Автореферат - Математический институт им. В. А. Стеклова РАН

Ðîññèéñêàÿ Àêàäåìèèÿ íàóê
Ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòèòóò èìåíè Â. À. Ñòåêëîâà
Íà ïðàâàõ ðóêîïèñè
ÓÄÊ 511.321+ 511.218
Øòåéíèêîâ Þðèé Íèêîëàåâè÷
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñóììû ïî ïîäãðóïïàì
è çàäà÷è äåëèìîñòè ÷àñòíûõ Ôåðìà.
01.01.06 ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà,
àëãåáðà è òåîðèÿ ÷èñåë
ÀÂÒÎ ÐÅÔÅÐÀÒ
äèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè
êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê
Ìîñêâà 2015
Àêòóàëüíîñòü òåìû
Íàñòîÿùàÿ äèññåðòàöèÿ ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ îöåíîê òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì
ïî ïîäãðóïïàì, èõ ïðèëîæåíèÿì ê çàäà÷àì äåëèìîñòè ÷àñòíûõ Ôåðìà è ñâîéñòâàì ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòîâ ïîëóãðóïï íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ïîñòàíîâêè çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ
îöåíêàìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ïî ïîäãðóïïàì áåðóò íà÷àëî èç ðàáîò Ê. Ãàóññà, Ã.Ã.
Õàðäè, Äæ.Å. Ëèòòëâóäà. Âïîñëåäñòâèè ýòîé çàäà÷åé çàíèìàëèñü òàêèå èçâåñòíûå ìàòåìàòèêè êàê À.À. Êàðàöóáà, È.Å. Øïàðëèíñêèé, Ä.Ð. Õèô-Áðàóí, Ñ.Â. Êîíÿãèí, Æ.
Áóðãåéí, È.Ä. Øêðåäîâ è äðóãèå ñïåöèàëèñòû. Ýòîé è ñõîäíûì çàäà÷àì ïîñâÿùåí ðÿä
ðàáîò êàê â Ðîññèè, òàê è çà ðóáåæîì.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñóììû ïî ïîäãðóïïàì ìîãóò áûòü âûðàæåíû ÷åðåç òàê íàçûâàåìûå ñóììû Ãàóññà. Èõ ïðîèñõîæäåíèå ñâÿçàíî ñ êëàññè÷åñêèì ðåçóëüòàòîì Ê. Ãàóññà î
2
P
2πi xq
1
. Â ðàáîòå Ã.Ã. Õàðäè è Äæ. Å. Ëèòëëâóäà , áû0≤x≤q−1 e
ëè óñòàíîâëåíû íåòðèâèàëüíûå ïî ïîðÿäêó îöåíêè òàêèõ ñóìì äëÿ ïîäãðóïï ìåíüøåãî
òî÷íîì çíà÷åíèè âåëè÷èí
ðàçìåðà. Îöåíêà ìîäóëÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñóììû ïî ïîäãðóïïå ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà
ñ èñïîëüçîâàíèåì îöåíîê êîëè÷åñòâà ðåøåíèé ñïåöèàëüíûõ ñðàâíåíèé.  ñîâìåñòíîé ðà-
2
áîòå Ä. Ð. Õèô-Áðàóíà è Ñ.Â. Êîíÿãèíà
áûëà ïîëó÷åíà íåòðèâèàëüíàÿ îöåíêà íà ÷èñëî
ðåøåíèé îïðåäåëåííîãî ñðàâíåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà Ñ.À. Ñòåïàíîâà. Ïîçæå â
3
4
5
ðàáîòàõ Ñ.Â. Êîíÿãèíà , Þ.Â. Ìàëûõèíà , Á. Æîó , È.Ä. Øêðåäîâà
678
áûëî ïîëó÷åíî
ñóùåñòâåííîå ðàçâèòèå ýòîãî ìåòîäà äëÿ çàäà÷è îá îöåíêå ìîäóëÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîé
ñóììû è äðóãèõ ïðèëîæåíèé.
Èñïîëüçóÿ ïîäõîä È. Ä. Øêðåäîâà â åãî ïîñëåäíèõ ðàáîòàõ, â ïåðâîé ãëàâå ïîëó÷åíà
íîâàÿ îöåíêà êîëè÷åñòâà ðåøåíèé ñïåöèàëüíîãî ñðàâíåíèÿ. Ýòî îñíîâíîé ðåçóëüòàò
ïåðâîé ãëàâû, èç êîòîðîãî ïîëó÷àþòñÿ íîâûå âåðõíèå îöåíêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì
α
ïî ïîäãðóïïàì â ïîëå âû÷åòîâ ïðîñòîãî ïîðÿäêà, êîãäà ðàçìåð ïîäãðóïïû åñòü p è α
ëåæèò â îêðåñòíîñòè
1/3.
 äèññåðòàöèè òàêæå èññëåäóþòñÿ çàäà÷è î äåëèìîñòè ÷àñòíûõ Ôåðìà íà ïðîñòîå
è êâàäðàò ïðîñòîãî ÷èñëà. Äàííîå ñâîéñòâî èìååò íåêîòîðûå òåîðåòèêî-÷èñëîâûå ïðè-
9 10
ëîæåíèÿ
. Ïåðâûå ðåçóëüòàòû â çàäà÷å äåëèìîñòè ÷àñòíîãî Ôåðìà íà ïðîñòîå ÷èñëî
9
11
ïîÿâèëèñü â ðàáîòàõ Õ. Ëåíñòðû , Ý. Ãðýíâèëÿ
. Ñ èñïîëüçîâàíèåì òðèãîíîìåòðè÷å-
1
Hardy G.H., Littlewood J.E. Some problems of "Partitio Numerorum": IV The singular series in
Waring's problem, Math. Z. 12 (1922), 161-188.
2 Heath-Brown D. R., Konyagin S. V. New bounds for Gauss sums derived from kth powers, and for
Heilbronn's exponential sum, Q. J. Math., 51:2 (2000), 221235.
3 Êîíÿãèí Ñ. Â. Îöåíêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ïî ïîäãðóïïàì è ñóìì Ãàóññà, IV Ìåæäóíàðîäíàÿ
êîíôåðåíöèÿ Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû òåîðèè ÷èñåë è åå ïðèëîæåíèÿ, ïîñâÿùåííàÿ 180-ëåòèþ Ï. Ë.
×åáûøåâà è 110-ëåòèþ È. Ì. Âèíîãðàäîâà: Àêòóàëüíûå ïðîáëåìû ÷. III, ÌÃÓ, ìåõìàò 2002, ñòð. 86114.
4 Ìàëûõèí Þ.Â. Îöåíêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ïî ìîäóëþ p2 , Ôóíäàìåíò. è ïðèêë. ìàòåì.,
11:6 (2005),c. 8194.
5 Zhou B. A note on exponential sums over subgroups of Z∗ and their applications, J. Number Theory,
p2
130:11 2010, p. 24672479.
6 Shkredov I.D. On Heilbronn's exponential sum, Q. J. Math., 64:4, 2013, p. 12211230.
7 Shkredov I.D. Some new inequalities in additive combinatorics, Moscow journal of combinatorics and
number theory 3, 2013 p. 189239.
8 Shkredov I.D. On exponential sums over multiplicative subgroups of medium size, Finite elds and
applications, 30, 2014, p. 7287.
9 Lenstra H.W. Miller's primality test, Inform. Process. Lett. 8 (1979), 8688.
10 Granville A. Some conjectures related to Fermat's last theorem, Number theory (Ban, 1988)pp.177
192, de Gruyter, New York, 1990
11 Granville A. On pairs of coprime integers with no large prime factors, Expos. Math., 9(1991), p.
1
ñêèõ ñóìì è êîìáèíàòîðíûõ èäåé â ðàáîòå Æ. Áóðãåéíà, Ñ.Â. Êîíÿãèíà, Ê. Ôîðäà, È.Å.
12
Øïàðëèíñêîãî
áûëè ïîëó÷åíû ñóùåñòâåííûå ïðîäâèæåíèÿ â ýòîé çàäà÷å.  äèññåðòà12
öèè áóäåò óñèëåíà îäíà èç òåîðåì ýòîé ðàáîòû .
Öåëü ðàáîòû:
ïîëó÷åíèå îöåíîê òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ïî ïîäãðóïïàì è ñâÿçàííûõ ñ íèìè
íåêîòîðûõ âåëè÷èí;
ïîëó÷åíèå íîâûõ îöåíîê íàèìåíüøåãî ÷èñëà, íå îáëàäàþùåãî ñâîéñòâîì äåëèìîñòè
÷àñòíîãî Ôåðìà íà ïðîñòîå ÷èñëî, çà èñêëþ÷åíèåì ìíîæåñòâà ïðîñòûõ îòíîñèòåëüíîé
íóëåâîé ïëîòíîñòè;
ïîëó÷åíèå îöåíîê êîëè÷åñòâà ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ çàäàííîãî, âû÷åòû ïî äâóì
ìîäóëÿì êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò äâóì ôèêñèðîâàííûì ìíîæåñòâàì;
èçó÷åíèå ðàñïðåäåëåíèÿ íà êîðîòêèõ èíòåðâàëàõ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâ íàòóðàëüíûõ
÷èñåë, çàìêíóòûõ îòíîñèòåëüíî îïðåðàöèè óìíîæåíèÿ.
Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ
 ðàáîòå èñïîëüçóþòñÿ ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ìåòîäîì Ñ.À. Ñòåïàíîâà, ëèíåéíàÿ
àëãåáðà, ðåçóëüòàòû î ðàñïðåäåëåíèè ãëàäêèõ ÷èñåë, íåêîòîðûå êîìáèíàòîðíûå èäåè.
Òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ öåííîñòü
Äèññåðòàöèÿ íîñèò òåîðåòè÷åñêèé õàðàêòåð. Åå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû
ïðè èññëåäîâàíèè ðàñïðåäåëåíèÿ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ.
Íàó÷íàÿ íîâèçíà
Äîêàçàííûå ðåçóëüòàòû ÿâëÿþòñÿ íîâûìè, ïîëó÷åííûìè àâòîðîì ñàìîñòîÿòåëüíî.
Îñíîâíûìè ðåçóëüòàòàìè äàííîé ðàáîòû ìîæíî ñ÷èòàòü ñëåäóþùèå:
•
Ïîëó÷åíû íîâûå îöåíêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ïî ïîäãðóïïàì â ïîëå âû÷åòîâ
ïðîñòîãî ïîðÿäêà, ðàçìåð êîòîðûõ åñòü ïðèáëèçèòåëüíî êóáè÷åñêèé êîðåíü èç ïðîñòîãî ÷èñëà. (òåîðåìû 4, 5);
•
Ïîëó÷åíà íîâàÿ âåðõíÿÿ îöåíêà íà ïåðâîå ÷èñëî, íå îáëàäàþùåãî ñâîéñòâîì äåëèìîñòè ÷àñòíîãî Ôåðìà íà ïðîñòîå ÷èñëî, çà èñêëþ÷åíèåì ìíîæåñòâà ïðîñòûõ
îòíîñèòåëüíîé íóëåâîé ïëîòíîñòè. (òåîðåìà 15);
•
Ïîëó÷åíû îöåíêè êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ ïîëóãðóïï íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íà êîðîòêèõ
îòðåçêàõ ñ çàäàííûì ñòåïåííûì ðàñïðåäåëåíèåì íà áîëüøèõ èíòåðâàëàõ. (òåîðåìà
10).
335350.
12 Bourgain J., Ford K., Konyagin S. , Shparlinskii I.
Michigan J. Math. 59, 2010 p. 313328.
2
On the divisibility of Fermat Quotients,
Äîñòîâåðíîñòü ðåçóëüòàòîâ
Îáîñíîâàííîñòü è äîñòîâåðíîñòü ðåçóëüòàòîâ è âûâîäîâ ïîäòâåæäåíà:
îáñóæäåíèåì ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèÿ íà ðîññèéñêèõ è ìåæäóíàðîäíûõ íàó÷íûõ
êîíôåðåíöèÿõ;
îáñóæäåíèåì ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèÿ íà ðàçëè÷íûõ íàó÷íûõ ñåìèíàðàõ;
ïóáëèêàöèÿìè ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèÿ â ðåöåíçèðóåìûõ íàó÷íûõ èçäàíèÿõ, ðåêîìåíäîâàííûõ ÂÀÊ ÐÔ.
Àïðîáàöèÿ ðàáîòû
Ðåçóëüòàòû íàñòîÿùåé äèññåðòàöèè äîêëàäûâàëèñü àâòîðîì íà ñëåäóþùèõ ñåìèíàðàõ
è ìåæäóíàðîäíûõ êîíôåðåíöèÿõ.
•
Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû òåîðèè ÷èñåë ïîä ðóêîâîäñòâîì Ñ.Â. Êîíÿãèíà è È.Ä.
Øêðåäîâà â Ìàòåìàòè÷åñêîì èíñòèòóòå èìåíè Â.À. Ñòåêëîâà;
•
Îðòîãîíàëüíûå ðÿäû ïîä ðóêîâîäñòâîì Á.Ñ. Êàøèíà, Ñ.Â. Êîíÿãèíà íà ìåõàíèêîìàòåìàòè÷åñêîì ôàêóëüòåòå Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà èìåíè
Ì.Â. Ëîìîíîñîâà;
•
ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ Êîìïüþòåðíàÿ àëãåáðà è èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè, Îäåññà, 2026 àâãóñòà 2012 ãîäà;
•
13-àÿ Âñåðîññèéñêàÿ ìîëîäåæíàÿ øêîëà-êîíôåðåíöèÿ Ëîáà÷åâñêèå ÷òåíèÿ 2014,
Êàçàíü, 24-29 îêòÿáðÿ 2014 ãîäà;
•
ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ Âîðîíåæñêàÿ çèìíÿÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ øêîëà. Ñîâðåìåííûå ìåòîäû òåîðèè ôóíêöèé è ñìåæíûå ïðîáëåìû, Âîðîíåæ, 27 ÿíâàðÿ 2
ôåâðàëÿ 2015 ãîäà;
•
ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ Àëãåáðà, òåîðèÿ ÷èñåë è äèñêðåòíàÿ ãåîìåòðèÿ: ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû è ïðèëîæåíèÿ, Òóëà, 2530 ìàÿ 2015 ãîäà;
•
XII Ìåæäóíàðîäíàÿ Êàçàíñêàÿ ëåòíÿÿ øêîëà-êîíôåðåíöèÿ Òåîðèÿ ôóíêöèé, åå
ïðèëîæåíèÿ è ñìåæíûå âîïðîñû Êàçàíü, 27 èþíÿ 4 èþëÿ 2015 ã.
Ïóáëèêàöèè
Ïî òåìå äèññåðòàöèè îïóáëèêîâàíî äåâÿòü ðàáîò, â òîì ÷èñëå òðè [1,3,4] - â èçäàíèÿõ èç
ñïèñêà, ðåêîìåíäîâàííîãî ÂÀÊ ÐÔ. Ñïèñîê ïóáëèêàöèé ïðèâåäåí â êîíöå àâòîðåôåðàòà.
Ñòðóêòóðà è îáúåì ðàáîòû
Äèññåðòàöèÿ èçëîæåíà íà 60 ñòðàíèöàõ è ñîñòîèò èç ââåäåíèÿ, ÷åòûðåõ ãëàâ è ñïèñêà
èñïîëüçîâàííûõ èñòî÷íèêîâ, âêëþ÷àþùåãî 37 íàèìåíîâàíèé.
3
Êðàòêîå ñîäåðæàíèå ðàáîòû
Ñîäåðæàíèå ãëàâû 1.
Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ïåðâîé ãëàâû ïîëó÷åíèå íîâûõ îöåíîê òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ
ñóìì ïî ïîäãðóïïàì ìóëüòèïëèêàòèâíûì ãðóïïû ïðîñòîãî ïîëÿ (òåîðåìû 4,5).
∗
Äëÿ íàòóðàëüíîãî q ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Zq := Z/qZ, à ÷åðåç Zq óñëîâèìñÿ
îáîçíà÷àòü ìíîæåñòâî îáðàòèìûõ ýëåìåíòîâ êîëüöà Zq , p äîñòàòî÷íî áîëüøîå ïðîñòîå
2πix/q
∗
÷èñëî, åñëè íå îãîâîðåíî îáðàòíîå. Äëÿ öåëîãî x îáîçíà÷èì eq (x) := e
. Ïóñòü Γ ⊆ Zq
- íåêîòîðàÿ ïîäãðóïïà ïî óìíîæåíèþ è t := |Γ|.
Îïðåäåëåíèå 1.
âåëè÷èíû S(a, Γ)
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ñóììàìè ïî ïîäãðóïïå Γ áóäóò íàçûâàòüñÿ
S(a, Γ) :=
X
ãäå a ∈ Z.
eq (ax),
(1)
x∈Γ
Âàæíîé çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâëåíèå íåòðèâèàëüíûõ ïî ïîðÿäêó âåðõíèõ îöåíîê
äëÿ
S(Γ) := maxa∈Z∗q |S(a, Γ)|:
S(Γ) = o(|Γ|), q → ∞.
Îïðåäåëåíèå 2.
Äëÿ íàòóðàëüíîãî k îáîçíà÷èì ÷åðåç Tk (Γ) âåëè÷èíó
|{(x1 , . . . , x2k ) ∈ Γ(2k) : x1 + . . . + xk = xk+1 + . . . + x2k }|.
Âåðõíèå îöåíêè äëÿ
S(Γ)
ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ñ èñïîëüçîâàíèåì îöåíîê äëÿ
(2)
Tk (Γ).
Èçâåñòíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1.
Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íàòóðàëüíûõ k, l ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:
1
S(Γ) ≤ (qTk (Γ)Tl (Γ)) 2kl t1−1/k−1/l .
Îöåíêè òàêîãî âèäà óñòàíîâëåíû È.Ì. Âèíîãðàäîâûì äëÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì
Âåéëÿ. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 ìîæíî íàéòè â êíèãå
13
. Ïðèâåäåì êðàòêèé îáçîð ïðåä-
øåñòâóþùèõ ðåçóëüòàòîâ.
∗
Ïóñòü Γ ⊆ Zp - ïîäãðóïïà ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïû ïîëÿ ïðîñòîãî ïîðÿäêà p
è t := |Γ|. Íà îñíîâàíèè ìåòîäà Ñ.À. Ñòåïàíîâà Ä.Ð. Õèô-Áðàóí è Ñ.Â. Êîíÿãèí
2
2/3
5/2
3
óñòàíîâèëè , ÷òî ïðè t < p
ñïðàâåäëèâà îöåíêà T2 (Γ) t
. Çàòåì Ñ.Â. Êîíÿãèí
ïîëó÷èë íåòðèâèàëüíûå îöåíêè äëÿ
Tk (Γ)
äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ
k > 1.
Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî m ñóùåñòâóåò òàêîå C(m), ÷òî äëÿ ëþáûõ
p, Γ òàêèõ, ÷òî t < p2/3 ïðè m = 2 è t < p1/2 ïðè m > 2, èìååò ìåñòî îöåíêà:
Òåîðåìà 2.
m−1
Tm (Γ) ≤ C(m)t2m−2+1/2
È.Ä. Øêðåäîâ
Òåîðåìà 3.
7
óñèëèë ýòîò ðåçóëüòàò äëÿ
m = 2.
.
Åãî ðåçóëüòàò ôîðìóëèðóåòñÿ òàê.
Ïðè t < p2/3 ñïðàâåäëèâà îöåíêà:
32
41
1
1
31
8
T2 (Γ) min(t 13 (log t) 65 , t3 p− 3 log t + p 26 t 13 (log t) 13 ).
13 Konyagin S., Shparlinskii I.
Cambridge, 1999.
Character sums with exponential functions, Cambridge University Press,
4
 ïåðâîé ãëàâå äèññåðòàöèè ïîëó÷åíà íîâàÿ îöåíêà äëÿ âåëè÷èíû
T3 (Γ). Ýòî îñíîâ-
íîé ðåçóëüòàò ïåðâîé ãëàâû. Òåîðåìà ôîðìóëèðóåòñÿ òàê.
Òåîðåìà 4.
Ïðè t < p1/2 cïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ îöåíêà:
3
T3 (Γ) t4 14 (log t)12/7 .
7
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4 èñïîëüçóåò èäåè èç ðàáîò È.Ä. Øêðåäîâà
è Ñ.Â.
3
Êîíÿãèíà . Èç ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïî òåîðåìå 1 ïîëó÷àþòñÿ íîâûå âåðõíèå îöåíêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ïî ïîäãðóïïàì â ïîëå âû÷åòîâ ïðîñòîãî ïîðÿäêà â ñëó÷àå êîãäà
t
ïðèíàäëåæèò îïðåäåëåííîìó äèàïàçîíó.
Òåîðåìà 5.
Ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà:
 182
182
1 1579
1067
 p 515 < t < p 487 ⇒ S(Γ) p 12 t 2184 (log t) 5460 ;
56
182
1 101
4
p 185 < t < p 515 ⇒ S(Γ) p 18 t 126 (log t) 21 ;
 28
56
1 1139
1
p 95 < t < p 185 ⇒ S(Γ) p 24 t 1344 (log t) 14
Äàëåå â ýòîé ãëàâå áóäåò ïîëó÷åíà ñ èñïîëüçîâàíèåì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì è
äðóãèõ âåëè÷èí íîâàÿ îöåíêà äëÿ íàèáîëüøåãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñîñåäíèìè ýëåìåíòàìè
ïîäãðóïïû
1
Γ, |Γ| ≥ p 2 .
Äëÿ ïîäãðóïïû
Γ
îïðåäåëèì
Hp (Γ) = max{H : ∃a ∈ Z∗p , ∃u ∈ Zp : u + j ∈ Zp \ aΓ}
Òåîðåìà ôîðìóëèðóåòñÿ òàê.
Òåîðåìà 6.
Äëÿ t ≥ p1/2 èìååò ìåñòî îöåíêà:
5977
Hp (Γ) ≤ p 6552 +o(1) , p → ∞.
Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî g > 1 è äëÿ ïî÷òè âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë p
1
∗
ýëåìåíò g ïîðîæäàåò â Zp ïîäãðóïïó ìîùíîñòè íå ìåíüøå p 2 . Ðàñïðåäåëåíèå ýëåìåíòîâ
òàêîé ïîäãðóïïû â Zp , â ÷àñòíîñòè îöåíêè íàèáîëüøèõ ðàññòîÿíèé ìåæäó ñîñåäíèìè ýëå1
ìåíòàìè, ñâÿçàíî ñ ðàçëîæåíèåì ÷èñëà
â g−è÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ. Òåîðåìà 6 äàåò
p
1
ðåçóëüòàò î íåêîòîðîì ñâîéñòâå òàêîãî ðàçëîæåíèè ÷èñëà . Ìû îòìå÷àåì, ÷òî ïðåäûäóp
13
14
ùèå ðåçóëüòàòû òàêîãî òèïà áûëè óñòàíîâëåíû íàïðèìåð â êíèãå , à òàêæå â ñòàòüå .
Òàêæå áóäåò ïîëó÷åíà îöåíêà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ïî ñïåöèàëüíîé ïîäãðóïïå â
3
êîëüöå âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ p , è ýòîò ðåçóëüòàò áóäåò èñïîëüçîâàí â ÷åòâåðòîé ãëàâå äëÿ
çàäà÷è äåëèìîñòè ÷àñòíûõ Ôåðìà íà êâàäðàò ïðîñòîãî ÷èñëà.
Ì.Ç. Ãàðàåâ è Õ. Ñèëëåðóåëî
ux ≡ y (mod p), x, y ∈ I, u ∈ U ,
15
ïîëó÷èëè îöåíêè êîëè÷åñòâà ðåøåíèé ñðàâíåíèÿ
âêëþ÷àþùåãî èíòåðâàë íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
I
è ìíî-
U .  ÷åòâåðòîé ãëàâå äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò äëÿ ñðàâíåíèÿ ïî ïðîèçâîëüíîìó ìîäóëþ m. Íèæå ñôîðìóëèðîâàíà
æåñòâà ñ ìàëûì ìóëüòèïëèêàòèâíûì óäâîåíèåì
ýòà òåîðåìà.
14 Bourgain J., Konyagin S.V., ShparlinskiI.E.
Product sets of rationals, multiplicative translates of
subgroups in residue rings and xed points of the discrete logarithm International Math Research Notices
2008, p. 129.
15 Cilleruelo J., Garaev M. Z. Congruences involving product of intervals and sets with small
multiplicative doubling modulo a prime and applications, http://arxiv.org/abs/1404.5070.
5
Òåîðåìà 7.
Ïóñòü U ⊆ Z∗m è n, H - íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ÷òî
|U | < mn/(2n+1) ; |U ∗ U | < |U |1+o(1) ; |U |H n < m.
Òîãäà ÷èñëî ðåøåíèé J ñðàâíåíèÿ
ux ≡ y
(mod m); 1 ≤ x, y ≤ H; u ∈ U
óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó J ≤ Hmo(1) .
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 7 èñïîëüçóþòñÿ òå æå èäåè, ÷òî è â ðàáîòå
15
.
Ñîäåðæàíèå ãëàâû 2.
Âî âòîðîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à î êîëè÷åñòâå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ çàäàííîãî, âû÷åòû êîòîðûõ ïî äâóì ìîäóëÿì ïðèíàäëåæàò äâóì ôèêñèðîâàííûì ìíîæåñòâàì. Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì âòîðîé ãëàâû ÿâëÿåòñÿ òåîðåìû 8, 9.
G1 è G2 ,
ïðè÷åì G1 ⊆ Zq1 , G2 ⊆ Zq2 , q1 è q2 ðàçëè÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, q1 < q2 , A := q2 /q1 .
Äëÿ çàäàííîãî z òðåáóåòñÿ îöåíèòü ñâåðõó ðàçìåð òàêîãî ìíîæåñòâà {n ≤ q1 z,
n ∈ G1
(mod q1 ), n ∈ G2 (mod q2 )}.
2
2
Ïîäîáíàÿ âåëè÷èíà, êîãäà q1 = p1 , q2 = p2 è p1 , p2 ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè ÷èñëàìè, à
G1 , G2 ÿâëÿþòñÿ ìóëüòèïëèêàòèâíûìè ïîäãðóïïàìè ãðóïï Z∗q1 è Z∗q2 ðàçìåðîâ p1 −1 è p2 −1
Ââåäåì íåêîòîðûå îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü äàíû äâà ïðîèçâîëüíûõ ìíîæåñòâà
ñîîòâåòñòâåííî, áûëà îöåíåíà â ðàáîòå
12
ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìáèíàòîðíûõ ðàññóæäåíèé
è òàì æå èñïîëüçîâàëàñü äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñâîéñòâ äåëèìîñòè ÷àñòíûõ Ôåðìà. Âî âòîðîé
ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ ýòà çàäà÷à â íåñêîëüêî áîëåå îáùåé ôîðìóëèðîâêå.
Íàì ïîíàäîáÿòñÿ òàêèå âåëè÷èíû. Äëÿ öåëîãî
íèé ñðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî
k
îáîçíà÷èì ÷åðåç
f1 (k)
- ÷èñëî ðåøå-
x1 , x2 ∈ G1
x1 − x2 ≡ kq2
(mod q1 ).
Ââåäåì ïî îïðåäåëåíèþ
X
N1 :=
f1 (k).
z
0≤k≤ A
Àíàëîãè÷íî, ÷åðåç
f2 (k) îáîçíà÷èì ÷èñëî ðåøåíèé ñðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî x1 , x2 ∈ G2
x1 − x2 ≡ kq1
È
N2 :=
X
(mod q2 ).
f2 (k).
0≤k≤z
Òåïåðü ñôîðìóëèðóåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò âòîðîé ãëàâû.
Ïðåäïîëîæèì äàíû ÷èñëà q1 , q2 , A, z , q1 < q2 , ìíîæåñòâà G1 , G2 è ñîîòâåòñòâåííî çàäàíû âåëè÷èíû N1 , N2 . Òîãäà ñïðàâåäëèâà îöåíêà
Òåîðåìà 8.
|{n ≤ q1 z,
n ∈ G1
(mod q1 ),
n ∈ G2
(mod q2 )}| (N1 N2 )1/2 .
Îòìåòèì, ÷òî îöåíêà, ïîëó÷åííàÿ â ýòîé òåîðåìå, ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé ïî ïîðÿäêó.
Íèæå ïðèâîäèòñÿ ñîîòâåòñòâóþùàÿ òåîðåìà, îòíîñÿùàÿñÿ êî âòîðîé ãëàâå äèññåòðàöèè.
6
Òåîðåìà 9.
Ïóñòü öåëûå ÷èñëà q, m1 , m2 , z, l → ∞, ïðè÷åì
s
max{m1 , m2 }
= o(z)
zm1 < q/10, zm2 < ql/10,
min{m1 , m2 }
Òîãäà ñóùåñòâóþò ïîäìíîæåñòâà
G1 ⊆ Zq , G2 ⊆ Zq+1
òàêèå, ÷òî âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) |G1 | m1 , |G2 | m2 ,
2) ÷èñëî ðåøåíèé ñðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî x1 , x2 , n
x1 − x2 ≡ n (mod q), 0 ≤ n ≤ z; x1 , x2 ∈ G1
åñòü O(m1 ).
3) ÷èñëî ðåøåíèé ñðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî x1 , x2 , n
x1 − x2 ≡ n (mod q + 1), 0 ≤ n ≤ z; x1 , x2 ∈ G2
åñòü O(lm2 ).
4) âåëè÷èíà
|[1, qz]
\
G1
\
G2 |
íå ìîæåò áûòü îöåíåíà âåëè÷èíîé O(m1 m2 )1/2 .
Ìû îòìå÷àåì, ÷òî ðåçóëüòàò òåîðåìû 8 èñïîëüçóåòñÿ äàëåå â ÷åòâåðòîé ãëàâå.
Ñîäåðæàíèå ãëàâû 3.
Òðåòüÿ ãëàâà äèññåðòàöèè çàòðàãèâàåò âîïðîñ î ðàñïðåäåëåíèè ýëåìåíòîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ïðèíàäëåæàùèå ìíîæåñòâó, çàìêíóòîìó îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ.
Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ïðèâåäåí â òåîðåìå 10
Ðàññìàòðèâàåòñÿ òàêàÿ çàäà÷à. Ïóñòü
q
íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Òàêæå ïóñòü
A ⊆ N ∩ [1, q] ìíîæåñòâî, çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî îïðåðàöèè óìíîæåíèÿ, òî åñòü åñëè
a1 , a2 ∈ A è a1 a2 ≤ q òî a1 a2 ∈ A. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýëåìåíòû A ýòî òå öåëûå ÷èñëà èç
îòðåçêà [1, q], êîòîðûå ïðèíàäëåæàò íåêîòîðîé ïîëóãðóïïå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî 0 < ν < 1 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî:
|A| < q ν
Òðåáóåòñÿ îöåíèòü êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà
ðàñòåò ìåäëåííåå ÷åì ëþáàÿ ñòåïåíü
q.
(4)
A
íà èíòåðâàëå
[1, n],
êîãäà
n
 òðåòüåé ãëàâå äèññåðòàöèè ïîëó÷åíû âåðõíèå
îöåíêè äëÿ òàêîé âåëè÷èíû.
Íàïðèìåð, â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà
A
ìîæíî âçÿòü âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ó êîòîðûõ
∗
âû÷åòû ïî ìîäóëþ q ïðèíàäëåæàò ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïîäãðóïïå Γ ⊂ Zq . Îòìåòèì, ÷òî
16
â ðàáîòå
ïîëó÷åíû îöåíêè íà êîëè÷åñòâî ÷èñåë íå ïðåâîñõîäÿùèõ n, êîòîðûå ïðèíàä∗
ëåæàò ïîäãðóïïå ïîðÿäêà t ãðóïïû Zp . Ýòè îöåíêè ñîäåðæàòåëüíû, êîãäà t ìàëî ïî ñðàâíåíèþ ñ p. Èç ðåçóëüòàòà òðåòüåé ãëàâû âûòåêàþò îöåíêè â ñëó÷àå, êîãäà t ðàñòåò êàê
ñòåïåíü
p,
à
n
ìàëî. Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò.
16 Bourgain J., Konyagin S., Shparlinski I.
Distribution of elements of cosets of small subgroups and
applications, International Math Research Notices, 2012:9 (2012), 19682009.
7
Ïóñòü A ìíîæåñòâî, çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4) è x = (log q)u .
1) åñëè log log x = o(log log q), òî
Òåîðåìà 10.
f (x)
≤ exp{−(C + o(1))u(1 − ν)2 log(u(1 − ν)2 )}
x
ãäå C - íåêîòîðàÿ àáñîëþòíàÿ êîíñòàíòà.
log x
2) åñëè γ = log
è log x = o(log q), òî
log log q
f (x) ≤ x1−max{Lγ ,Cγ }+o(1) , q → ∞,
ãäå Lγ = γ(
γ>
√
1−γ+
1−ν
)2
2
(1−γ) +γ(1−ν)
è Cγ =
(1−ν)2 γ
,
4(1−γ)
åñëè γ ≤
2
3−ν
è Cγ = 2 − ν − γ1 , åñëè
2
.
3−ν
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 10 îñíîâàíî íà êîìáèíàòîðíîé èäåå è íåêòîðûõ ñâîéñòâàõ
äåëèìîñòè è ðàñïðåäåëåíèÿ ãëàäêèõ ÷èñåë.
Ñîäåðæàíèå ãëàâû 4.
 ÷åòâåðòîé ãëàâå èçó÷àåòñÿ ñâîéñòâî äåëèìîñòè ÷àñòíûõ Ôåðìà íà ïðîñòîå è êâàäðàò
ïðîñòîãî ÷èñëà. Ãëàâíûì ðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ îöåíêà íà ïåðâîå ÷èñëî, íå îáëàäàþùåãî ñâîéñòâîì äåëèìîñòè ÷àñòíîãî Ôåðìà íà ïðîñòîå ÷èñëî, çà èñêëþ÷åíèåì ìíîæåñòâà
ïðîñòûõ îòíîñèòåëüíîé íóëåâîé ïëîòíîñòè (òåîðåìà 15).
Äëÿ ïðîñòîãî
p
è öåëîãî
a, (a, p) = 1,
îïðåäåëÿåòñÿ ÷àñòíîå Ôåðìà:
ap−1 − 1
.
qp (a) :=
p
qp (a) íà p è p2 . Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü
ñðàâíåíèå qp (a) ≡ 0 (mod p). Äëÿ ïðîñòîãî p
 ÷åòâåðòîé ãëàâå èññëåäóþòñÿ çàäà÷è î äåëèìîñòè
íàèìåíüøåå
a,
äëÿ êîòîðîãî íå âûïîëíåíî
îáîçíà÷èì ýòî ÷èñëî lp .Ïðèâåäåì êðàòêèé îáçîð ïðåäøåñòâóþùèõ ðåçóëüòàòîâ.
9
Õ. Ëåíñòðà äîêàçàë ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà.
Òåîðåìà 11.
p > 3 ⇒ lp ≤ 4(log p)2
p → ∞ ⇒ lp ≤ (4e−2 + o(1))(log p)2 .
Ý. Ãðýíâèëü
11
óñòàíîâèë òàêîå íåðàâåíñòâî
Òåîðåìà 12.
lp ≤ (log p)2
Ìîæíî, îäíàêî, îæèäàòü ãîðàçäî áîëåå ñèëüíóþ îöåíêó íà lp . Íàïðèìåð, Ëåíñòðà
12
ïðåäïîëîæèë, ÷òî lp ≤ 3. Â ðàáîòå
áûëè ðàñìîòðåíû òðè çàäà÷è î âåðõíåé îöåíêå lp :
1)äëÿ âñåõ ïðîñòûõ
p,
2) äëÿ âñåõ ïðîñòûõ íà çàäàííîì èíòåðâàëå, âîçìîæíî, êðîìå îäíîãî,
3)äëÿ áîëüøèíñòâà ïðîñòûõ íà çàäàííîì èíòåðâàëå.
12
Íàïðèìåð äëÿ çàäà÷è 2) è 3) â ñòàòüå
áûëè äîêàçàíû ñëåäóþùèå òåîðåìû.
8
Äëÿ êàæäîãî ε > 0 cóùåñòâóåò δ > 0, ÷òî äëÿ âñåõ, êðîìå, áûòü
ìîæåò, îäíîãî ïðîñòîãî p ∈ [Q1−δ ; Q] âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî :
Òåîðåìà 13.
59
lp ≤ (log p) 35 +ε
Äëÿ êàæäîãî ε > 0 cóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî äëÿ äîñòàòî÷íî
áîëüøèõ Q íåðàâåíñòâî
Òåîðåìà 14.
5
lp ≤ (log p) 3 +ε
âûïîëíåíî äëÿ âñåõ ïðîñòûõ p < Q, çà èñêëþ÷åíèåì O(Q1−δ ) ïðîñòûõ.
Îñíîâíîé ðåçóëüòàò ÷åòâåðòîé ãëàâû - ïîëó÷åíèå íîâîé âåðõíåé îöåíêè äëÿ çàäà÷è
3). Ñîîòâåòñòâóþùèé ðåçóëüòàò ôîðìóëèðóåòñÿ òàê.
Äëÿ êàæäîãî ε > 0 cóùåñòâóåò òàêîå δ > 0, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî
áîëüøèõ Q íåðàâåíñòâî:
Òåîðåìà 15.
3
lp ≤ (log p) 2 +ε
âûïîëíåíî äëÿ âñåõ ïðîñòûõ p < Q, çà èñêëþ÷åíèåì O(Q1−δ ) ïðîñòûõ.
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå ýòîé òåîðåìû èñïîëüçóþòñÿ èäåè äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 13 è
ðåçóëüòàò âòîðîé ãëàâû òåîðåìà 8.
 ïîñëåäíåé ÷àñòè ÷åòâåðòîé ãëàâû áóäåò äîêàçàíà îöåíêà î äåëèìîñòè ÷àñòíûõ Ôåðìà íà êâàäðàò ïðîñòîãî ÷èñëà. Òî÷íåå, áóäåò èíòåðåñîâàòü íàèìåíüøåå
a,
äëÿ êîòîðîãî
íå âûïîëíåíî ñðàâíåíèå
qp (a) ≡ 0 (mod p2 ).
0
Äëÿ ïðîñòîãî p îáîçíà÷èì ýòî ÷èñëî lp .
12
 ðàáîòå
äëÿ çàäà÷è 1) áûëà ïîëó÷åíà âåðõíÿÿ îöåíêà íà
lp
äëÿ âñåõ ïðîñòûõ
p.
Áûëî äîêàçàíî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 16.
Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî:
463
lp ≤ (log p) 252 +o(1) , p → ∞
Ñ ïîìîùüþ áîëåå ñèëüíûõ ðåçóëüòàòîâ îá ýíåðãèè ïîäãðóïï, È.Ä. Øêðåäîâ óëó÷øèë
6
ýòîò ðåçóëüòàò â ðàáîòå . Íèæå ìû ïðèâîäèì ýòîò ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 17.
Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî:
7829
lp ≤ (log p) 4284 +o(1) , p → ∞
Íîâûå îöåíêè ýíåðãèè ïîäãðóïï è òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì, ïîëó÷åííûå È.Ä. Øêðåäîâûì, ïîçâîëÿþò äîêàçàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó î äåëèìîñòè ÷àñòíûõ Ôåðìà íà êâàäðàò
ïðîñòîãî ÷èñëà. Ýòà òåîðåìà ïðèâåäåíà â êîíöå ÷åòâåðòîé ãëàâû.
Òåîðåìà 18.
Èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî:
2077
0
lp ≤ (log p) 1404 +o(1).
9
17
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 18 èñïîëüçóþòñÿ ìåòîä Þ.Â. Ìàëûõèíà
âåðõíèõ îöåíîê âåëè÷èí
|S(a, G)|, G ∈ Zpr ,
ãäå
ïîëó÷åíèÿ
r
ïðîèçâîëüíîå. Òàêæå èñïîëüçóþòñÿ
2
ñîâðåìåííûå îöåíêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ïî ìîäóëþ p è âåëè÷èíû T2 (G), ïîëó6 8
÷åííûå È.Ä. Øêðåäîâûì
.
Çàêëþ÷åíèå
 äèññåðòàöèè èññëåäîâàíû ñîâðåìåííûå ìåòîäû ïîëó÷åíèÿ íåòðèâèàëüíûõ îöåíîê
òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ïî ïîäãðóïïàì.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷åíû íîâûå âåðõíèå îöåíêè ìîäóëÿ òàêèõ ñóìì è ñâÿçàííûõ ñ íèìè âåëè÷èí. Ïîëó÷åíû ïðàâèëüíûå ïî
ïîðÿäêó îöåíêè î êîëè÷åñòâå ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ çàäàííîãî, âû÷åòû ïî äâóì ìîäóëÿì êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò äâóì ôèêñèðîâàííûì ìíîæåñòâàì. Ýòîò ðåçóëüòàò èñïîëüçîâàëñÿ äëÿ âûâîäà íîâîé îöåíêè ïåðâîãî ÷èñëà, ÷àñòíîå Ôåðìà êîòîðîãî íå îáëàäàåò
ñâîéñòâîì äåëèìîñòè íà ïðîñòîå ÷èñëî, çà èñêëþ÷åíèåì ìíîæåñòâà ïðîñòûõ îòíîñèòåëüíîé íóëåâîé ïëîòíîñòè.  äèññåðòàöèè óñòàíîâëåíà âçàèìîñâÿçü êîëè÷åñòâà ýëåìåíòîâ
ìóëüòèïëèêàòèâíûõ ïîëóãðóïï íà êîðîòêèõ èíòåðâàëàõ ñ ÷èñëîì ýëåìåíòîâ íà äëèííûõ
èíòåðâàëàõ.
Ïîëó÷åííûå â äèññåðòàöèè ðåçóëüòàòû îòíîñÿòñÿ ê âîïðîñàì î ðàñïðåäåëåíèè ýëåìåíòîâ ïîäãðóïï è äðóãèõ ìíîæåñòâ. Ïðèìåíåííûå ìåòîäû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû è
â äðóãèõ ïîäîáíûõ çàäà÷àõ.
Áëàãîäàðíîñòè.
Ñîèñêàòåëü ñ÷èòàåò ñâîèì ïðèÿòíûì äîëãîì â ïåðâóþ î÷åðåäü ïîáëàãîäàðèòü ñâîåãî
íàó÷íîãî ðóêîâîäèòåëÿ, äîêòîðà ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîðà Ñ. Â. Êîíÿãèíà.
Ðàáîòû àâòîðà ïî òåìå äèññåðòàöèè
[1] Øòåéíèêîâ
Þ. Í. Äåëèìîñòü ÷àñòíûõ Ôåðìà. Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè, 92:1
(2012), 116 122.
[2] Øòåéíèêîâ Þ. Í. Î ðàñïðåäåëåíèè ýëåìåíòîâ ïîëóãðóïï íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ×åáûøåâñêèé ñáîðíèê, 13:3 (2012), 91 99.
[3] Øòåéíèêîâ Þ. Í. Î ìíîæåñòâå ñîâìåñòíûõ ïðåäñòàâèòåëåé âû÷åòîâ ïî äâóì ìîäóëÿì, Òðóäû ÌÈÀÍ, òîì 290, (2015), 202 210.
[4] Øòåéíèêîâ Þ. Í.
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñóììû ïî ïîäãðóïïàì è íåêîòîðûå èõ
ïðèëîæåíèÿ, Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè, 98:4 (2015), 606 625.
[5] Øòåéíèêîâ Þ. Í. Î ðàñïðåäåëåíèè ýëåìåíòîâ ïîëóãðóïï íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, Ìàòåðèàëû êîíôåðåíöèè Êîìïüþòåðíàÿ àëãåáðà è èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè, 89
90.
17 Ìàëûõèí Þ.Â.
793796.
Îöåíêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ïî ìîäóëþ pr , Ìàòåì. çàìåòêè, 80:5 (2006),
10
[6] Øòåéíèêîâ Þ. Í. Îöåíêè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ñóìì ïî ïîäãðóïïàì, Ìàòåðèàëû
òðèíàäöàòîé ìîëîäåæíîé øêîëû-êîíôåðåíöèè Ëîáà÷åâñêèå ÷òåíèÿ - 2014 , ñ. 181
183.
[7] Øòåéíèêîâ Þ. Í. Î ïðîèçâåäåíèÿõ ìíîæåñòâ ñ ìàëûì ìóëüòèïëèêàòèâíûì óäâîåíèåì è èíòåðâàëîâ , Ìàòåðèàëû êîíôåðåíöèè Âîðîíåæñêàÿ çèìíÿÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ øêîëà - 2015 , ñ. 151.
[8] Øòåéíèêîâ Þ. Í. Î ìíîæåñòâå ñîâìåñòíûõ ïðåäñòàâèòåëåé âû÷åòîâ ïî äâóì ìîäóëÿì, Ìàòåðèàëû êîíôåðåíöèè XIII Ìåæäóíàðîäíàÿ êîíôåðåíöèÿ Àëãåáðà, òåîðèÿ ÷èñåë è äèñêðåòíàÿ ãåîìåòðèÿ: ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû è ïðèëîæåíèÿ - 2015 , ñ.
254255.
[9] Øòåéíèêîâ Þ. Í. Î ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëóãðóïï íàòóðàëüíûõ ÷èñåë , Ìàòåðèàëû êîíôåðåíöèè XII Ìåæäóíàðîäíàÿ Êàçàíñêàÿ ëåòíÿÿ øêîëà-êîíôåðåíöèÿ
Òåîðèÿ ôóíêöèé, åå ïðèëîæåíèÿ è ñìåæíûå âîïðîñû - 2015 , ñ. 491492.
11
Íàó÷íîå èçäàíèå
Øòåéíèêîâ Þðèé Íèêîëàåâè÷
ÀÂÒÎÐÅÔÅÐÀÒ
äèññåðòàöèè íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè
êàíäèäàòà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê íà òåìó:
Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñóììû ïî ïîäãðóïïàì è
çàäà÷è äåëèìîñòè ÷àñòíûõ Ôåðìà
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 22.10.2015
Òèðàæ 100 ýêç.
Îòïå÷àòàíî â Ìàòåìàòè÷åñêîì èíñòèòóòå èì. Â.À. Ñòåêëîâà ÐÀÍ
Ìîñêâà, 119991, óë. Ãóáêèíà, 8