Тема 1 – Источники мат. моделеи

Тема 1 – Источники мат. моделеи
Источники математических моделей
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Фундаментальные законы природы
Вариационные принципы
Применение аналогий
Построение иерархий
Смягчение известных моделей
Численная (компьютерная) симуляция
Фундаментальные законы




закон всемирного тяготения
закон сохранения энергии (ЗСЭ)
закон сохранения импульса (ЗСИ)
закон Кулона
Эти законы общепризнанны, многократно подтверждены опытом, служат основой множества
научно-технических достижений. На первый план выдвигаются вопросы, связанные с тем, какой
закон (законы) следует применять в данном случае и как это делать.
NB! Закон становится законом, когда находится исключение
Пуля и подвес
Груз подвешен на лёгком, жёстком и свободно
вращающемся стержне. В него выпущена пуля. Эксперт по
баллистике желает определить скорость пули.
m – масса пули, M – масса груза, v – скорость пули до
попадания в груз, V – скорость системы «пуля+груз»,
l – длина стержня, a – угол отклонения от начального
положения.
Воспользуемся законом сохранения энергии:
полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только
консервативные силы, остаётся постоянной.
Отсюда можно найти интересующую скорость:
√
Вопрос знатокам: всё ли верно?
Нет! Хоть на первый взгляд рассуждение кажется разумным. Дело в том, что теряется энергия
трения при попадании пули в подвес, поэтому ЗСЭ применять нельзя.
NB! Относительно закона, который используем, система должна быть замкнута.
Для правильного решения задачи необходимо воспользоваться законом сохранения импульса:
векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы есть величина постоянная
Лазер
Инженер сверлит слой металла толщиной L лазером мощностью W, излучение которого
перпендикулярно поверхности металла. Необходимо оценить время T полного сверления.
Воспользуемся ЗСЭ. На плавление металла за некий промежуток dt тратится энергия, равная
энергии, сообщаемой веществу лазером.
S – площадь сверления, p – плотность металла, dl – изменение глубины сверления, k –
коэффициент, зависящий от теплоёмкости и теплоты плавления.
NB!
Следует заметить, что данная формула справедлива лишь при dt→0, т.к.W не является
постоянной величиной.
Устремив dt→0 и перейдя к пределу получим:
A.
B. ∫
∫
Можно сделать вывод, что скорость изменения глубины пропорциональна мощности.
Вопрос знатокам: всё ли верно?
Нет! В действительности процесс сверления гораздо сложнее рассмотренной схемы — энергия
тратится на нагрев вещества, на удаление паров из выемки, которая может иметь неправильную
форму, и т. д. Однако если сделать допущение, что данные потери энергии невелики, можно
использовать полученную модель.
NB!
Т.о. задача не просто смоделировать явление, но ещё и документировать все допущения.
Радиоактивный распад
Радиоактивное вещество содержится в
специально предназначенном для его
хранения ящике. Необходимо измерить
массу распадающегося радиоактивного
вещества в конкретный момент времени.
Предложение 1:
Количество распавшихся частиц пропорционально общему количеству частиц.
(Предположение о линейной аппроксимации.)
Законы линейной аппроксимации:

закон линейного расширения при нагревании (остывании)
NB!
Проверить, является ли закон законом линейной аппроксимации, нетрудно. Если при
сильном изменении характеристики система «ломается», тогда это линейная аппроксимация.
Предложение 2:
Распавшаяся масса пропорциональна общей массе.
Вопрос знатокам: является ли это ДУ математической моделью?
НЕТ! Так как оно определяет не конкретную функцию, а целое семейство.
{
NB!
→
Переход от предложения 1 к 2 – переход между непрерывным и дискретным.
Вариационные принципы
Еще один подход к построению моделей, по своей широте и универсальности сопоставимый с
возможностями, даваемыми фундаментальными законами, состоит в применении так
называемых вариационных принципов.
Они представляют собой весьма общие утверждения о рассматриваемом объекте (системе,
явлении) и гласят, что из всех возможных вариантов его поведения (движения, эволюции)
выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенному условию. Обычно согласно этому
условию некоторая связанная с объектом величина достигает экстремального значения при его
переходе из одного состояния в другое.
Путешествие студента
Студент из дома А собирается прийти к своим
одногруппникам в дом В. Однако перед этим
он должен подойти к реке и «проверить воду».
Необходимо найти такую точку у реки, чтобы
путь студента был минимальным. Скорость
движения до и после реки одинаковая.
(
)
[
NB!
)
Принцип Ферма
Если бы скорость до и после реки различалась, отношение углов также бы изменилось.
Построение иерархий
Лишь в редких случаях бывает удобным и оправданным построение математических моделей
даже относительно простых объектов сразу во всей полноте, с учетом всех факторов,
существенных для его поведения. Поэтому естествен подход, реализующий принцип «от простого
— к сложному», когда следующий шаг делается после достаточно подробного изучения не очень
сложной модели. При этом возникает цепочка (иерархия) все более полных моделей, каждая из
которых обобщает предыдущие, включая их в качестве частного случая.
Ракета Циолковского
Ракета выводит на орбиту вокруг Земли искусственный спутник. Для этого ей необходимо развить
скорость примерно 8 км/с. Продукты сгорания ракетного топлива (газы) истекают со скоростью 3-5
км/с, обеспечивая ракете ускорение.
Удастся ли ракете взлететь?
Воспользуемся ЗСИ:
здесь m – масса ракеты, v – скорость ракеты, u – скорость газов, m – изменение массы ракеты, точка Лагранжа,
.
Вопрос знатокам: всё ли верно?
ДА! Несмотря на то, что мы пренебрегали сопротивлением воздуха, гравитацией и другими
силами, мы получили значение скорости, недостаточное для вывода спутника на орбиту.
NB!
Таким образом, мы взяли лучшие условия и показали, что даже тогда необходимый
результат не будет достигнут. Данный приём называется принципом наибольшей
благоприятности.
Тема 2 – Колебательные явления
Колебательные явления


периодические
хаотические
Колебания колец Сатурна
Построим модель движения Сатурна
массы M0 в поле сил тяготения,
создаваемом его кольцами с радиусом R
и линейной плотностью р0. Кольцо
считается бесконечно тонким, движение
происходит вдоль оси кольца.
NB!
Поскольку кольца значительно
превосходят в размерах планету, Сатурн
можно рассматривать как точечную
массу.
Предположения:


кольцо – идеальная окружность
масса распределена линейно с
плотностью р0
Воспользуемся режимом наибольшей благоприятности: положим, что кольца не крутятся.
NB!
Свяжем систему отсчёта с кольцами, а не с Сатурном. Используем принцип
относительности. В соответствии с этим принципом мы будем рассматривать ту силу, с которой
кольцо действует на Сатурн (а не Сатурн действует на кольцо).
NB!
Сатурн будет двигаться вверх или вниз. При движении вправо/влево ввиду
симметричности системы гравитация будет толкать его назад в центр.
Рассмотрим задачу локально. Вырезаем кусочек кольца.
̅̅̅̅
∫
̈
√
̈
̈
Получили дифференциальное уравнение, которое, при добавлении к нему начального условия, и
будет искомой математической моделью.
Это уравнение гармонических колебаний. Решение данного уравнения:
Это значит, что относительно кольца Сатурн движется вверх/вниз будто вырисовывая график
косинуса. Но приняв во внимание принцип относительности, используемый в начале задачи,
можно утверждать, что это кольца движутся вокруг Сатурна таким образом.
Выводы из задачи
Вывод 1. Если одиночный объект воздействует на непрерывный, мы используем:


принцип относительности
принцип деления на кусочки
Вывод 2. Возможно в замкнутых системах, подчиняющихся фундаментальным законам природы,
возникают колебания.
Вывод 3. Если колебания довольно близки к положению равновесия, то они могут становиться
гармоническими.
Движение шарика, прикреплённого к пружине.
Пружина жёсткости k держит груз
массой m и находится в покое.
Что будет при отклонении?
Пусть г — координата шарика вдоль
оси пружины, лежащей на
горизонтальной плоскости, и
направление движения шарика
совпадает с ее осью.
Воспользуемся законом сохранения энергии:
Напомним, что
̇ . Продифференцируем уравнение.
̈ ̇
̇
̈
NB!
Следует отметить, что использование закона Гука неявно вводит предположение о малом
отклонении от положения равновесия.
Усложним задачу, поместив всю систему в воду.
Предположим, что груз круглый.
̇
В данном случае запишем формулу Стокса:
Здесь
- коэффициент трения,
- диаметр, ̇ - скорость.
Заметим, что формула Стокса – линейная аппроксимация. Следовательно выполняется около
положения равновесия.
̈
̇
Как видим, решение в данной задаче – уравнение колебаний с затуханием.
Выводы из задачи
Вывод 1. Колебания вызываются силой, противодействующей отклонению от положения
равновесия.
Вывод 2. Модель гибкая по отношению к силе сопротивления среды.
Колебательный электрический контур
Сопротивление проводов будем считать равным нулю,
емкость конденсатора равна С, индуктивность катушки L.
Согласно закону Кирхгофа
Здесь
,
Поскольку
колебаний:
̈
, получаем уравнение затухающих
̇
Для того, чтобы компенсировать затухания, необходимо
добавить источник тока. В таком случае уравнение примет
следующий вид:
̈
̇
Выводы из задачи
Вывод 1. Модель включает в себя очень мало допущений – следовательно уравнение колебаний
очень реалистично.
Вывод 2. Мы использовали правило Кирхгофа, а это не аппроксимация.
Модель Вольтерра (1926)
Пусть на одной и той же территории проживают две биологические популяции с численностями
Причём первая растительноядная (для примера зайцы), а вторая употребляет в пищу
представителей первой популяции (лисы).
Запишем законы изменения численности популяций.
{
Здесь
– коэффициент прироста зайцев благодаря рождаемости,
- коэффициент смертности лис,
коэффициент прироста лис благодаря поеданию зайцев.
-
При положении равновесия системы
{
{
{
Рассмотрим малые отклонения системы от равновесных значений, т. е. представим решение в
виде
,
{
{
̇
̇
̇
̇
В каждом уравнении первая скобка равна нулю ввиду условия положения равновесия, последнее
слагаемое нулевое в силу линейной аппроксимации
а во второй скобке первое и
последнее слагаемые взаимоисключаемы. Таким образом получаем систему:
̇
{
̇
Данная система является линейной аппроксимацией исходной системы в окрестности положения
равновесия.
̈
̇
̈
Решением вновь является уравнение гармонических колебаний.
Модель А. Лотка (1920)
Лотка – химик. Он обратил внимание на необычное течение химической реакции.
Реакция такая: вещество А переходит в вещество Х со скоростью k1, вещество А было в избытке.
После чего в растворе между веществами Х и Y со скоростью k2 происходила следующая реакция
. Затем Y увеличивается и выпадает в осадок со скоростью k3:
Можно записать систему:
{
Ищем положение равновесия:
{
{
Линейная аппроксимация при положении равновесия:
{
Получаем систему:
{
̈
̈
̈
̇
̇
̇
̇
Решением системы является уравнение затухающих колебаний.
√
Рынок труда
Вводим предположения:



Существуют равновесные положения для зарплаты и занятости – p0 и N0
Количество желающих работать пропорционально отклонению зарплаты от равновесия.
Изменение зарплаты пропорционально отклонению количества желающих работать.
Из соображений линейной аппроксимации:
{
Данная система, по сути, ничем не отличается от двух предыдущих, поскольку предположения в
начале задачи были сделаны одинаковые. Мы построили систему на основе принципа аналогий к
предыдущим задачам, поэтому данная система приведёт нас к уравнению гармонических
колебаний, а также ко всем свойствам, которые связаны с этим уравнением.
Перемножив имеющиеся уравнения, получим:
Тема 3 – Распространение
заболевании
SIR-модель
S (susceptible – восприимчивые, не имеющие иммунитета)
I ( infectious – инфицированные, заразные)
R (recovered – восстанавливающиеся, выздоравливающие)
Данная модель используется для описания распространения эпидемий.
Предположения:
1.
2.
3.
4.
Число всех жителей N изолированной группы постоянно;
В начальный момент времени t0 вводится некоторое число индивидов
Вся популяция делится на три части
;
Процесс происходи по схеме
;
За время
количество заболевших
, где - вероятность встречи I и S.
;
Разделим на
За время
, перейдем к пределу и, таким образом, получим:
количество выздоровевших:
, где
.
- коэффициент выздоровления.
Легко посчитать:
Запишем систему
{
NB!
При отсутствии начальных условий данная система не являлась бы моделью, т.к. не
описывала бы параметры и имела много решений.
NB!
Таким образом, допущение 1 выполнено.
,
Наиболее интересно, как ведет себя – число заболевших:
– всегда убывающая функция, значит
Пороговая функция:
(relative removal rate)
Первые интегралы.
Зная
можно найти
, т.е максимальное значение числа заболевших:
Вывод: SIR-модель хорошо подходит для рассмотрения таких заболеваний как корь, краснуха и
т.п., которые передаются воздушно-капельным путем и к которым вырабатывается иммунитет.
Распространение венерических заболеваний
Попробуем применить SIR-модель для таких заболеваний, как сифилис или гонорея.
Предположения:


Связь гетеросексуальная.
Количество M (мужчины) = Ж (женщины) =const
Обозначения:
Для M: I, R, S
Для Ж: I*, R*, S*
NB!
Так как ничтожно мало людей обладает иммунитетом, и
иммунитет не вырабатывается, то привычная нам схема
будет выглядеть так:
Такая модель называется cross-cross SI моделью.
| |
| |
Запишем систему:
{
Здесь r – коэффициент вероятности встречи и заболевания,
- коэффициент выздоровления.
Учитывая, что
и
(
)
(
(*)
, получим
)
{
[
Точки extr
[
{
где
и
,а
– пороговое значение, т.е.
если
, то
– эпидемия спадает,
если
, то
– эпидемия идет в рост.
Исследуем точку равновесия (рассмотрим нулевую, вернее, в ее окрестности, очень близкую к
ней):
Подставив данные значения в систему (*), получим:
{
Составим и решим характеристическое уравнение:
|
|
√
Тема 4 – Задачи о распространении
Частицы в трубе
Дана труба, в которой движутся частицы. Мы можем считать, что это раствор очень мелкого песка
в воде или ещё что-то в этом роде. Итак, есть частицы, которые плывут в трубе.
Интересует не что иное, как их плотность. В момент времени можно сопоставить мгновенную
плотность. Будем для определённости считать, что поток движется со скоростью u(t).
Возникает вопрос: как узнать, что станет через некоторое количество времени?
Есть функция p(x,t) - ?
Всё, что мы знаем об этой функции – её состояние в начальный момент времени: p(x,0)=p0(x)
У нас есть начальное распределение.
Это типичная задача на распространение чего-либо в пространстве.
Как перейти от такого вопроса к мат модели?
Зададим систему предположений:
a)
b)
c)
d)
плотность мала и они не взаимодействуют
труба достаточно узкая, поток однороден по скорости
начальная плотность зависит только от координат
внешние силы – вдоль оси по х
Этот набор условий (условия «b» и «d») определяет нашу задачу как существенно одномерную
(труба узкая, движение однородно и внешние силы вдоль оси по х).
Условие «а» говорит, что течение со скоростью u полностью определяет распределение частиц в
конце. Других причин для изменения положения кроме как скорости u нет.
Вырежем кусочек трубы
Для составления математической модели используем первый источник – фундаментальные
законы. В частности закон сохранения масс.
Строим равенство по следующему принципу: ВТЕКАНИЕ – ВЫТЕКАНИЕ = ИЗМЕНЕНИЕ ПЛОТНОСТИ.
прошло
Здесь
Разделив на
и
(
), получим математическую модель с начальным условием
{
Вывод. Скорость изменения плотности пропорциональна скорости изменения потока.
Объяснение решения по-простому:
Переходим от функции одного вида к другому:
Это приводит нас к тому, что из уравнения в частных производных мы получаем обычное
дифференциальное уравнение и решаем его обычными методами.
Пусть
. Подставим всё в наше уравнение и получим два простых вывода.
[
Первый случай не представляет интереса. Во втором любая функция , удовлетворяющая
, подойдёт в уравнение.
Воспользовавшись начальным условием, получаем окончательный ответ:
.
Объяснение формального решения:
Мы составляем набор равенств, которые используют коэффициенты:
Это метод характеристик. Когда мы говорим про
которой процесс не меняется).
мы говорим про характеристику (линию, вдоль
Учитывая
NB!
.
Если скорость постоянная, то происходит перенос графика.
Поэтому уравнение
называется уравнением переноса.
Грунтовые воды
От движения частиц внутри трубы переходим к движению частиц внутри земли – вода плавает в
земле.
Между гранитом и поверхностью располагаем нулевой уровень. Относительно нуля есть глубина
гранита H(x, y) и уровень грунтовых вод h(x, y).
Предположения:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Несжимаемая жидкость плотности p.
Толщина пласта много меньше длины и ширины.
В граните нет разрывов и изломов, т.е. H(x, y) – гладкая.
Поверхность воды тоже без изломов, и h(x, y) так же гладкая.
Воды не выходят на поверхность и не входят обратно.
Грунт однороден по всем направлениям с коэффициентом пористости S.
Следует отметить, что данная система предположений схожа с предшествующей.
ВТЕКАНИЕ – ВЫТЕКАНИЕ = ИЗМЕНЕНИЕ ПЛОТНОСТИ
Вырезаем кусок грунта:
пусть f – поток массы,
Тогда
по осям.
Запишем закон сохранения массы:
Подставим значения и получим
Данное уравнение называется уравнением неразрывности.
Дополнительные предположения:
1. Выполняется закон Дарси. Можно рассмотреть скорости с точки зрения давления.
2. Единственное давление – гидростатическое
направлениях.
[
]
и передаётся одинаково во всех
[
]
Это уравнение Бусинеска.
Классификация: уравнение 2го порядка в частных производных, нелинейное, параболическое,
неоднородное, нестационарное.
Тема 5 – Электростанция
Задачи:


Прямая – как загрязнения будут распространяться?
Сопряженная – Как распределить источники загрязнений?
Предположения:
1. Выполняется закон сохранения массы.
, где
- количество грязных
примесей (уравнение переноса).
2. Распространение примесей непрерывно
Рассмотрим
следовательно
,
⏟
– уравнение неразрывности.
3. Считаем, что примесь со временем распадается и выбрасывается
, где f – выброс,
– распад
4. Диффузия , т.е. примесь распространяется и без ветра, не является изотропной – не одинакова
по всем направлениям, т.к. есть сила тяжести.
(
– оседание ,
)
- оператор Лапласа
Добавим начальные условия:
|
и
|
Т.о. мы обсудили как выполняется 1 задача (уравнение турбулентной диффузии), но это не
помогает нам в решении задачи 2.
С одной стороны можем нарезать территорию на кусочки и решать прямую задачу, но это
трудоемко и нецелесообразно.
С другой стороны есть гильбертово пространство, в нем задано скалярное произведение
∫
– линейный оператор,
Наша задача
∫
- сопряженный к нему.
, построим сопряженную задачу
Чтобы все соотносилось друг с другом правильно, используем условие двойственности:
.
Граничные условия должны быть одинаковы для обоих уравнений.
положим, что
и
(
Несложно от исходного оператора перейти к сопряженному
(
)
.
Тема 6 – Солитоны
)
Открытие уединенной волны
Любопытную волну на воде наблюдал шотландский ученый Джон Скотт Рассел в 1834 году. Он
занимался исследованием перемещения по каналу баржи, которую тянула пара лошадей.
Неожиданно баржа остановилась, но масса воды, которую баржа привела в движение, не
остановилась, а собралась у носа судна, а затем оторвалась от него. Далее эта масса воды
покатилась по каналу с большой скоростью в виде уединенного возвышения, не меняя своей
формы и не снижая скорости. Это явление волновой трансляции.
Солитоном называется нелинейная уединенная волна, которая сохраняет свою форму и скорость
при собственном движении и столкновении с себе подобными уединенными волнами, то есть
представляет собой устойчивое образование.
Скорость волны выражается формулой
где – ускорение свободного падения,
,
√
– глубина канала,
- амплитуда волны.
Уравнение Кортевега – де Фриза (КДФ).
Кортевег и де Фрис, используя уравнения гидродинамики, рассмотрели отклонение и(х,t) от
положения равновесия поверхности воды при отсутствии вихрей и при постоянстве плотности
воды. Они также предположили, что при распространении волны выполняются два условия для
безразмерных параметров
=
a
h
<<1, = <<1,
h
l
т.е. амплитуда рассматриваемых волн много меньше, чем глубина бассейна, но в то же время
длина волны много больше, чем глубина бассейна.
Уравнение:
, где
(форма волны).
– отклонение от положения равновесия поверхности воды
Оно имеет волновое решение, выражающееся через функцию Якоби. Заметим, что уравнение
допускает группу преобразований сдвига по и => имеет решение в переменных бегущей
волны
. Эта переменная характеризует положение точки координат, движущейся со
скоростью волны с0, то есть она обозначает положение наблюдателя, который постоянно
находится на гребне волны.
В этом случае уравнение перепишем в виде
Умножив на и проинтегрировав по нему же, получим
⏟
Введем параметр
√
Полагая, что
где
и
, тогда решение примет вид
– произвольная постоянная.
предельный случай для бесконечно большого периода и является уединенной волной.
Нелинейное уравнение Шредингера
простая периодическая волна на глубокой воде неустойчива и поэтому волны на воде из-за
неустойчивости разбиваются на группы. Уравнение, с помощью которого описывается
распространение групп волн на воде, носит название нелинейного уравнения Шрёдингера.
Солитоны нелинейного уравнения Шрёдингера отличаются от обсуждаемых выше солитонов
Кортевега—де Фриса тем, что они соответствуют форме огибающей группы волн.
Пусть и – обычные пространственные переменные для несущей волны. Можно ввести набор
«медленных» временных и пространственных переменных, в которых описывается движение
огибающей:
Где
- малый параметр, соответствующий характеристике огибающей.
Получаем, что амплитуда волны
записывается уравнением
| |
– комплексная единица.
Для этого уравнения найдено большое количество точных решений, представляющих собой
стационарные нелинейные волны. Кроме того имеется локализованное решение солитонного
типа:
√
Где
,
(параметр
√
определяет амплитуду волны а
скорость)
Уравнение синус-Гордона
Существует несколько типов кристаллических дефектов. Далее остановимся на рассмотрении
точечных дефектов, к которым относится нарушение в решетке в изолированных друг от друга
точках.
Пусть имеется простейшая кристаллическая структура, состоящая из слоев атомов,
расположенных на расстоянии друг от друга. Рассмотрим математическую модель поведения
точечного дефекта в кристаллической структуре твердого вещества. Предположим, что атомы в
такой структуре движутся по прямой вдоль оси x, направленной перпендикулярно атомным
слоям, следовательно, все силы, действующие на них, будут направлены тоже вдоль оси х.
Влияние соседних атомных слоев на отдельный атом можно описать периодическим
потенциалом:
(
[
– шаг кристаллической решетки,
и
)]
– постоянные, характеризующие потенциал.
Обозначим отклонение n-ого атома от положения равновесия:
– координата n-ого атома.
Находим, что на n-ый атом со стороны атомных слоев действует сила
Предельный случай дислокации — это «дырка» в кристаллической решётке. Такая дырка может
перемещаться по кристаллу из-за перескока атомов. Когда дефекта нет, то равновесная
конфигурация в модели соответствует тому, что в каждой впадине потенциала находится один
атом. Соседние атомы, находящиеся в равновесной конфигурации, при дислокации также
взаимодействуют друг с другом. Проиллюстрируем такое взаимодействие
крестиками изображено положение атомных слоев.
Уравнение движения n-ого атома с учетом потенциала и в предположении, что пружинки
действуют на n-ый атом с силой, пропорциональной разности отклонений от положительного
равновесия, запишется в виде:
(
)
Здесь
- масса частицы,
соседними атомами.
- коэффициент пропорциональности в силе, действующей между
√
Обозначим
√
,
(далее штрихи опускаем)
Тогда уравнение приводится к виду
и называется уравнением sin-Гордона.
Если использовать замену переменных
То
.
Будем искать решение уравнения в переменных бегущей волны
– скорость бегущей волны.
Уравнение перепишем в виде с
Умножим на
.
и проинтегрируем по : с
, где А – постоянная
интегрирования.
Пусть с
и
вблизи
, тогда решением будет периодическая и осциллирующая функция
√
в интервале
При с
и
При с
и
√
решение уравнения дает спиральные волны.
- периодическая волна в интервале
√
√
При с
и
- спиральная волна.
При с
и
- решения соответствует двум уединенным волнам, и имеют вид
(1)
√
При другом предельном случае с
(
(2)
√
и
решение уравнения выражается другой формулой
)
И описывает ударно-волновой переход, заключенный между –
и
Формулами (1) и (2) выражаются топологические солитоны.
(
Из (1) получаем решение
{
√
)
Здесь
- произвольная постоянная. Это решение нахывается клином, если в нем берется
положительный знак и антиклином в противном случае.
Нелинейное уравнение переноса и уравнение Бюргерса.
Нелинейное уравнение переноса:
Пусть в начальный момент времени для уравнения задано возмущение
{
Решение находится методом характеристик.
Обобщим нелинейное уравнение переноса в виде
это уравнение Бюргерса.
Полагая α=0, имеем уравнение диффузии:
Методы решения краевых задач и задач Коши для этого уравнения известны из УМФ.
C помощью преобразования Коула-Хопфа
уравнение Бюргерса приводится к
линейному уравнению теплопроводности.
Свойства солитонов:






солитоны взаимодействуют как частицы.
солитон движется с постоянной скоростью и без изменения
возможен распад одной большой волны на несколько волн.
наблюдаются только волны-возвышения.
уединенные волны проходят друг через друга без каких-либо изменений
большая волна движется быстрее.
Выводы:
1. Быстрый масштаб времени – волны, бегущие направо и налево, отделяются друг от друга и
взаимодействуют друг с другом.
2. Средний масштаб времени – формируется солитон бегущий вправо (мелкие волночки
взаимодействуют между собой и быстро затухают)
3. Медленный масштаб времени – солитон в конце концов исчезает по пути движения
(имеет место трение о воду, о борта и т.д.)
Пусть у нас две волны, т.к. волны нелинейные, то и уравнения не линейные, следовательно,
решением не будет сумма решений уравнений.
Запишем уравнение КДФ:
Наша цель – найти частное решение.
Используем замену переменных:
,
(преобразование Хоула-Хопфа)
и получаем уравнение
⟨ ⟩
∑
⟨ ⟩ – некоторый номер.
Метод малого параметра дает возможность отделить большие волны от маленьких. На больших
степенях будут маленькие волночки, а на малых – большие.
⟨ ⟩
⟨ ⟩
В сумме будет до 4 экспонент, но т.к. 2 волны, то нужны нам 2. Ищем частное решение, у которого
⟨ ⟩
=
, решая получим
⟨ ⟩
Находим
⟨ ⟩
=(
⟨ ⟩
)
⟨ ⟩
⟨ ⟩
Можем положить, что частное решение равно нулю, тогда и дальнейшие будут равны нулю.
Выпишем ответ в виде:
(
)
(
)
,что и есть наше
двухсолетонное решение.
Численно решают двумя способами:


Метод сеток
Метод конечных элементов
Тема 7 – Математические модели,
учитывающие запаздывания
Гистерезис – зависимость текущего состояния от предыстории.
Например, оценка на экзамене, которая зависит не только от качества экзаменационного ответа,
но и от работы в течение семестра.
Причины появления запаздывания:
1. Классические модели не учитывают предысторию.
2. Классические модели не дают колебательных решений.
Покажем, почему верно 2е утверждение.
Возьмём уравнение ̇
, умножим обе части на ̇
∫ ̇
∫
∫
̇
∫
̇
Значит, единственное периодическое решение уравнений 1го порядка, нулевое.
Добавим ещё один аргумент и получим общее уравнение с запаздыванием:
̇
∫
здесь
какие моменты в прошлом имеют
наибольшее влияние. Функция в эти моменты будет иметь максимум.
Далее вместо традиционной весовой функции
{
∫
Это преобразует наше уравнение к такому виду:
рассматривается дельта-функция
.
̇
То есть выбирается один момент в прошлом, а остальные считаются неважными. Здесь Т – время
запаздывания.
Пример:
̇
с периодом 4Т
Усовершенствование логистической модели.
Рассмотрим уравнение вида
̇
(
)
Изначально численность небольшая, и она увеличивается. Затем она доходит до значения K.
Но всё ещё продолжает увеличиваться, т.к. определяющим является множитель,
содержащий запаздывание. Уравнение всё ещё считает, что популяции мало, поэтому она
продолжает увеличиваться. Проходит Т времени и численность начинает уменьшаться. Она
доходит до равновесного состояния, но за счёт того же запаздывания, продолжает
уменьшаться. Если считать время достижения точки равновесия сравнимым с Т, то
получаются те самые колебания, о которых шла речь с периодом 4Т.
Сделаем следующие замены:
̇
Получаем уравнение вида:
(
)
Это каноническое уравнение. Для него можно составить табличку периодов:
Т
Период колебания
1.6
4.05 Т
2.1
4.54 Т
2.5
5.36 Т
NB!
Качественное предположение о периоде, равном 4Т, верно только в начале.
Австралия, эксперимент с мухами.
1957 – эксперимент Николсон, 1975 – теория Мэй.
Этот эксперимент доказал важность уравнения ̇
(
)
Найдём положение равновесия для уравнения:
{
Если количество мух равно 0, то нам решать нечего. Поэтому интересен только второй вариант.
NB!
Здесь единица не значит, что имеется только одна муха.
Её мы получили за счёт того, что уравнение нормированное.
̇
(
(
))
̇
̇
Будем искать решение в виде
Нужно
Утверждение
, то есть действительная часть всех решений ограничена сверху.
Доказательство
| |
|
|
утверждение доказано
Возвращаемся к решению уравнения и поиску
{
1)
2) Система чётна по
Рассмотрим
То есть если решение не колеблется, то оно устойчиво.
)
Предполагаем
(2)
Ищем решение. Очевидно,
оно существует (см. рисунок),
и при этом удовлетворяет
условию
Понятно, что крайнее возможное значение
Из этого следует, что
, а значит, решение устойчиво.
Вне этой области – колебания.
Отступим в опасную область.
Бифуркация – скачкообразное изменение характеристик при непрерывном изменении
параметров. В нашем случае
| |
Применяя линейную аппроксимацию к (1) и (2), получаем
Отметим, что
, в то время как
(
)
Вывод: с увеличением период колебаний растёт неограниченно.
В природе получаем, что популяция становится хаотической.
Непериодические колебания около положения равновесия называются хаотическими.
Аритмия дыхания Шейна-Стокса
Больной то дышит, то не дышит. Аритмия дыхания наблюдается, когда период активного дыхания
сменяется периодами застоя.
Уровень СО2 в крови регулируется рецепторами мозга. Период запаздываний Т (воздух движется
от лёгких до мозга). Вентиляция – функция Хила. При каких Т возникают проблемы с дыханием?
Скорость изменения уровня СО2 – функция от скорости его производства и уровня вентиляции.
̇
(
)
̇
Пусть
̇
̇
̇
{
1)
[
2)
]
Предполагаем
{
,
Из системы следует, что
√
[
√
√
]
Тема 8 - Дискретные мат модели
В непрерывной теории «хорошие» базовые понятия, т.к. они приближают всё с необходимой
точностью через ряд Тейлора и элементарные функции. Однако можно причины для
использования дискретной теории.
Причины перехода от непрерывных систем к дискретным:
1. Наблюдаемый мир дискретен.
2. Обычные и измерительные устройства дискретны.
3. В непрерывных системах особые точки дискретны.
Описывать дискретный объект можно формулой
Заметим о данной формуле, что:
1. Время нормировано.
Изменяется по единицам, т.к. счётные устройства дискретны.
2. Имеется запаздывание.
Сам характер уравнения говорит об этом (вычисляется следующее через предыдущее).
Соответственно присущи: гистерезис, бифуркация, хаос.
3. Есть отличия от разностных схем.
Дискретные решения имеют другую форму.
Кролики Фибоначчи (1202г.)
1 сезон не воспроизводятся
2 сезон – две пары потомства
3 сезон – ценный мех и мясо
Данный процесс можно записать в следующей форме:
Характеристическое уравнение
√
(
√
)
{
Учёт насыщения
̇
Дискретизируем непрерывную модель. Рассматриваем шаг по времени – 1.
̃
Далее вводим замены:
Получаем дискретную логистическую модель:
̃
В логистическом уравнении с запаздыванием было похожее уравнение, но не было ̃ . Это
последствие того, что время нормировано по единице.
NB!
Если в какой-то момент оказывается больше единицы, то следующий оказывается
меньше нуля. Поэтому в некоторых случаях используется модель экспоненциального типа:
Вычисления
Поскольку в дискретной теории нет элементарных функций, интересен вопрос: как находить
решение таких уравнений?
Метод простой итерации: берём предыдущее значение, вычисляем следующее.
Строим график правой части. Если
есть начальное значение
.
Затем по
находится
и т.д.
Процедура называется кабвэйбинг, а
получившаяся картинка – диаграмма
Ламерея.