Малая теорема Ферма

Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà
ÌÀËÀß
ÒÅÎÐÅÌÀ
ÔÅÐÌÀ
9
Â.ÑÅÍÄÅÐÎÂ, À.ÑÏÈÂÀÊ
×
ÅÌ ÎÒËÈ×ÀÅÒÑß Ó×ÅÍÈÊ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ
Èëëþñòðàöèÿ Â.Õëåáíèêîâîé
êëàññà îò ó÷åíèêà ãåîãðàôè÷åñêîãî, ýêîíîìè÷åñêîãî, ïîëèòîëîãè÷åñêîãî èëè êîððåêöèîííîãî êëàññà? Òåì, ÷òî îí áîëüøå ðàçìûøëÿåò íàä çàäà÷àìè? Äà, è
ýòèì òîæå. Íî íå òîëüêî. Åùå îí çíàåò ìàëóþ òåîðåìó
Ôåðìà.
Ïðîãðàììû îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå áûâàþò ðàçíûå: ìîæíî íà÷àòü ñ ïîäðîáíîãî èçó÷åíèÿ ãåîìåòðèè, ìîæíî – ñ
êîìáèíàòîðèêè, êòî-òî íà÷èíàåò ñ òåîðèè ìíîæåñòâ, âñå
íå ïåðå÷åñòü. Íî ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà ïðî÷íî âîøëà â
ïðîãðàììó ìàòåìàòè÷åñêèõ êëàññîâ. Êîìïüþòåðùèêè
3 Êâàíò ¹ 1
– àâòîðû ó÷åáíèêà «Êîíêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà» Ð.Ãðýõåì,
Ä.Êíóò è Î.Ïàòàøíèê – òîæå âêëþ÷èëè åå â òîò íàáîð
ñâåäåíèé, ñ êîòîðûì îíè çíàêîìÿò ñâîèõ ñòóäåíòîâ.
Ôîðìóëèðóåòñÿ ýòà òåîðåìà, îòêðûòàÿ ñîâåòíèêîì ïàðëàìåíòà Òóëóçû (Ôðàíöèÿ) Ïüåðîì Ôåðìà (1601–1665)
â 1640 ãîäó, î÷åíü êîðîòêî: åñëè p – ïðîñòîå ÷èñëî, a –
öåëîå ÷èñëî, òî a p – à êðàòíî p. Ñðàçó è íå âèäíî, ïî÷åìó
ñêðîìíîå ñ âèäó óòâåðæäåíèå ñòîëü âàæíî. Òåì íå ìåíåå,
îíî çàñëóæèâàåò âåëè÷àéøåãî âíèìàíèÿ.
Ìû íà÷íåì ñ ìàòåðèàëà, êîòîðûé äîñòóïåí ñåìèêëàññíèêó, à çàêîí÷èì íåäàâíèìè îòêðûòèÿìè â êðèïòîãðàôèè.
ÊÂÀÍT 2000/¹1
10
×àñòíûå ñëó÷àè
Åñëè èç êíèãè âûòåêàåò êàêîé-íèáóäü ïîó÷èòåëüíûé âûâîä, îí äîëæåí ïîëó÷àòüñÿ
ïîìèìî âîëè àâòîðà, â ñèëó ñàìèõ èçîáðàæåííûõ ôàêòîâ.
Ãè äå Ìîïàññàí
Èç ëþáûõ äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë a è
a + 1 îäíî ÷åòíîå, à äðóãîå íå÷åòíîå. Ïîýòîìó ïðîèçâåäå2
íèå a(a + 1) = a + a ÷åòíî ïðè ëþáîì öåëîì a.
2
Äåëèìîñòü ÷èñëà a + a íà 2 ìîæíî äîêàçàòü è ïîäðóãîìó, ðàçîáðàâ äâà ñëó÷àÿ:
2
– åñëè a ÷åòíî, òî a òîæå ÷åòíî, à ñóììà äâóõ ÷åòíûõ
2
÷èñåë a è a ÷åòíà;
2
– åñëè a íå÷åòíî, òî a òîæå íå÷åòíî, à ñóììà äâóõ
2
íå÷åòíûõ ÷èñåë a è a ÷åòíà.
Âîò òàê äîêàçûâàþò çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî ìíîãî÷ëåíà
2
a + a. Âïðî÷åì, ïðè F = 2 â ìàëîé òåîðåìå Ôåðìà
2
ôèãóðèðóåò äðóãîé ìíîãî÷ëåí: a – a = (a – 1)a. Âñå åãî
çíà÷åíèÿ â öåëûõ òî÷êàõ – ÷åòíûå ÷èñëà (äîêàæèòå!).
Òåïåðü ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåí =3 – =. Åãî ëåãêî ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè:
e
3
2
j b
gb
g
a − a = a a −1 = a a −1 a +1 .
Ïîëó÷èëè ïðîèçâåäåíèå òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ
÷èñåë: a – 1, a è a + 1. Êàê ìû óæå çíàåì, ýòî ïðîèçâåäåíèå
÷åòíî. Ïîñêîëüêó èç ëþáûõ òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë
3
îäíî êðàòíî 3, èõ ïðîèçâåäåíèå (a – 1)a(a + 1) = a – a
êðàòíî 3 (è, çíà÷èò, äàæå êðàòíî 6).
Óïðàæíåíèå 1. Ïðè ëþáîì öåëîì a ñóììà a 3 + 5a êðàòíà 6.
Äîêàæèòå ýòî.
4
Ìíîãî÷ëåí = – = ïðè a = 2 è a = 3 ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ
4
2 – 2 = 14 è 3 – 3 = 78. Êîíå÷íî, ýòè çíà÷åíèÿ ÷åòíû,
íî íèêàêîãî îáùåãî äåëèòåëÿ êðîìå 2 (è 1) ó íèõ íåò. Íå
ïîâåçëî! Âïðî÷åì, ÷èñëî 4 ñîñòàâíîå, à ìàëàÿ òåîðåìà
Ôåðìà ãîâîðèò òîëüêî î ìíîãî÷ëåíàõ âèäà a p – a, ãäå p
– ïðîñòîå ÷èñëî.
Ïóñòü F= 5. Âû÷èñëèì íåñêîëüêî çíà÷åíèé ìíîãî÷ëåíà
5
a – a. Ïðè a = ± 1 è ïðè a = 0 ïîëó÷àåì íîëü. Ñìîòðèì
5
5
5
5
äàëüøå: 2 – 2 = 30, 3 – 3 = 240, 4 – 4 = 1020, 5 – 5 =
5
= 3120, 6 – 6 = 7770,... Âñå ýòè çíà÷åíèÿ êðàòíû ÷èñëó
30.
Ïîñêîëüêó 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5, äîêàçàòåëüñòâî äåëèìîñòè íà
30 ðàñïàäàåòñÿ íà òðè ÷àñòè: âî-ïåðâûõ, íàäî äîêàçàòü,
5
÷òî a – a êðàòíî 2; âî-âòîðûõ, a 5 – a êðàòíî 3; â-òðåòüèõ,
5
a – a êðàòíî 5.
5
Ïåðâàÿ ÷àñòü î÷åâèäíà: ÷èñëà a è a ëèáî îáà ÷åòíû,
ëèáî îáà íå÷åòíû. Íå âûçûâàåò çàòðóäíåíèé è âòîðàÿ
÷àñòü:
5
4
2
2
2
a − a = a a −1 = a a −1 a +1 = a −1 a a +1 a +1 ,
4
e
j e
je
j b
gb
ge
j
ïðîèçâåäåíèå òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë âñåãäà êðàòíî 3.
×óòü ñëîæíåå òðåòüÿ ÷àñòü. Íåò, êîíå÷íî, èç ïÿòè
ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë îáÿçàòåëüíî îäíî êðàòíî
5, òàê ÷òî ïðîèçâåäåíèå (a – 2)(a – 1)a(a + 1)(a + 2)
2
êðàòíî 5. Íî a + 1 ≠ (a – 2)(a + 2).
Êàê æå áûòü? Ñàìûé áåñõèòðîñòíûé ñïîñîá – ïåðåáðàòü
âñå ïîäðÿä îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 5: ëþáîå öåëîå ÷èñëî ïðè
äåëåíèè íà 5 äàåò â îñòàòêå 0, 1, 2, 3 èëè 4. Åñëè îñòàòîê
ðàâåí 0, òî êðàòåí 5 âòîðîé ìíîæèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ
2
(a – 1)a(a + 1)( a + 1). Åñëè îñòàòîê ðàâåí 1 èëè 4, òî
êðàòåí 5 ïåðâûé èëè òðåòèé ìíîæèòåëü. Åñëè æå îñòàòîê
ðàâåí 2 èëè 3, òî â äåëî âñòóïàåò ÷åòâåðòûé ìíîæèòåëü.
(Äëÿ òåõ, êòî åùå íå ïðèâûê ðàáîòàòü ñ îñòàòêàìè,
îáúÿñíèì: åñëè a = 5b + 2, ò. å. åñëè a äàåò îñòàòîê 2 ïðè
2
2
2
äåëåíèè íà 5, òî a + 1 = 5b + 2 + 1 = 5 5b + 4b + 1 .
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé a = 5b + 3.)
Åñòü è äðóãîé ñïîñîá:
b
b
2
e
g
gb
j
g
a + 1 = a − 2 a + 2 + 5,
çíà÷èò, åñëè íàñ èíòåðåñóþò òîëüêî îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà
2
5, òî a + 1 ìîæíî-òàêè çàìåíèòü íà (a – 2)(a + 2).
Ôîðìóëîé ýòî çàïèñûâàþò òàê:
b
2
gb
a +1 ≡ a −2 a +2
g bmod 5g .
Ïðåäëîæåííîå â 1801 ãîäó Ê. Ô. Ãàóññîì îáîçíà÷åíèå
« ≡ » åùå íå ðàç áóäåò èñïîëüçîâàíî íàìè. Ïî îïðåäåëåíèþ, a ñðàâíèìî ñ b ïî ìîäóëþ n, åñëè a – b êðàòíî n,
ò. å. a – b = kn, ãäå k – öåëîå ÷èñëî.
Îáîçíà÷åíèå
a≡b
mod n
îêàçàëîñü óäà÷íûì ïîòîìó, ÷òî ñâîéñòâà ñðàâíåíèé ïîõîæè íà ñâîéñòâà îáû÷íûõ ðàâåíñòâ. Ñðàâíåíèÿ ìîæíî
ñêëàäûâàòü: åñëè a ≡ b mod n è c ≡ d mod n , òî a +
+ c ≡ b + d mod n . Â ñàìîì äåëå, ïî îïðåäåëåíèþ, a =
= b + kn è c = d + ln, ãäå k, l – öåëûå ÷èñëà. Çíà÷èò,
b
b
b
g
b
g b
g
b g
g
b
g
b
g
g
a + c = b + kn + d + ln = b + d + k + l n ,
÷òî è òðåáîâàëîñü.
Àíàëîãè÷íî, ôîðìóëû
b
g b
g
a − c = b + kn − d + ln = b − d + k − l n ,
b
gb
g
ac = b + kn d + ln = bd + knd + bln + kln2 =
b
g
= bd + kd + bl + kln n
ïîçâîëÿþò óòâåðæäàòü, ÷òî ñðàâíåíèÿ ìîæíî âû÷èòàòü è
óìíîæàòü. Êîëè ìîæíî óìíîæàòü, òî ìîæíî è âîçâîäèòü
â ñòåïåíü: åñëè a ≡ b mod n , òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî
m
m
÷èñëà m âåðíî ñðàâíåíèå a ≡ b mod n .
Ñîêðàùàòü ñðàâíåíèÿ íàäî ñ îñòîðîæíîñòüþ:
b
g
b
g
6 ≡ 36 (mod 10),
íî
1/
≡ 6 (mod 10).
Óïðàæíåíèÿ
2. Ðåøèòå ñðàâíåíèå 3 x ≡ 11 mod 101 .
3. Êàêèå öåëûå ÷èñëà x óäîâëåòâîðÿþò ñðàâíåíèþ 14x ≡ 0
mod 12 ?
4. Ïóñòü k ≠ 0. Äîêàæèòå, ÷òî à) åñëè ka ≡ kb mod kn , òî
a ≡ b mod n ;
á) åñëè ka ≡ kb mod n è ÷èñëà k, n âçàèìíî ïðîñòû, òî a ≡ b
mod n .
b
b
b
g
g
b
g
b
g
g
b
g
Ïðîäîëæèì èçó÷åíèå ìíîãî÷ëåíîâ âèäà a p – a: äîêàæåì, ÷òî ïðè ëþáîì öåëîì a ÷èñëî =7 – = êðàòíî 7. Êàê
âñåãäà, ìîæíî ðàññìîòðåòü âñå 7 îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà
7
7
7
7
7: 0 – 0 = 0, 1 – 1 = 0, 2 – 2 = 126 = 7 ⋅ 18,..., 6 – 6 =
= 279930 = 7 ⋅ 39990. (Ìîæíî è ÷óòî÷êó ñýêîíîìèòü:
ïîñêîëüêó ëþáîå öåëîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå a = 7b,
7b ± 1, 7b ± 2 èëè 7b ± 3, î÷åâèäíî, ïðè ïðîâåðêå ìàëîé
òåîðåìû Ôåðìà äëÿ p = 7 ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àåâ a = 0, 1, 2 è 3.)
Íî áåçäóìíàÿ ïðîâåðêà íå ìîæåò íàó÷èòü íàñ íè÷åìó èíòåðåñíîìó. Ëó÷øå ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå íà
ÌÀËÀß
ìíîæèòåëè:
e
7
j e
6
3
je
3
Ïîñêîëüêó
2
ge
2
j
jb
ge
j
2
= a a −1 a + a +1 a +1 a − a +1 .
e
j
2
2
a + a +1 = a + a− 6 + 7 ≡a + a − 6 =
b gb g bmod 7g
è
a − a + 1 ≡ a − a − 6 = b a + 2 gba − 3 g b mod 7 g ,
èìååì:
a − a ≡ aba − 1gb a − 2 gba + 3 g b a + 1gb a + 2gb a − 3g b mod 7g .
= a−2 a+3
2
2
7
Ïðîèçâåäåíèå ñåìè ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíî 7.
Óïðàæíåíèå 5. Äîêàæèòå, ÷òî à) íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë âèäà a7 – a ðàâåí 42; á) íàèáîëüøèé îáùèé
9
äåëèòåëü ÷èñåë âèäà a – a ðàâåí 30. (Çàìåòüòå: 30 íå êðàòíî
9. Ýòî íàõîäèòñÿ â ñîãëàñèè ñ òåì, ÷òî ÷èñëî 9 íå ïðîñòîå, à
ñîñòàâíîå.)
Òåïåðü ðàññìîòðèì ÷èñëî p = 11. Î÷åâèäíî,
d
= aba − 1ge a
i d
11
id
i
a − a = a a10 − 1 = a a5 − 1 a5 + 1 =
4
3
2
jb
11
ÔÅÐÌÀ
10. à) Äîêàæèòå, ÷òî 2222
a − a = a a −1 =a a −1 a +1 =
b
ÒÅÎÐÅÌÀ
ge
4
3
j
2
5555
FH
+ 5555
14
16
IK
2222
17
êðàòíî 7. á) Íàéäèòå
19
20
+ 18
íà 7.
îñòàòîê îò äåëåíèÿ ÷èñëà 13 + 15
10
11. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 11 – 1 îêàí÷èâàåòñÿ íà äâà íóëÿ (ò.å.
êðàòíî 100).
10
12. à) Íàéäèòå âñå öåëûå ÷èñëà a, äëÿ êîòîðûõ a + 1
îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé íîëü. á) Äîêàæèòå, ÷òî íè ïðè êàêîì
100
öåëîì a ÷èñëî a + 1 íå îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé íîëü.
13. Ïóñòü n – ÷åòíîå ÷èñëî. Íàéäèòå íàèáîëüøèé îáùèé
äåëèòåëü ÷èñåë âèäà a n – a, ãäå a – öåëîå ÷èñëî.
14. Ïóñòü n – íàòóðàëüíîå ÷èñëî, n n> 1. Äîêàæèòå, ÷òî
íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë âèäà a – a, ãäå a ïðîáåãàåò
ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ ÷èñåë, ñîâïàäàåò ñ íàèáîëüøèì îáùèì
n
äåëèòåëåì ÷èñåë âèäà a – a, ãäå a = 1, 2, 3,..., 2 n . (Çàìåòüòå:
èçn ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë âèäà
a – a, ãäå a – öåëîå, ñîâïàäàåò ñ íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì
÷èñåë òàêîãî âèäà, ãäå a – íàòóðàëüíîå.)
Îáùèé ñëó÷àé
È êàæäîãî â ñâîþ óëîæàò ÿìó.
Ýæåí Ãèëüâèê
Âûïèøåì â ñòðî÷êó ÷èñëà 1, 2, 3, ..., p – 1, äîìíîæèì
êàæäîå èç íèõ íà k, ãäå k íå êðàòíî p, è ðàññìîòðèì
îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà p. Íàïðèìåð, ïðè p = 19 è k = 4
ïîëó÷èì òàáëèöó 1.  íèæíåé ñòðîêå òàáëèöû – òå æå
Òàáëèöà 1
+ a + a + a +1 a +1 a − a + a − a +1 .
ï
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Òóò íå òàê-òî ïðîñòî äîãàäàòüñÿ, êàê áûòü äàëüøå. Íî
ïîëíûé ïåðåáîð âñåõ 11 îñòàòêîâ âñå åùå âîçìîæåí. È
êîãäà ìû åãî âûïîëíèì, îêàæåòñÿ, ÷òî çíà÷åíèÿ ìíîãî4
3
2
÷ëåíà a + a + a + a + 1 êðàòíû 11 ïðè a ≡ 3, 4, 5 èëè
3
4
2
9 mod 11 , à çíà÷åíèÿ ìíîãî÷ëåíà a – a + a – a + 1
êðàòíû 11 ïðè a ≡ 2, 6, 7 èëè 8.
Ìåæäó ïðî÷èì, åñëè ìû ðàñêðîåì ñêîáêè â ïðîèçâåäåíèè (a – 3)(a – 4)(a – 5)( a – 9), ïîëó÷èì
4a
4
8
12
16
20
24
28
32
36
4a mod19
4
8
12
16
1
5
9
13
17
ï
10
11
12
13
14
15
16
17
18
4a
40
44
48
52
56
60
64
68
72
4a mod19
2
6
10
14
18
3
7
11
15
b
ea
2
g
je
2
j e
2
je
2
j
− 7a + 12 a − 14a + 45 ≡ a + 4a + 1 a − 3a + 1 =
4
3
2
4
3
2
= a + a − 10a + a + 1 ≡ a + a + a + a + 1
bmod 11g .
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî (a – 2)(a – 6)(a –
4
3
2
– 7)(a – 8) ≡ a – a + a – à + 1 mod 11 .
×òî äàëüøå? Ïðè p = 13, åñëè äåéñòâîâàòü íàøèì
ñïîñîáîì, ïðèäåòñÿ âîçâîäèòü â äâåíàäöàòóþ ñòåïåíü
÷èñëà îò 1 äî 12 èëè ðàñêðûâàòü ñêîáêè â ïðîèçâåäåíèè
òðèíàäöàòè ìíîæèòåëåé: a – 6, a – 5,..., a + 5, a + 6.
Çàíèìàòüñÿ ýòèì íå õî÷åòñÿ, äàæå åñëè îãðàíè÷èòüñÿ
âîçâåäåíèåì â ñòåïåíü ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5, 6 èëè ïåðåìíî2
2
2
æàòü «âñåãî ëèøü» øåñòü ñêîáîê: ( a – 1)( a – 4)( a –
2
2
2
– 9)( a – 16)( a – 25)( a – 36).
×åì áîëüøå p, òåì áîëüøå âàðèàíòîâ íàäî ïåðåáèðàòü.
Ïîýòîìó ìû ïðåêðàòèì ðàçáîð ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ è ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà, êîòîðîå
îõâàòûâàåò ñðàçó âñå ïðîñòûå ÷èñëà p.
b
g
Óïðàæíåíèÿ
6. à) Ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ ÷åòûðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ
÷èñåë êðàòíî 24. Äîêàæèòå ýòî. á) Ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ ïÿòè
ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíî 120. Äîêàæèòå ýòî.
â) Äîêàæèòå, ÷òî a 5 – 5a3 + 4a ïðè âñÿêîì öåëîì a êðàòíî 120.
7. Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî a ÷èñëî a5 îêàí÷èâàåòñÿ íà òó æå
öèôðó, ÷òî è a. Äîêàæèòå ýòî.
5
5
8. Äîêàæèòå, ÷òî m n – mn êðàòíî 30 ïðè ëþáûõ öåëûõ m è
n.
4
9. Åñëè ÷èñëî k íå êðàòíî íè 2, íè 3, íè 5, òî k – 1 êðàòíî
240. Äîêàæèòå ýòî.
3*
ñàìûå ÷èñëà, ÷òî è â âåðõíåé, òîëüêî îíè ðàñïîëîæåíû â
äðóãîì ïîðÿäêå! Îêàçûâàåòñÿ, ýòî îáùèé çàêîí: íå òîëüêî
ïðè p = 19 è k = 4, íî ïðè ëþáîì ïðîñòîì p è íå êðàòíîì
p öåëîì ÷èñëå k âñåãäà ïîëó÷àòñÿ òå æå ñàìûå ÷èñëà 1,
2, 3, ..., p – 1, âîçìîæíî, çàïèñàííûå â íåêîòîðîì äðóãîì
ïîðÿäêå.
Ïî÷åìó? Íó, âî-ïåðâûõ, â íèæíåé ñòðîêå íå ìîæåò
ïîÿâèòüñÿ 0, èáî ïðîèçâåäåíèå íå êðàòíûõ ïðîñòîìó
÷èñëó p ÷èñåë a è k íå ìîæåò áûòü êðàòíî p. Âî-âòîðûõ,
âñå ÷èñëà íèæíåé ñòðîêè ðàçíûå (ýòî ëåãêî äîêàçàòü «îò
ïðîòèâíîãî»: åñëè áû ÷èñëà ak è bk äàâàëè ïðè äåëåíèè
íà p îäèíàêîâûå îñòàòêè, òî ðàçíîñòü ak – bk = (a – b)k
áûëà áû êðàòíà p, ÷òî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó a – b íå
êðàòíî p). Ýòèõ äâóõ çàìå÷àíèé äîñòàòî÷íî: íåíóëåâûõ
îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà p ñóùåñòâóåò p – 1 øòóê, âñå îíè
âûíóæäåíû ïî îäíîìó ðàçó ïîÿâèòüñÿ â íèæíåé ñòðîêå
òàáëèöû.
Óïðàæíåíèÿ
15. Ñóùåñòâóåò ëè òàêîå íàòóðàëüíîå n, ÷òî ÷èñëî 1999n
îêàí÷èâàåòñÿ íà öèôðû 987654321?
16. Åñëè öåëîå ÷èñëî k âçàèìíî ïðîñòî ñ íàòóðàëüíûì ÷èñëîì
n, òî ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî x, ÷òî kx – 1 êðàòíî
n. Äîêàæèòå ýòî.
17. Åñëè öåëûå ÷èñëà a è b âçàèìíî ïðîñòû, òî ëþáîå öåëîå
÷èñëî c ïðåäñòàâèìî â âèäå c = ax + by, ãäå x, y – öåëûå ÷èñëà.
Äîêàæèòå ýòî.
Êàê âû ïîìíèòå, ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà óòâåðæäàåò, ÷òî
ïðè ëþáîì öåëîì k è ïðîñòîì p ÷èñëî k p – k = k k p−1 − 1
d
i
ÊÂÀÍT 2000/¹1
12
êðàòíî p. Çíà÷èò, äëÿ ÷èñåë k, íå êðàòíûõ p, òåîðåìó
ìîæíî ôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Òåîðåìà 1. Åñëè öåëîå ÷èñëî k íå êðàòíî ïðîñòîìó
p−1
÷èñëó p, òî k
äàåò îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè íà p.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà p
÷èñåë k, 2k, 3k, ..., (p – 1)k – ýòî (ñ òî÷íîñòüþ äî
ïåðåñòàíîâêè) ÷èñëà 1, 2, 3, ..., p – 1, òî
k ⋅ 2k ⋅ 3k ⋅ K ⋅ p − 1 k ≡ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅K ⋅ p − 1
mod p ,
îòêóäà
p−1
k
p −1 ! ≡ p−1 !
mod p .
b g
b g b
b
g b
g b
g
g
Ñîêðàòèâ íà (p – 1)!, ïîëó÷èì æåëàåìîå:
k
p−1
≡1
bmod pg .
À òîò, êòî íå ðåøèë óïðàæíåíèå 4 á) è íå çíàåò, ïî÷åìó
ñðàâíåíèÿ ìîæíî ñîêðàùàòü (íà ÷èñëî, âçàèìíî ïðîñòîå
ñ ìîäóëåì), ïóñòü ðàññóæäàåò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïî1
ñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå k p− − 1 ⋅ p − 1 ! êðàòíî p, à ÷èñëî
(p – 1)! íå êðàòíî p, òî ÷èñëî k p−1 – 1 êðàòíî ïðîñòîìó
÷èñëó p.
jb
e
g
Óïðàæíåíèÿ
18. Íàéäèòå îñòàòîê îò äåëåíèÿ ÷èñëà 32000 íà 43.
19. Åñëè öåëîå ÷èñëî a íå êðàòíî 17, òî a 8 – 1 èëè a 8 + 1 êðàòíî
17. Äîêàæèòå ýòî.
61
61
20. Äîêàæèòå, ÷òî m n – mn êðàòíî 56786730 ïðè ëþáûõ
öåëûõ m è n.
2
p
21. Íàéäèòå âñå òàêèå ïðîñòûå ÷èñëà p, ÷òî 5 + 1 êðàòíî p.
22. Ïóñòü p – ïðîñòîå ÷èñëî, p ≠ 2 . Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî
p
p
7 – 5 – 2 êðàòíî 6p.
p−1
p−1
p−
23. Åñëè p – ïðîñòîå ÷èñëî, òî ñóììà 1 + 2 + ... + p − 1 1
ïðè äåëåíèè íà p äàåò îñòàòîê p – 1. Äîêàæèòå ýòî.
24. Øåñòèçíà÷íîå ÷èñëî êðàòíî 7. Åãî ïåðâóþ öèôðó ñòåðëè
è çàòåì çàïèñàëè åå ïîçàäè ïîñëåäíåé öèôðû ÷èñëà. Äîêàæèòå,
÷òî ïîëó÷åííîå ÷èñëî òîæå êðàòíî 7. (Íàïðèìåð, èç êðàòíûõ 7
÷èñåë 632387 è 200004 òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì ÷èñëà 323876 è
42, êîòîðûå òîæå êðàòíû 7.)
25. Ïóñòü p – ïðîñòîå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò 2, 3 è 5. Äîêàæèòå,
÷òî ÷èñëî, çàïèñàííîå p – 1 åäèíèöåé, êðàòíî p. (Íàïðèìåð,
111111 êðàòíî 7.)
26*. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî p ÷èñëî
11...1122...22...99...99, ñîñòîÿùåå èç 9p öèôð (ñíà÷àëà p åäèíèö, ïîòîì p äâîåê, p òðîåê, ..., íàêîíåö, p äåâÿòîê), ïðè
äåëåíèè íà p äàåò òàêîé æå îñòàòîê, êàê è ÷èñëî 123456789.
b
g
Òàáëèöû óìíîæåíèÿ
Íàçëî åé ÿ âñå-òàêè ïîìíîæèë çåìëåêîïîâ. Ïðàâäà, íè÷åãî õîðîøåãî ïðî íèõ íå óçíàë, íî çàòî
òåïåðü ìîæíî áûëî ïåðåõîäèòü ê äðóãîìó âîïðîñó.
Ë.Ãåðàñêèíà
Ðàññìîòðèì âñå n – 1 ðàçíûõ íåíóëåâûõ îñòàòêîâ îò
äåëåíèÿ íà n. Ñîñòàâèì òàáëèöó óìíîæåíèÿ, íàïèñàâ íà
ïåðåñå÷åíèè a-ãî ñòîëáöà è b-é ñòðîêè îñòàòîê îò äåëåíèÿ
íà n ïðîèçâåäåíèÿ ab. Íàïðèìåð, ïðè n = 5 ïîëó÷èì
òàáëèöó 2, ïðè n = 11 — òàáëèöó 3.
Òàáëèöà 2
×
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
1
3
3
3
1
4
2
4
4
3
2
1
Òàáëèöà 3
×
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
1
3
5
7
9
3
3
6
9
1
4
7
10
2
5
8
4
4
8
1
5
9
2
6
10
3
7
5
5
10
4
9
3
8
2
7
1
6
6
6
1
7
2
8
3
9
4
10
5
7
7
3
10
6
2
9
5
1
8
4
8
8
5
2
10
7
4
1
9
6
3
9
9
7
5
3
1
10
8
6
4
2
10
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Òàáëèöà 4
×
1
2
3
1
1
2
3
2
2
0
2
3
3
2
1
Òàáëèöà 5
×
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
3
3
6
9
0
3
6
9
0
3
6
9
4
4
8
0
4
8
0
4
8
0
4
8
5
5
10
3
8
1
6
11
4
9
2
7
6
6
0
6
0
6
0
6
0
6
0
6
7
7
2
9
4
11
6
1
8
3
10
5
8
8
4
0
8
4
0
8
4
0
8
4
9
9
6
3
0
9
6
3
0
9
6
3
10
10
8
6
4
2
0
10
8
6
4
2
11
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Ïîñêîëüêó â îáîèõ ïðèìåðàõ ÷èñëî n ïðîñòîå, â êàæäîé ñòðîêå, êàê è â êàæäîì ñòîëáöå, âîçíèêàåò íåêîòîðàÿ ïåðåñòàíîâêà ÷èñåë 1, 2, ..., n – 1. Åñëè æå ðàññìîòðåòü ñîñòàâíîå ÷èñëî, òî â òàáëèöå îáÿçàòåëüíî âñòðåòèòñÿ íóëü. Íàïðèìåð, ïðè n = 4 èìååì 2 ⋅ 2 ≡ 0 (òàáë.4);
íå ëó÷øå ñèòóàöèÿ è ïðè n = 12 (òàáë.5): îïÿòü â
íåêîòîðûõ ñòðîêàõ åñòü íóëè! È âîîáùå, ïðè ëþáîì
ñîñòàâíîì ÷èñëå n = ab, ãäå 1 < a, b < n, íà ïåðåñå÷åíèè
a-é ñòðîêè è b-ãî ñòîëáöà ñòîèò îñòàòîê îò äåëåíèÿ ab
íà n, ò.å. 0.
Èòàê, åñëè n ñîñòàâíîå, òî èìåþòñÿ äåëèòåëè íóëÿ –
íåíóëåâûå îñòàòêè a è b, ïðîèçâåäåíèå ab êîòîðûõ êðàòíî
n, èíûìè ñëîâàìè, ðàâíî íóëþ ïî ìîäóëþ n. Íî äàæå ïðè
ñîñòàâíîì n â íåêîòîðûõ ñòðîêàõ òàáëèöû óìíîæåíèÿ íåò
íóëåé. Â òàáëèöå 4 òàêîâû ïåðâàÿ è òðåòüÿ ñòðîêè, à â
ÌÀËÀß
ÒÅÎÐÅÌÀ
òàáëèöå 5 – ïåðâàÿ, ïÿòàÿ, ñåäüìàÿ è îäèííàäöàòàÿ.
Ïîäóìàâ íåìíîãî, ìîæíî ïîíÿòü, ÷òî íóëè ïðèñóòñòâóþò
â òåõ è òîëüêî òåõ ñòðîêàõ, íîìåðà êîòîðûõ èìåþò ñ
÷èñëîì n îáùèé äåëèòåëü, îòëè÷íûé îò 1 (äîêàæèòå ýòî!).
Äàâàéòå æå âû÷åðêíåì èç òàáëèöû âñå òàêèå ñòðîêè è
Òàáëèöà 7
×
Òàáëèöà 6
1
5
7
11
1
1
5
7
11
×
1
3
5
5
1
11
7
1
1
3
7
7
11
1
5
3
3
1
11
11
7
5
1
ñòîëáöû. (Åñëè n – ïðîñòîå ÷èñëî, òî âû÷åðêèâàòü íè÷åãî
íå ïðèäåòñÿ.) Ïðè n = 4 ïîëó÷èì òàáëèöó èç äâóõ ñòðîê
è ñòîëáöîâ (òàáë.6), à ïðè n = 12 îñòàíåòñÿ òàáëèöà
ðàçìåðîì 4 × 4 (òàáë.7).
Óïðàæíåíèå 27. Çàìåòüòå, ÷òî êàæäàÿ èç òàáëèö 2–7 ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îáåèõ ñâîèõ äèàãîíàëåé. Äîêàæèòå, ÷òî ýòî
òàê äëÿ ëþáîãî n.
Òåîðåìà Ýéëåðà
×òîáû îáîáùèòü ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà íà ñëó÷àé ñîñòàâíîãî ÷èñëà n, îñòàâèì â òàáëèöå óìíîæåíèÿ òîëüêî
òå ñòðîêè è ñòîëáöû, â êîòîðûõ íåò íóëåé, ò.å. ðàññìîòðèì âçàèìíî ïðîñòûå ñ n îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà n. Â
íîâîé òàáëèöå ñòðîêè (è ñòîëáöû) îòëè÷àþòñÿ äðóã îò
äðóãà ëèøü ïîðÿäêîì, â êîòîðîì ðàñïîëîæåíû ÷èñëà.
Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè ìû äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n
âûïèøåì âñå îñòàòêè a1 , a2 , ..., ar , âçàèìíî ïðîñòûå ñ
n, è äîìíîæèì êàæäûé èç íèõ íà âçàèìíî ïðîñòîå ñ n
÷èñëî k, òî ïîëó÷èì ÷èñëà ka1 , ka2 ,..., kar , êîòîðûå
òîæå âçàèìíî ïðîñòû ñ n è äàþò ðàçíûå îñòàòêè ïðè
äåëåíèè íà n (äîêàæèòå!).
Èòàê, ñòðîêà îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n ÷èñåë ka1 , ka2 ,...
..., kar ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò ñòðîêè a1 , a2 , ..., ar òîëüêî
ïîðÿäêîì ðàñïîëîæåíèÿ ÷èñåë. Ïîýòîìó òî÷íî òàê æå, êàê
äëÿ ïðîñòîãî p, äëÿ ñîñòàâíîãî n èìååì:
b
g
ka1ka2 K kar ≡ a1a2 K ar mod n ,
ek − 1ja a K a ≡ 0 bmod ng .
Çíà÷èò, ïðîèçâåäåíèå ek − 1ja a K a êðàòíî n. Ïîñêîëür
r
r
1 2
r
r
êó ÷èñëà a1 , a2 , ..., ar âçàèìíî ïðîñòû ñ n, òî k – 1 êðàòíî
n. Åñëè n – ïðîñòîå ÷èñëî, òî r = n – 1 è ïîëó÷àåì â
òî÷íîñòè óòâåðæäåíèå ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà.  îáùåì æå
ñëó÷àå ïðèõîäèì ê òåîðåìå Ýéëåðà:
Òåîðåìà 2. Åñëè k – öåëîå ÷èñëî, âçàèìíî ïðîñòîå ñ
r
íàòóðàëüíûì ÷èñëîì n, òî k – 1 êðàòíî n, ãäå r –
êîëè÷åñòâî âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå
ïðåâîñõîäÿùèõ n.
Óïðàæíåíèÿ
28. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ÷èñëî k íå êðàòíî 3, òî
à) k 3 ïðè äåëåíèè íà 9 äàåò îñòàòîê 1 èëè 8;
á) k 81 ïðè äåëåíèè íà 243 äàåò îñòàòîê 1 èëè 242.
3
3
3
29. à) Åñëè a + b + c êðàòíî 9, òî õîòÿ áû îäíî èç öåëûõ
÷èñåë a, b, c êðàòíî 3. Äîêàæèòå ýòî.
4 Êâàíò ¹ 1
á) Ñóììà êâàäðàòîâ òðåõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíà 7 â òîì è òîëüêî
òîì ñëó÷àå, êîãäà ñóììà ÷åòâåðòûõ ñòåïåíåé ýòèõ ÷èñåë êðàòíà
7. Äîêàæèòå ýòî.
7
7
7
7
7
7
7
7
– 7
êðàòíî 10.
30. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 7
9999
31. Êàêîâû òðè ïîñëåäíèå öèôðû ÷èñëà 7 ?
32. Åñëè öåëîå ÷èñëî a âçàèìíî ïðîñòî ñ íàòóðàëüíûì ÷èñëîì
n > 1, òî ñðàâíåíèå ax ≡ b mod n ðàâíîñèëüíî ñðàâíåíèþ
b
r–1
b
g
g
x ≡ a b mod n . Äîêàæèòå ýòî.
n!
33. Åñëè n – íå÷åòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî 2 – 1 êðàòíî n.
Äîêàæèòå ýòî.
34*. Íàéäèòå âñå íàòóðàëüíûå n > 1, äëÿ êîòîðûõ ñóììà
n
n
n
1 + 2 + ... + n − 1 êðàòíà n.
35*. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà s ñóùåñòâóåò êðàòíîå
åìó íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, ñóììà öèôð êîòîðîãî ðàâíà s. Äîêàæèòå ýòî.
b
g
Ôóíêöèÿ Ýéëåðà
 1763 ãîäó Ëåîíàðä Ýéëåð (1707–1783) ââåë îáîçíà÷åíèå ϕ n (÷èòàþò: ôè îò ýí) äëÿ êîëè÷åñòâà r îñòàòêîâ,
âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n. Íàïðèìåð, ϕ 1 = 1, ϕ 4 = 2, ϕ 12 =
= 4.
Åñëè ÷èñëî p ïðîñòîå, òî ϕ p = p – 1. Ëåãêî âû÷èñëèòü
m
è ϕ p , ãäå m – íàòóðàëüíîå ÷èñëî.  ñàìîì äåëå,
m
âûïèøåì âñå p âîçìîæíûõ îñòàòêîâ: 0, 1, 2, ..., p m – 1.
Èç íèõ êðàòíû p â òî÷íîñòè îñòàòêè 0, p, 2p,..., p m – p.
Çíà÷èò,
1
m
m
m −1
m
ϕ p = p −p
= p 1−
.
p
bg
bg
e j
e j
b
bg
bg
F
GH
g
b g
I
JK
Äàâàéòå âû÷èñëèì ϕ 1000 – êîëè÷åñòâî ÷èñåë ïåðâîé
òûñÿ÷è, êîòîðûå íå êðàòíû íè 2, íè 5. Äëÿ ýòîãî èç 1000
âû÷òåì ñíà÷àëà 500 – èìåííî ñòîëüêî â ïåðâîé òûñÿ÷å
÷åòíûõ ÷èñåë. Íå çàáóäåì âû÷åñòü è 200 – ñòîëüêî â
ïåðâîé òûñÿ÷å ÷èñåë, êðàòíûõ 5. ×òî åùå? Åùå ìû
äîëæíû ó÷åñòü, ÷òî íåêîòîðûå ÷èñëà (îêàí÷èâàþùèåñÿ
öèôðîé 0) êðàòíû è 2, è 5. Òàêèõ ÷èñåë 100 øòóê; êàæäîå
èç íèõ ìû ó÷èòûâàëè îáà ðàçà, à íàäî áûëî – òîëüêî îäèí
ðàç! Ïîýòîìó ïðàâèëüíûé îòâåò äàåò ôîðìóëà
b
g
ϕ 1000 = 1000 – 500 – 200 + 100 = 400.
Óïðàæíåíèÿ
d i
a b
îòêóäà
1 2
13
ÔÅÐÌÀ
36. Íàéäèòå ϕ 2 5 , ãäå a, b – íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
37. Ïóñòü p, q – ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà. Íàéäèòå à) ϕ pq ,
a b
á) ϕ p q , ãäå a, b – íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
FH
IK
b g
FH IK
38. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ: à) ϕ 7
x
FH
x
= 294; á) ϕ 3 5
y
IK
= 360.
 ïðèíöèïå, ïðèìåíåííûé íàìè ñïîñîá ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ϕ n äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n. Íàïðèìåð, ÷òîáû âû÷èñëèòü ϕ 300 , ìû ìîæåì âûïèñàòü âñå
÷èñëà îò 1 äî 300 è âû÷åðêíóòü 150 ÷åòíûõ ÷èñåë, à òàêæå
100 ÷èñåë, êðàòíûõ 3, è 60 ÷èñåë, êðàòíûõ 5. Çàòåì ìû
äîëæíû âñïîìíèòü, ÷òî íåêîòîðûå ÷èñëà âû÷åðêíóòû
äâàæäû (à èíûå äàæå òðèæäû), è «âîññòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü», ò.å. ê ÷èñëó 300 – 150 – 100 – 60 ïðèáàâèòü 50
÷èñåë, êðàòíûõ 2 ⋅ 3 = 6, à òàêæå 30 ÷èñåë, êðàòíûõ 2 ⋅ 5 =
= 10, è 20 ÷èñåë, êðàòíûõ 3 ⋅ 5 = 15. Íî è ýòîãî
íåäîñòàòî÷íî: êàæäîå èç äåñÿòè ÷èñåë, êðàòíûõ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 =
= 30, áûëî ñíà÷àëà òðèæäû âûáðîøåíî (êàê êðàòíîå 2, 3,
5) è çàòåì òðèæäû âîçâðàùåíî (êàê êðàòíîå 6, 10, 15). Íî
âûáðîñèòü ýòè 10 ÷èñåë âñå-òàêè íàäî! Ïîýòîìó
bg
b g
b g
ϕ 300 = 300 − 150 − 100 − 60 + 50 + 30 + 20 − 10 = 80 .
ÊÂÀÍT 2000/¹1
14
Íè÷åãî ñëîæíîãî, êàê âèäèòå, íåò. Íî ñ ðîñòîì êîëè÷åñòâà ïðîñòûõ äåëèòåëåé ÷èñëà n ìû áóäåì ïîëó÷àòü îòâåò,
â êîòîðîì âñå áîëüøå è áîëüøå ñëàãàåìûõ è âû÷èòàåìûõ.
 ñòàòüå Í. Âàñèëüåâà è Â.Ãóòåíìàõåðà «Àðèôìåòèêà è
ïðèíöèïû ïîäñ÷åòà» (Ïðèëîæåíèå ê æóðíàëó «Êâàíò»
¹2 çà 1994 ãîä) ýòî âñå ïîäðîáíî îáúÿñíåíî. À çäåñü ìû
èçëîæèì äðóãîé ñïîñîá.
Òåîðåìà 3. Ôóíêöèÿ Ýéëåðà ìóëüòèïëèêàòèâíà, ò.å.
b g b gbg
ϕ mn = ϕ m ϕ n
äëÿ ëþáûõ âçàèìíî ïðîñòûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë m è n.
Ñëåäñòâèå. Åñëè n = p1a1 p2a2 ⋅ K ⋅ psas , ãäå p1 , p2 ,..., p s –
ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, a1 , a2 ,..., as – íàòóðàëüíûå
÷èñëà, òî
bg e je j
= ep
a
a
e j
− p je p
a
ϕ n = ϕ p1 1 ϕ p2 2 ⋅ K ⋅ ϕ ps s =
a1
1
a1 −1
1
a2
2
a −1
− p2 2
j ⋅ K⋅ e p
as
s
a −1
− ps s
j.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3. Ðàññìîòðèì ÷èñëà âèäà
mx + ny, ãäå 0 ≤ x < n è 0 ≤ y < m. Çàïèøåì èõ â âèäå
òàáëèöû ðàçìåðîì n × m. Íàïðèìåð, ïðè n = 5 è m = 8
ïîëó÷àåì òàáëèöó 8.
Òàáëèöà 8
x\ y
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
5
10
15
20
25
30
35
1
8
13
18
23
28
33
38
43
2
16
21
26
31
36
41
46
51
3
24
29
34
39
44
49
54
59
4
32
37
42
47
52
57
62
67
Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà mn âñåõ ÷èñåë ýòîé òàáëèöû
ðàçíûå. Â ñàìîì äåëå, åñëè áû êàêèå-òî äâà îñòàòêà
ñîâïàëè, òî áûëî áû âûïîëíåíî ñðàâíåíèå
mx1 + ny1 ≡ mx2 + ny2
bmod mng ,
ãäå 0 ≤ x1 , x2 < n è 0 ≤ y1 , y2 < m. Îòñþäà ñëåäóþò äâà
ñðàâíåíèÿ:
mx1 + ny1 ≡ mx2 + ny2 mod m
è
mx1 + ny1 ≡ mx2 + ny2 mod n .
b
b
Ïåðâîå ïðèâîäèò ê ñðàâíåíèþ
b
g
g
g
ny1 ≡ ny2 mod m ,
èç êîòîðîãî âñëåäñòâèå âçàèìíîé ïðîñòîòû ÷èñåë m è n
Ðèñ.1
ïîëó÷àåì
b
g
y1 ≡ y2 mod m .
Âñïîìíèâ, ÷òî 0 ≤ y1 , y2 < m, ïîëó÷àåì: y1 = y2 .
Àíàëîãè÷íî, ñðàâíåíèå ïî ìîäóëþ n ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó
x1 = x2 .
Èòàê, âñå mn ÷èñåë òàáëèöû äàþò ðàçíûå îñòàòêè ïðè
äåëåíèè íà mn. Íî âîçìîæíûõ îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà mn
ðîâíî ñòîëüêî æå, ñêîëüêî ÷èñåë â òàáëèöå! Çíà÷èò,
ðàññìàòðèâàåìûå ÷èñëà äàþò âñå âîçìîæíûå îñòàòêè îò
äåëåíèÿ íà mn. Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ ëþáîãî ÷èñëà d =
= 0, 1,..., mn – 1 ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà òàêàÿ ïàðà
öåëûõ ÷èñåë x, y, ÷òî 0 ≤ x < n, 0 ≤ y < m è d ≡ mx +
+ ny mod mn .
 òàáëèöå 8 ÷åòíûå ÷èñëà îáðàçóþò ÷åòûðå ñòîëáöà, à
÷èñëà, êðàòíûå 5, îáðàçóþò îäíó ñòðîêó. Ýòî íå ñëó÷àéíî:
b
g
ÍÎÄ(mx + ny, m) = ÍÎÄ(ny, m) = ÍÎÄ(y, m);
àíàëîãè÷íî, ÍÎÄ(mx + ny, n) = ÍÎÄ(x, n). Ïî ýòîé
ïðè÷èíå â ðàññìàòðèâàåìîé òàáëèöå ÷èñëà, âçàèìíî ïðîñòûå ñ m, ðàñïîëîæåíû â ϕ m ñòîëáöàõ (òåõ, ãäå y
âçàèìíî ïðîñòî ñ m), à ÷èñëà, âçàèìíî ïðîñòûå ñ n,
îáðàçóþò ϕ n ñòðîê.
Òåïåðü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 íå ñîñòàâëÿåò òðóäà:
÷òîáû d áûëî âçàèìíî ïðîñòî ñ mn, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû d áûëî âçàèìíî ïðîñòî ñ ÷èñëàìè m è n.
Òàêèå ÷èñëà d ëåæàò íà ïåðåñå÷åíèè ϕ m ñòîëáöîâ
(ñîñòîÿùèõ èç ÷èñåë, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ m) ñ ϕ n
ñòðîêàìè (ñîñòîÿùèìè èç ÷èñåë, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n).
Âñåãî ïîëó÷àåì «ðåøåòêó» èç ϕ m ϕ n ÷èñåë, ÷òî è
òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
b g
bg
b g
bg
b g bg
Óïðàæíåíèÿ
39. Çàïèøåì ÷èñëà îò 0 äî mn – 1 â òàáëèöó èç m ñòðîê è n
ñòîëáöîâ (òàáë.9).
Òàáëèöà 9
0
1
2
...
n–1
n
n+1
n+2
...
2n – 1
2n
2n + 1
2n + 2
...
3n – 1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
(m – 1)n
(m – 1)n + 1
(m – 1)n + 2
...
mn – 1
à) Ñîñòàâüòå òàêóþ òàáëèöó äëÿ m = 3 è n = 4. Çà÷åðêíèòå â
íåé ñíà÷àëà âñå ÷åòíûå ÷èñëà, à çàòåì – òå èç îñòàâøèõñÿ ÷èñåë,
êîòîðûå êðàòíû 3. Çàìåòüòå, ÷òî íåçà÷åðêíóòûìè îñòàëèñü â
ÌÀËÀß
ÒÅÎÐÅÌÀ
òî÷íîñòè ÷èñëà, âçàèìíî ïðîñòûå ñ 12, è ÷òî íåçà÷åðêíóòûå
÷èñëà íå îáðàçóþò ðåøåòêè.
á) Äîêàæèòå òåîðåìó Ýéëåðà ïî ñëåäóþùåìó ïëàíó:
1) ÷èñëà, âçàèìíî ïðîñòûå ñ n, çàïîëíÿþò ñîáîé ϕ n ñòîëáöîâ
òàáëèöû 9;
2) îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà m âñåõ m ÷èñåë ëþáîãî ñòîëáöà
òàáëèöû 9 ðàçëè÷íû;
3) â êàæäîì ñòîëáöå ïðèñóòñòâóåò ðîâíî ϕ m ÷èñåë, âçàèìíî
ïðîñòûõ ñ m;
4) ÷èñëî âçàèìíî ïðîñòî ñ mn òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî
âçàèìíî ïðîñòî ñ n (òàêèå ÷èñëà ëåæàò â ϕ n ñòîëáöàõ) è
âçàèìíî ïðîñòî ñ m (â êàæäîì ñòîëáöå òàêèõ ÷èñåë ϕ m ).
40. Îêðóæíîñòü ðàçäåëèëè n òî÷êàìè íà n ðàâíûõ ÷àñòåé.
Ñêîëüêî ìîæíî ïîñòðîèòü ðàçëè÷íûõ çàìêíóòûõ ëîìàíûõ èç n
ðàâíûõ çâåíüåâ ñ âåðøèíàìè â ýòèõ òî÷êàõ? (Äâå ëîìàíûå,
ïîëó÷àþùèåñÿ îäíà èç äðóãîé ïîâîðîòîì, ñ÷èòàåì îäèíàêîâûìè. Íà ðèñóíêå 1 èçîáðàæåíû âñå òàêèå ëîìàíûå ïðè n = 20.)
41. Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë m è n äîêàæèòå ðàâåíñòâà:
à) ϕ m ϕ n = ϕ HOK m, n ϕ HOÄ m, n ;
á) ϕ mn = ϕ HOK m, n ⋅ HOÄ m, n ;
â) ϕ m ϕ n ÍÎÄ m, n = ϕ mn ϕ ÍÎÄ m, n .
ã) Ïóñòü m è n – íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì ÍÎÄ(m,n) > 1.
Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî ϕ mn > ϕ m ϕ n .
42. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ: à) ϕ x = 18; á) ϕ x = 12; â) x – ϕ x =
bg
b g
bg
b g
b g b g d b gi d b gi
b g d b gi
b g
b g b g b g b g d b gi
b g b gbg
bg
bg
bg
F
I
= 12; ã*) ϕ H x K = x – x; ä) ϕ b x g = x/2; å) ϕ b x g = x/3; æ*) ϕ b x g =
= x/n, ãäå n – íàòóðàëüíîå ÷èñëî, n > 3; ç) ϕ bnx g = ϕ b x g , ãäå n
2
2
– íàòóðàëüíîå ÷èñëî, n > 1.
15
ÔÅÐÌÀ
Ïîëó÷èëîñü íåêîòîðîå 78-çíà÷íîå ÷èñëî x. Çàòåì âçÿëè
64-çíà÷íîå ïðîñòîå ÷èñëî p è 65-çíà÷íîå ïðîñòîå ÷èñëî q.
Ïåðåìíîæèëè èõ (íå âðó÷íóþ, ðàçóìååòñÿ, à íà êîìïüþòåðå):
pq = 11438162575788886766932577997614661201021829
67212423625625618429357069352457338978305971235639
58705058989075147599290026879543541.
Òåïåðü – ãëàâíîå:
b
g
y ≡ x 9007 mod pq .
Ïîíèìàåòå? Îíè îïóáëèêîâàëè è ïðîèçâåäåíèå pq, è
÷èñëî 9007, è ñàì ìåòîä øèôðîâàíèÿ (è, ðàçóìååòñÿ,
÷èñëî y). Áûëî äàæå ñêàçàíî, ÷òî èç ÷èñåë p è q îäíî 64çíà÷íîå, à äðóãîå 65-çíà÷íîå.  ñåêðåòå îñòàëèñü òîëüêî
ñàìè ÷èñëà p è q. Òðåáîâàëîñü íàéòè x.
Ýòà èñòîðèÿ çàâåðøèëàñü â 1994 ãîäó, êîãäà Àòêèíñ,
Êðàôò, Ëåíñòðà è Ëåéëàíä ðàñøèôðîâàëè ýòó ôðàçó.
×èñëà p è q îêàçàëèñü ðàâíû
p = 349052951084765094914784961990389813341776463
8493387843990820577,
q = 327691329932667095499619881908344614131776429
67992942539798288533.
Âîîáðàçèòå, ÷òî âàì íóæíî ïîëó÷èòü çàøèôðîâàííîå
ñîîáùåíèå îò âàøåãî äðóãà, íî âû ñ íèì íå äîãîâîðèëèñü
çàðàíåå, êàêèì øèôðîì áóäåòå ïîëüçîâàòüñÿ. Êàê áûòü?
Ñóùåñòâóåò ëè òàêîé ìåòîä øèôðîâàíèÿ, ÷òî åãî ìîæíî
ñîîáùèòü âñåìó ìèðó (â òîì ÷èñëå è âàøåìó äðóãó, è
âðàãàì), íî ýòî íå äàñò âðàãàì âîçìîæíîñòè ðàñøèôðîâàòü ñîîáùåíèå?
Ýòî áûë áû çàìå÷àòåëüíûé øèôð: â îòëè÷èå îò ñòàðûõ
øèôðîâ, ãäå ãëàâíûé ñåêðåò – êëþ÷, çíàíèå êîòîðîãî
ïîçâîëÿåò è çàøèôðîâûâàòü, è ðàñøèôðîâûâàòü ñîîáùåíèÿ, íîâûé øèôð – «ñ îòêðûòûì êëþ÷îì»: êàæäûé ìîæåò
çàøèôðîâûâàòü, íî òîëüêî àâòîð øèôðà ìîæåò ðàñøèôðîâàòü ïîëó÷àåìûå ñîîáùåíèÿ.
 êíèãå «Ââåäåíèå â êðèïòîãðàôèþ» (Ì., ÌÖÍÌÎ,
1998 ã.) ñêàçàíî: «Ýòîò çàìå÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò (ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè 129-çíà÷íîãî ÷èñëà) áûë äîñòèãíóò
áëàãîäàðÿ èñïîëüçîâàíèþ àëãîðèòìà ðàçëîæåíèÿ ÷èñåë
íà ìíîæèòåëè, íàçûâàåìîãî ìåòîäîì êâàäðàòè÷íîãî ðåøåòà. Âûïîëíåíèå âû÷èñëåíèé ïîòðåáîâàëî êîëîññàëüíûõ ðåñóðñîâ.  ðàáîòå, âîçãëàâëÿâøåéñÿ ÷åòûðüìÿ àâòîðàìè ïðîåêòà è ïðîäîëæàâøåéñÿ ïîñëå ïðåäâàðèòåëüíîé
òåîðåòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè ïðèìåðíî 220 äíåé, íà äîáðîâîëüíûõ íà÷àëàõ ó÷àñòâîâàëî îêîëî 600 ÷åëîâåê è ïðèìåðíî 1600 êîìïüþòåðîâ, îáúåäèíåííûõ ñåòüþ Internet.»
Ê ñîæàëåíèþ, ðàññêàç î ìåòîäå êâàäðàòè÷íîãî ðåøåòà
óâåë áû íàñ äàëåêî â ñòîðîíó îò îñíîâíîé òåìû. Ïîòîìó
îñòàâèì åãî äî ëó÷øèõ âðåìåí, à çäåñü îáñóäèì îñíîâíóþ
èäåþ ñèñòåìû RSA (ïî ïåðâûì áóêâàì ôàìèëèé àâòîðîâ:
Rivest, Shamir, Adleman).
Èäåÿ î÷åíü êðàñèâà. Âî-ïåðâûõ, çíàÿ p è q, ìîæíî
íàéòè ϕ pq = (p – 1)(q – 1). Âî-âòîðûõ (è ýòî ãëàâíîå!),
åñëè
Øèôð RSA
ef = 1 + kϕ pq ,
Øèôðû ñ îòêðûòûì êëþ÷îì
Íà âîïðîñ, ÷òî îí íàïèñàë â øèôðîâêå,
Øòèðëèö îòâåòèë: «Íå ïîìíþ.
Òåïåðü ýòî çíàåò òîëüêî Öåíòð.»
...Òàê íà÷àëèñü íåîáû÷àéíûå ñîáûòèÿ,
êîòîðûå âîâëåêëè â ñâîé êðóãîâîðîò íåìàëî ëþäåé.
Å.Âåëòèñòîâ
Ñêîðåå âñåãî, øèôð ñ îòêðûòûì êëþ÷îì óæå èçîáðåòåí!
 1978 ãîäó òðè ìàòåìàòèêà – Ðèâåñò, Øàìèð è Àäëåìàí
– çàøèôðîâàëè íåêîòîðóþ àíãëèéñêóþ ôðàçó è ïîîáåùàëè íàãðàäó â 100$ ïåðâîìó, êòî ðàñøèôðóåò ñîîáùåíèå
y = 968696137546220614771409222543558829057599911
2457431987469512093081629822514570835693147662288
3989628013391990551829945157815154.
Îíè ïîäðîáíî îáúÿñíèëè ñïîñîá øèôðîâàíèÿ. Ñíà÷àëà
ôðàçó áåñõèòðîñòíî (a = 01, b = 02, c = 03,..., z = 26,
ïðîáåë = 00) çàïèñàëè â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè öèôð.
4*
b g
b g
ãäå e, f, k – íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà x,
âçàèìíî ïðîñòîãî ñ pq, ïî òåîðåìå Ýéëåðà èìååì
x
ef
e j
= x⋅ x
b g
k ϕ pq
≡ x ⋅1 = x
bmod pqg .
Âû ïîíÿëè, ÷òî òàêîå e è f? Â íàøåì ïðèìåðå e = 9007
(åäèíñòâåííîå îáÿçàòåëüíîå ìàòåìàòè÷åñêîå òðåáîâàíèå ê
÷èñëó e – åãî âçàèìíàÿ ïðîñòîòà ñ ÷èñëîì (p – 1)(q – 1);
âïðî÷åì, áðàòü e = 1 èëè e = (p – 1)(q – 1) – 1 âðÿä ëè
ðàçóìíî, åñëè õîòèòå ñîõðàíèòü ñåêðåòû). À ÷èñëî f, êàê
óæå áûëî ñêàçàíî, – ðåøåíèå ñðàâíåíèÿ
ef ≡ 1
dmod ϕb pqgi .
(Â Ïðèëîæåíèè ðàññêàçàíî, êàê àëãîðèòì Åâêëèäà ïîçâîëÿåò ðåøàòü òàêèå ñðàâíåíèÿ.)
ÊÂÀÍT 2000/¹1
16
Ñðàâíåíèÿ
f
y ≡x
ef
≡x
bmod pqg
ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ x äîñòàòî÷íî íàéòè
f
îñòàòîê îò äåëåíèÿ y íà pq. (×èñëà âûáðàíû òàê, ÷òî
x < pq. Ïðè ýòîì x íå êðàòíî íè p, íè q. Íå ïîäóìàéòå,
÷òî ýòî âñåðüåç íàñ îãðàíè÷èâàåò: åñëè p è q – áîëüøèå
÷èñëà, òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî x íàöåëî ðàçäåëèòñÿ íà
p èëè q, ïðåíåáðåæèìî ìàëà. Êðîìå òîãî, ìîæíî ïðåäóñìîòðåòü â àëãîðèòìå, ÷òîáû â ñëó÷àå ÷åãî ñîîáùåíèå
x áûëî àâòîìàòè÷åñêè êàê-òî òàê ÷óòü-÷óòü èçìåíåíî,
áåç èçìåíåíèÿ åãî ñìûñëà, ÷òî x è pq ñòàíóò âçàèìíî
ïðîñòû.)
Ïî÷åìó ìíîãèå íàäåþòñÿ, ÷òî øèôð RSA ÿâëÿåòñÿ
øèôðîì ñ îòêðûòûì êëþ÷îì? Äà ïîòîìó, ÷òî ÷èñëà pq è
e ìîæíî ñäåëàòü îáùåäîñòóïíûìè. Òîãäà çàøèôðîâàòü
ñîîáùåíèå ñìîæåò ëþáîé, ó êîãî åñòü êîìïüþòåð (è êàêàÿíèáóäü ïðîãðàììà, ïîçâîëÿþùàÿ âûïîëíÿòü äåéñòâèÿ ñ
ìíîãîçíà÷íûìè ÷èñëàìè). Ðàñøèôðîâàòü ñîîáùåíèå ëåãêî, åñëè ìû çíàåì ÷èñëî f. Íî åäèíñòâåííûé èçâåñòíûé
íûíå ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ÷èñëà f òðåáóåò íàõîæäåíèÿ
÷èñåë p è q, ò.å. ðàçëîæåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ pq íà ìíîæèòåëè. À ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è
ïîêà íåò (óäà÷à 1994 ãîäà íå â ñ÷åò: åñëè áû â ÷èñëàõ p è
q áûëî íå 64 è 65, à õîòÿ áû ïî 300 öèôð, òî è ðåñóðñîâ
ñåòè Internet íå õâàòèëî áû!). Âïðî÷åì, íåò ñåé÷àñ è
äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî íèêòî íèêîãäà íå íàó÷èòñÿ
áûñòðî (ìàòåìàòèê ñêàçàë áû: «çà âðåìÿ, ïîëèíîìèàëüíîå
îò êîëè÷åñòâà öèôð») ðàçëàãàòü ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè.
Óïðàæíåíèå 43 (Ì1086). Ñ ÷èñëîì ðàçðåøåíî ïðîèçâîäèòü
äâå îïåðàöèè: «óâåëè÷èòü â 2 ðàçà» è «óâåëè÷èòü íà 1». Çà êàêîå
íàèìåíüøåå ÷èñëî îïåðàöèé ìîæíî èç ÷èñëà 0 ïîëó÷èòü ÷èñëî
à) 100; á) 9907; â) n, åñëè â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ n èìååò
âèä a m a m −1 K a1a 0 ?
Àëãîðèòì Åâêëèäà
Àëãîðèòì Åâêëèäà – ýòî ñïîñîá îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî
äåëèòåëÿ, îñíîâàííûé íà ôîðìóëå
ÍÎÄ(a,b) = ÍÎÄ(a – bq, b),
êîòîðàÿ âåðíà äëÿ ëþáûõ öåëûõ ÷èñåë a, b, q. (Äîêàæèòå ýòó
ôîðìóëó!) Ïîäðîáíî î íåì ðàññêàçàíî â ñòàòüå Í.Âàñèëüåâà
«Àëãîðèòì Åâêëèäà è îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè» (Ïðèëîæåíèå ê æóðíàëó «Êâàíò» ¹ 6 çà 1998 ãîä). Ñîáñòâåííî ãîâîðÿ,
íàì íóæåí äàæå íå àëãîðèòì Åâêëèäà, à îñíîâàííûé íà íåì
ñïîñîá ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
Èòàê, äàíû äâà âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñëà e è m (â èíòåðåñîâàâøåì íàñ ñëó÷àå m = ϕ pq , íî çäåñü ýòî íå âàæíî). Íóæíî íàéòè
òàêèå ÷èñëà f è k, ÷òî
b g
ef = 1 + km.
Åñëè áû m áûëî íå î÷åíü áîëüøèì, òî ìîæíî áûëî áû âûïîëíèòü
ïîëíûé ïåðåáîð âñåõ m îñòàòêîâ. Íî åñëè m áîëüøîå, òî ïåðåáîð
íåðåàëåí. Îêàçûâàåòñÿ, àëãîðèòì Åâêëèäà ïîçâîëÿåò áûñòðî
ðåøàòü ýòó çàäà÷ó.
×òîáû îáúÿñíèòü, êàê îí ðàáîòàåò, ðàññìîòðèì ïðèìåð: e =
= 9007, m = 19876. (Ìû õîòåëè âçÿòü ñòî-ñ-ëèøíèì-çíà÷íîå
÷èñëî m, íî â ïîñëåäíèé ìîìåíò ñòðóñèëè.) Óðàâíåíèå
9007f = 1 + 19876k
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
9007f = 1 + 9007 ⋅ 2k + 1862k,
Ïðèëîæåíèå
ò.å.
Êàê âîçâîäèòü â áîëüøóþ ñòåïåíü?
9007(f – 2k) = 1 + 1862k.
×òîáû âîçâåñòè ÷èñëî x â 9007-þ ñòåïåíü, ïî îïðåäåëåíèþ,
äîñòàòî÷íî âûïîëíèòü 9006 óìíîæåíèé. Íî ìîæíî îáîéòèñü è
2
d i
ìåíüøèì ÷èñëîì îïåðàöèé: âû÷èñëèòü x , x2
8
FH
= x ,..., x
2048
IK
2
= x
4096
FH
, íàêîíåö, x
âàòüñÿ ôîðìóëîé
x
9007
2
4
8
=x⋅x ⋅x ⋅x ⋅x
32
4096
⋅x
256
IK
2
⋅x
= x
2
4
FH IK
= x , x
8192
4
2
Îáîçíà÷èì a = f – 2k. Òîãäà
9007a = 1 + 1862k.
=
è âîñïîëüçî-
Çàìåòüòå: ïîëó÷èëîñü óðàâíåíèå òîãî æå òèïà, ÷òî è èñõîäíîå,
òîëüêî êîýôôèöèåíòû ñòàëè ìåíüøå. Òåïåðü ñëåäóþùèé øàã:
,
ò.å.
1862 ⋅ 4a + 1559a = 1 + 1862k,
512
⋅x
8192
êîòîðàÿ îñíîâàíà íà òîì, ÷òî â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ 9007
èìååò âèä
9007 10 = 100011001011112 .
Ïîíèìàåòå? Ìû ðàçëîæèëè 9007 â ñóììó 1 + 2 + 4 + 8 + 32 +
+ 256 +512 + 8192 è ñìîãëè ñèëüíî ñýêîíîìèòü: îáîøëèñü 13-þ
âîçâåäåíèÿìè â êâàäðàò íà ïåðâîì ýòàïå âû÷èñëåíèé è 7-þ
óìíîæåíèÿìè íà âòîðîì ýòàïå. Âñåãî 20 óìíîæåíèé âìåñòî 9006.
Îãðîìíàÿ ýêîíîìèÿ! (Äëÿ ïðèäèð÷èâîãî ÷èòàòåëÿ îòìåòèì, ÷òî
âûøå ñëåäîâàëî áû ãîâîðèòü íå îá óìíîæåíèÿõ, à îá óìíîæåíèÿõ ïî ìîäóëþ pq: äàáû êîëè÷åñòâî öèôð íå ðîñëî êàòàñòðîôè÷åñêè, ìû âñÿêèé ðàç äîëæíû íå òîëüêî ïåðåìíîæàòü, íî è áðàòü
îñòàòîê îò äåëåíèÿ íà pq. Íî ñåé÷àñ ðàçãîâîð íå îá ýòîì.)
Ïðåèìóùåñòâà èçëîæåííîãî ìåòîäà âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü òåì
íàãëÿäíåå, ÷åì áîëüøå ïîêàçàòåëü ñòåïåíè. Íàïðèìåð, åñëè
ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ñîñòîèò íå èç ÷åòûðåõ öèôð, êàê 9007, à èç
íåñêîëüêèõ äåñÿòêîâ èëè ñîòåí öèôð, òî íàèâíûé ñïîñîá íå òî
÷òî óòîìèòåëåí, à íåîñóùåñòâèì íè íà êàêèõ, äàæå ñàìûõ
ìîùíûõ, êîìïüþòåðàõ. À îñíîâàííûé íà äâîè÷íîé ñèñòåìå –
ðàáîòàåò è â òàêîé ñèòóàöèè!
1559a = 1 + 1862(k – 4a).
Îáîçíà÷èì k – 4a = b, òîãäà
1559a = 1 + 1862b.
Äàëåå,
1559(a – b) = 1 + 303b.
Îáîçíà÷èâ a – b = c, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
1559c = 1 + 303b.
Äàëüøå – òàê æå:
44c = 1 + 303(b – 5c), d = b – 5c, 44c = 1 + 303d;
44(c – 6d) = 1 +39d, x = c – 6d, 44x = 1 + 39d;
5x = 1 + 39(d – x), y = d – x, 5x = 1 + 39y.
Ìàøèíà ïðîäîëæèëà áû âû÷èñëåíèÿ äàëüøå, ïîêà êîýôôèöèåíò ïðè îäíîé èç íåèçâåñòíûõ íå ñòàë áû ðàâåí 1. À ìû
îñòàíîâèìñÿ óæå çäåñü: î÷åâèäíî, x = 8, y = 1 – îäíî èç ðåøåíèé
Îêîí÷àíèå ñì. íà ñ. 37
ØÊÎËÀ
øòóê â êóáè÷åñêîì ìåòðå, íî âñå îíè
îäèíàêîâû è íàõîäÿòñÿ â ñðåäíåì íà
îäíîì è òîì æå ðàññòîÿíèè äðóã îò
äðóãà — ïîðÿäêà 1 3 N . È â ðåçóëüòàòå íàéäåì íåêîòîðóþ ýôôåêòèâíóþ,
èëè ñðåäíåîáúåìíóþ, äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü òàêîé ïóçûðüêîâîé æèäêîñòè. Íî äàæå ýòó ñêðîìíóþ
ïðîãðàììó âûïîëíèòü íå î÷åíü ëåãêî,
äà ýòî è íå îáÿçàòåëüíî äåëàòü ñåé÷àñ
äî êîíöà – íà îñíîâå äâóõ ðàññìîòðåííûõ âûøå ïðèìåðîâ ÿñíî, ÷òî ðåçóëüòàò áóäåò çàâèñåòü îò ñóììàðíîãî îáúåìà ïóçûðüêîâ, ïîïàâøèõ â êîíäåíñàòîð, è ÷òî âðåìåííáÿ çàâèñèìîñòü òîêà
áóäåò ñêîðåå âñåãî èíîé, ÷åì â óïîìÿíóòûõ ïðèìåðàõ.
À ÷òî åùå ìû íå ó÷ëè â ýòèõ ñëó÷àÿõ? Ìíîãîå. Íàïðèìåð, ÷òî äèýëåêòðèê âòÿãèâàåòñÿ â êîíäåíñàòîð. Ýòî
çíà÷èò, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå «ñíàðÿäíîãî» òå÷åíèÿ ãàçîâûé ïóçûðü, ïîïàâøèé â êîíäåíñàòîð, áóäåò ñæèìàòüñÿ
ñëåâà è ñïðàâà äâóìÿ ïðîáêàìè æèäêîñòè. Òî æå ñàìîå áóäåò ïðîèñõîäèòü è
ñ ïóçûðüêîâîé æèäêîñòüþ, åñëè ñóììàðíûé îáúåì ïóçûðüêîâ áóäåò íåïîñòîÿíåí â ïðîñòðàíñòâå, òàê ÷òî äâè-
Â
«ÊÂÀÍÒÅ»
æåíèå òàêîé ãàçîæèäêîñòíîé ñìåñè â
êîíäåíñàòîðå íå áóäåò ðàâíîìåðíûì.
Äàëåå, â ðåàëüíîñòè ñóùåñòâóåò ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäîâ è âíóòðåííåå
ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ.
Åñëè èõ ñóììà ðàâíà r, òî ðàçíîñòü
ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà çàïèøåòñÿ â âèäå
q
>C
C t
>C
= U − rI t
è óæå íå áóäåò ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé.
À åñëè ó÷åñòü åùå èíäóêòèâíîñòü öåïè
L è ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ÝÄÑ ñàìîèídI
äóêöèè −L
, òî çàêîí Êèðõãîôà
dt
äàñò ñòðàøíîå äèôôåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå äëÿ çàðÿäà:
2
d q
2
+r
dq
Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà
(Íà÷àëî ñì. íà ñ. 9)
ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ. Çíàÿ x è y, ëåãêî íàõîäèì
d = x + y = 9, c = x + 6d = 62, b = d + 5c = 319,
a = b + c = 381, k = b + 4a = 1843, f = a + 2k = 4067.
Ïîáåäà! ×èñëà k è f íàéäåíû! (Ïðîâåðêà: 9007 ⋅ 4067 =
= 36631469 = 1 + 19876 ⋅ 1843.)
Óïðàæíåíèå 44* (äëÿ òåõ, êòî î÷åíü ëþáèò ïðîãðàììèðîâàòü). à) Íàéäèòå ÷èñëî f, êîòîðîå íàøëè Àòêèíñ, Êðàôò,
Ëåíñòðà è Ëåéëàíä. á) Ðàñøèôðóéòå ôðàçó, çàøèôðîâàííóþ â
1978 ãîäó Ðèâåñòîì, Øàìèðîì è Àäëåìàíîì.
×òî äàëüøå?
×òî îñòàåòñÿ îò ñêàçêè ïîòîì,
Ïîñëå òîãî, êàê åå ðàññêàçàëè?
Â.Âûñîöêèé
Ïîäûòîæèì.  ïåðâîé ÷àñòè ñòàòüè ìû äîêàçàëè ìàëóþ
òåîðåìó Ôåðìà è åå îáîáùåíèå – òåîðåìó Ýéëåðà. Ðàññêàçàëè î ïðàêòè÷åñêîì ïðèìåíåíèè òåîðåìû Ýéëåðà â êðèïòîãðàôèè. Ïðàâäà, îñòàëîñü òàéíîé, îòêóäà âçÿëèñü ÷èñëà p, q
(òî÷íåå ãîâîðÿ, êàê ìîæíî êîíñòðóèðîâàòü áîëüøèå – â
íåñêîëüêî äåñÿòêîâ èëè ñîòåí öèôð – ïðîñòûå ÷èñëà).
Âî âòîðîé ÷àñòè ìû ðàññêàæåì îá îñíîâàííûõ íà ìàëîé
òåîðåìå Ôåðìà ìåòîäàõ êîíñòðóèðîâàíèÿ áîëüøèõ ïðîñòûõ
÷èñåë. Ðàññêàæåì è î ÷èñëàõ Êàðìàéêëà, èñòîðèÿ êîòîðûõ
+
q
=U,
dt C t
dt
êîòîðîå îïèñûâàåò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ. Ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå ñëîæíî,
òàê êàê åìêîñòü êîíäåíñàòîðà èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì (â ýòîì-òî è ñîñòîèò
ñóòü ìåòîäà), íî ìîæíî îæèäàòü, ÷òî
íà âûøåíàðèñîâàííûå êðèâûå çàâèñèìîñòè çàðÿäà è òîêà îò âðåìåíè íàëîL
>C
37
æàòñÿ «ãàðìîøêè» êîëåáàíèé (ñì.
ðèñ.2, òî÷å÷íûå êðèâûå).
Êðîìå òîãî, ìîæíî ïðåäëîæèòü è
äðóãóþ ñõåìó èçìåðåíèé. Íàïðèìåð,
çàðÿäèòü êîíäåíñàòîð îò êàêîãî-ëèáî
èñòî÷íèêà, çàòåì îòêëþ÷èòü ïîñëåäíèé
è ñîõðàíÿòü íà ïëàñòèíàõ ïîñòîÿííûé
çàðÿä (âîò òóò-òî è ïðèãîäèòñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëàÿ ýëåêòðîïðîâîäíîñòü
æèäêîñòè). Òîãäà ïðè ïðîõîæäåíèè
÷åðåç êîíäåíñàòîð æèäêîñòè ñ ðàçëè÷íûì ñîäåðæàíèåì ãàçà â ïóçûðüêàõ
áóäåò èçìåíÿòüñÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ïëàñòèíàìè. Òàêèå ïðèáîðû ñóùåñòâóþò è íàçûâàþòñÿ åìêîñòíûìè äàò÷èêàìè.
Íàäî ïðèçíàòüñÿ, ÷òî òàêèìè ñïîñîáàìè ìû íàéäåì òîëüêî ñóììàðíûé
îòíîñèòåëüíûé îáúåì ãàçîâîé ôàçû, à
íå êîíöåíòðàöèþ ïóçûðüêîâ. Íå õóäî
áûëî áû îïðåäåëèòü êàê-íèáóäü è èõ
ñðåäíèé ðàçìåð. Íóæíî, ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçîâàòü åùå êàêèå-òî ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ è ïðèáîðû (íàïðèìåð,
îïòè÷åñêèå)... Òàê ÷òî, ïðåæäå ÷åì
îòêðûòü áóòûëêó íàðçàíà, ïîäóìàéòå
î ÷èñëå ïóçûðüêîâ è çàêîíàõ ôèçèêè.
È – ïðèÿòíîãî àïïåòèòà!
íà÷àëàñü â äðåâíîñòè, à ñóùåñòâîâàíèå áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà êîòîðûõ äîêàçàíî â 1994 ãîäó.
Ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà íå îáÿçàòåëüíî äîêàçûâàòü èìåííî
òàê, êàê ýòî ñäåëàíî âûøå. Âî âòîðîé ÷àñòè ìû èçëîæèì
äðóãèå ñïîñîáû. Îäèí èç íèõ ïðèâåäåò ê òåîðåìå î ñóùåñòâîâàíèè ïåðâîîáðàçíîãî êîðíÿ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ è äàëåå –
ê òåîðåìå î ñòðîåíèè ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïû âû÷åòîâ ïî
(íå îáÿçàòåëüíî ïðîñòîìó) ìîäóëþ n.
×òîáû âû ëó÷øå îöåíèëè ñèëó ðåçóëüòàòîâ âòîðîé ÷àñòè
ñòàòüè, ïîäóìàéòå íàä ñëåäóþùèìè çàäà÷àìè. Âñå îíè áóäóò
ðåøåíû âî âòîðîé ÷àñòè. Íå îãîð÷àéòåñü äàæå â òîì ñëó÷àå,
åñëè íè îäíà èç íèõ íå ïîëó÷èòñÿ: ýòî íå óïðàæíåíèÿ, à
äîâîëüíî òðóäíûå çàäà÷è!
Çàäà÷è
1. Ñóùåñòâóåò ëè òàêîå ñîñòàâíîå ÷èñëî n (÷èñëî Êàðìàéêëà), ÷òî äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà a ðàçíîñòü an – a êðàòíà
n?
n
2. Íè äëÿ êàêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n ÷èñëî 2 + 1 íå
êðàòíî n + 1. Äîêàæèòå ýòî.
3. Åñëè 2n + 1 êðàòíî n, òî n = 1 èëè n êðàòíî 3. Äîêàæèòå
ýòî.
4. Äëÿ êàêèõ n ÷èñëà 1, 2,...
..., n – 1 ìîæíî ðàññòàâèòü âäîëü
îêðóæíîñòè òàê, ÷òîáû äëÿ ëþ- #
!
áûõ ïîäðÿä èäóùèõ ÷èñåë a, b, c
ðàçíîñòü b2 – ac áûëà êðàòíà n?
(Íà ðèñóíêàå 2 èçîáðàæåí ñëó÷àé n = 7.)
5. Äëÿ êàêèõ ïðîñòûõ ÷èñåë "
p ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå ÷èñëî
a, ÷òî a4 + a3 + a2 + a + 1 êðàòíî
p?
$
Ðèñ. 2