
число
k~  (0,1) ,
что
для
~
 ,  r : A  A  k    .
любых
функций
(15)
Для того чтобы функция *  r , необходимо и достаточно, чтобы для неё
выполнялось условие (14). Воспользовавшись соотношением (4) и (14), получим:
 * ( x)  y 0 
x

x
f ( ,  ( )) d   | f ( ,  ( )) | d  kr  a , то есть при
x0
r
x0
a
k
(16)
функция *  r и условие 1 выполнено.
Рассмотрим две любые функции, принадлежащие  r :
 * ( x)  y 0 
x

x0
f ( ,  ( )) d
*  y0 
x
 f ( ,  ( ))d
x0
10
тогда
 * ( x)   * ( x) 
x
x
x0
x0
 f ( , ( ))  f ( ,  ( ))d   f ( , ( ))  f ( ,  ( ))) d
Воспользовавшись теоремой о среднем, получим:
 * ( x)   * ( x) 
x
f
 y ( , ( ))  (
0
)   ( 0 ) d  M r  ( 0 )   ( 0 ) ,
x0
- точка, в которой достигается максимум разности  ( 0 )   ( 0 ) . Тогда:
0
~
A  A   *  *  max  *  *  Mr    , если k  Mr , то функции  ,  будут
удовлетворять условию 2. Так как k~  Mr  1 , то
r
1
.
M
(17)
Если число r удовлетворяет условиям (13),(16) и (17) , то для  r семейства
непрерывных функций будут выполнены условия 1,2.
В дальнейшем будем предполагать, что при выборе числа r условия (13),(16) и
(17) выполнены.
Построим последовательность 0 ( x),1 ( x),, n ( x) , x  x0  r
При этом
0 ( x)  y0 ,
(18)
i 1  Ai . Поскольку 0  r ,то и все функции (7) будут принадлежать  r по
условию 1.
Оценим 1   0  max  i ( x)  y0  a
~
~
i 1  i  Ai  Ai 1  k i  i 1  ak
i  1,2,
В силу второго пункта последовательность (7) равномерно сходится на
отрезке x  x0  r к некоторой непрерывной функции  , и так как все i  r ,то
и    r . Покажем, что эта функция  будет удовлетворять условию   A .
Рассмотрим
последовательность
функций
A 0 ( x), A1 ( x),, A n ( x) .
Эта
последовательность будет равномерно сходиться к некоторой функции
~
A ( x)  A  Ai  k   i . Переходя к пределу, получим, что выполняется
11
условие (6). Таким образом, существование решения y   (x) уравнения (1),
удовлетворяющее условию (2), - доказано. При этом мы получили, что решение
y   (x) определено на
x  x0  r ,
где
r- любое число, удовлетворяющее
условиям (13),(16),(17).
Доказательство единственности решения
Пусть y   (x) и y   (x) два решения (1) с общими начальными условиями
r1  x  r2 . Этот интервал является пересечением
интервалов, на которых
существуют данные решения. Точка x0 - принадлежит данному интервалу.
Покажем, что если эти решения совпадают в некоторой точке x1  r1,r2  , то они
будут совпадать и на интервале x  x1  r , где r достаточно малое положительное
число. Будем считать  ( x1 )   ( x1 )  y1 , тогда точка с координатами ( x1, y1 ) может
играть роль начального значения для функции  ,  . Поэтому, не нарушая
общности,
предположим,
что
( x1, y1 )
совпадает
с
( x0 , y0 ) .
Перейдем
от
дифференциальной постановки к интегральной:
  A ,   A .
(19)
Рассмотрим прямоугольник с центром в точке ( x0 , y0 ) . А затем более узкий
прямоугольник Пr . При этом будем считать, что r удовлетворяет (13),(16),(17).
Этот значит, что функции  ,  удовлетворяют условию (14). Рассмотрим  ,  на
отрезке
x  x0  r ,
на
этом
отрезке
они
принадлежат
r ,
тогда
~
    A  A  k    , а это возможно только когда    .
Покажем, что наши функции будут совпадать на всём интервале.
Предположим, что существует такая точка x * , в которой функции не совпадают
, x*  x0 , x*  x0 (для определенности). Обозначим через N множество всех точек
отрезка x0 , x * , для которого  ( x)   ( x) . И покажем, что это множество замкнуто.
Пусть дана последовательность 1 , 2 ,, n :  ( i )   ( i ) . В силу непрерывности
 ,  lim  ( i )  lim  ( i )   ( )   ( ) . То есть точка  тоже принадлежит множеству
i 
i 
N . Обозначим через x1  sup N , так как N - замкнуто, то x1  N   ( x1 )   ( x1 )  x1
12
должна лежать левее x * , но тогда, по доказанному выше,  ,  должны совпадать
на x  x1  r и, следовательно, точка x1 не может быть sup N . Мы получили
противоречие, которое и доказывает теорему.