Принцип минимакса. Принцип Лагранжа и двойственность в

1.
Ëåêöèÿ 14
Ïðèíöèï ìèíèìàêñà.
Ïðèíöèï Ëàãðàíæà è äâîéñòâåííîñòü â çàäà÷å âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Òåîðåìà 1.1.
X Y . Òîãäà
Ïóñòü f (x; y) íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà ïðîèçâåäåíèè êîìïàêòíûõ ïðîñòðàíñòâ
min
max f (x; y) max
min f (x; y):
x y
y x
Òî÷íîå ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò ñåäëîâàÿ òî÷êà, ò.å.
òî÷êà (x0; y0) ñî ñâîéñòâàìè
f (x0 ; y) f (x0 ; y0 ) f (x; y0 )
äëÿ âñåõ x 2 X , y 2 Y .
Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüìåì ìèíèìóì ïî x îò îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâà maxy f (x; y) f (x; y). Ïîëó÷èì
min
max f (x; y) min
f (x; y); 8y 2 Y:
x y
x
Îòñþäà, î÷åâèäíî, âûòåêàåò èñêîìîå íåðàâåíñòâî.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî minx maxy f (x; y ) = maxy minx f (x; y ). Íàéäåì òî÷êè x0 , y0 èç óñëîâèÿ
min
f (x; y0 ) = max
min f (x; y):
x
y x
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî
max
f (x0 ; y) = min
max f (x; y):
y
x y
f (x0 ; y0 ) min
f (x; y0 ) = max
min f (x; y) = min
max f (x; y) = max
f (x0 ; y):
x
y x
x y
y
f (x0 ; y0 ) max
f (x0 ; y) = min
max f (x; y) = max
min f (x; y) = min
f (x; y0 ):
y
x y
y x
x
Òàêèì îáðàçîì
f (x0 ; y) f (x0 ; y0 ) f (x; y0 ); 8x 2 X; y 2 Y:
Îñòàëîñü äîêàçàòü ðàâåíñòâî minmax è maxmin â ñëó÷àå, êîãäà ñóùåñòâóåò ñåäëîâàÿ òî÷êà. Â
ýòîì ñëó÷àå
max
min f (x; y) min
f (x; y0 ) f (x0 ; y0 ):
y x
x
min
max f (x; y) max
f (x0 ; y) f (x0 ; y0 ):
x y
y
Ñëåäîâàòåëüíî,
maxy minx f (x; y) minx maxy f (x; y). Ñëåäîâàòåëüíî, âûïîëíåíî ðàâåíñòâî.
Óñëîâèÿ êîìïàêòíîñòè è íåïðåðûâíîñòè òåõíè÷åñêèå, ââåäåííûå ñ öåëüþ
îáåñïå÷èòü ñóùåñòâîâàíèå ìèíèìóìîâ è ìàêñèìóìîâ. Ñóùåñòâóþò áîëåå îáùèå ôîðìóëèðîâêè
òåîðåìû.
Íàïðèìåð, èíîãäà óäîáíî òðåáîâàòü, ÷òîáû f (x; y) áûëà âûïóêëà ïî x è âîãíóòà ïî y.
Ïðèíöèï ìèíèìàêñà ìîæåò ñëóæèòü ïîëåçíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ âûâîäà ñîîòíîøåíèé äâîéñòâåííîñòè.
Çàìå÷àíèå 1.2.
Ïðè ýòîì ïîëåçíî óìåòü èñïîëüçîâàòü åãî õîòÿ áû íà ýâðèñòè÷åñêîì óðîâíå. Íàïðèìåð, åñòåñòâåííûì
îáðàçîì ýòîò ïðèíöèï âîçíèêàåò â çàäà÷å âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Çàäà÷à âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ: X ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, A X âûïóêëîå
ìíîæåñòâî, fi : A 7! R [ f+1g âûïóêëûå ôóíêöèè, 0 i n. Èùåòñÿ
f0 (x) ! min
ïðè óñëîâèè
Îïðåäåëåíèå 1.3.
fi (x) 0; 1 i n; x 2 A:
Ëþáàÿ òî÷êà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ (1) íàçûâàåòñÿ äîïóñòèìîé.
Íàïîìíîì, ÷òî ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà èìååò âèä
L(x; ) =
(1)
n
X
i fi (x):
i=0
Âñþäó äàëåå äëÿ ïðîñòîòû èçëîæåíèÿ áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âûïîëíåíî
òàêàÿ òî÷êà x
~ 2 A, ÷òî fi (~x) < 0, 1 i n .
1
óñëîâèå Ñëåéòåðà: ñóùåñòâóåò
(ïðèíöèï Ëàãðàíæà äëÿ âûïóêëûõ çàäà÷ èëè òåîðåìà Êóíà-Òàêêåðà). Äîïóñòèìàÿ
òî÷êà x^ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ñóùåñòâóåò íàáîð ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà ^ = (^0; ^1; ; ^n), óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèÿì
^ i 0, ^ 0 = 1
1) íåîòðèöàòåëüíîñòè ^ i fi (^x) = 0
2) äîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè 3) âûïîëíåí ïðèíöèï ìèíèìóìà
Òåîðåìà 1.4.
min L(x; ^ ) = L(^x; ^ ):
x2A
Äëÿ çàäà÷è âûïóêëîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ âûïîëíåí ñëåäóþùèé "ïðèíöèï ìèíèìàêñà"(îáðàòèòå
âíèìàíèå, ÷òî L âûïóêëà ïî x è ëèíåéíà (ñëåäîâàòåëüíî, âîãíóòà), ïî y ).
(Òåîðåìà î ñåäëîâîé òî÷êå) Äîïóñòèìàÿ òî÷êà x^ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è âûïóêëîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé íàáîð íåîòðèöàòåëüíûõ ìíîæèòåëåé
Ëàãðàíæà ^, ^0 = 1, ÷òî
Òåîðåìà 1.5.
L(^x; ) L(^x; ^) L(x; ^)
äëÿ âñåõ òàêèõ , ÷òî 0 = 1, i 0, 1 i n.
Òåîðåìà î ñåäëîâîé òî÷êå îáåñïå÷èâàåò ïåðåõîä ê äâîéñòâåííîé çàäà÷å â çàäà÷å âûïóêëîãî
ïðîãðàììèðîâàíèÿ:
Çàìåòèì, ÷òî f0 (x) = max L. Çàäà÷à f0 (x) ! min ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å ïîèñêà minx max L. Ïî
òåîðåìå î ñåäëîâîé òî÷êå ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ðàâíî max minx L (åñëè ðåøåíèå âîîáùå ñóùåñòâóåò).
Ïîýòîìó äâîéñòâåííàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â ïîèñêå ìàêñèìóìà ôóíêöèîíàëà
min
L:
x
.
Ïðèìåð 1.6. Çàäà÷à ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
Áóäåì èñêàòü ìèíèìóì hc; xi.
hc; xi ! max; Ax b; x 0:
L = hc; xi + h; Ax bi
max hc; xi = min
hc; xi = min
max L = max min L = max min(h c + AT ; xi h; bi)
x0 0
Axb;x0
Axb;x0
0 x0
0 x0
T
Çàìåòèì, ÷òî minx0(h c + A ; xi h; bi) = h; bi, åñëè c + AT 0, è 1 â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå. Ïîýòîìó
max min(h c + AT ; xi
0 x0
h; bi) = 0; max
h; bi =
c+A 0
T
min
h; bi:
0;AT c
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì äâîéñòâåííóþ çàäà÷ó ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ
h; bi ! min; AT c; 0:
Ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèÿ îáåèõ çàäà÷ (åñëè îíè èìåþò ðåøåíèÿ) ðàâíû.
Èç ïðèíöèïà ìèíèìàêñà ëåãêî èçâëå÷ü (èëè îáîñíîâàòü íåïîñðåäñòâåííî), ÷òî
hc; xi hb; i äëÿ ëþáûõ äîïóñòèìûõ x; .
Çàìå÷àíèå 1.7.
2
2.
Ëåêöèÿ 15
Íåêîòîðûå ñïåöèàëüíûå ýêñòðåìàëüíûå çàäà÷è. Òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à (çàäà÷à Ìîíæà-Êàíòîðîâè÷à)
Äèñêðåòíûé ñëó÷àé.
Íàéòè ìèíèìóì ôóíêöèîíàëà
I X
J
X
i=1 i=1
ïðè óñëîâèè
yij 0;
X
yij cij
yij si ;
X
yij rj :
j
i
Àâòîìàòè÷åñêè äîëæíî áûòü âûïîëíåíî óñëîâèå áàëàíñà
X
i
si X
j
rj :
Çàäà÷àPìîæåò áûòü
ñâåäåíà ê ñëó÷àþ òî÷íîãî áàëàíñà Pi si = Pj rj :  ýòîì
P
ñëó÷àå àâòîìàòè÷åñêè j yij = si i yij = rj .
Çàìå÷àíèå 2.1.
Äâîéñòâåííàÿ ôîðìóëèðîâêà.
Òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Äâîéñòâåííàÿ ôîðìóëèðîâêà:
X
j
ïðè óñëîâèè
vj
X
rj vj
i
si ui ! max
ui cij ; vj 0; ui 0:
Óñëîâèå íåîòðèöàòåëüíîñòè íåîáÿçàòåëüíî â ñëó÷àå òî÷íîãî áàëàíñà, ïîòîìó
÷òî (êàê íåñëîæíî çàìåòèòü), åñëè vj ; ui ðåøåíèå, òî vj + C; ui + C òîæå ðåøåíèå.
Çàìå÷àíèå 2.2.
Àëãîðèòì (íàáðîñîê)
Òàê êàê òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à ïðåäñòàâëåò ñîáîé ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ,
òî çäåñü ïðèìåíèì ñèìïëåêñ-ìåòîä. Íî áîëåå óäîáåí àëãîðèòì, îñíîâàííûé íà ñâîéñòâàõ äâîéñòâåííîé
çàäà÷è.
1. Ïîñòðîèòü äîïóñòèìûé òðàíñïîðòíûé ïëàí yij â êîòîðîì ìàêñèìóì I + J 1 çíà÷åíèé yij íå
ðàâíû íóëþ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç IJ ìíîæåñòâî òàêèõ èíäåêñîâ.
2. Äëÿ âñåõ èíäåêñîâ i; j 2 IJ íàéòè òàêèå vj 0, ui 0, ÷òî vj ui = cij
3. Ïðîâåðèòü, äîïóñòèìû ëè vj , ui , ò.å. óäîâëåòâîðÿþò ëè îíè óñëîâèþ vj ui cij (äëÿ âñåõ i; j !).
Åñëè äà, òî íàéäåííûé ïëàí îïòèìàëåí (ïîòîìó ÷òî òîãäà çíà÷åíèÿ èñõîäíîé è äâîéñòâåííîé çàäà÷
ñîâïàäàþò, à ýòî îçíà÷àåò îïòèìàëüíîñòü!). Åñëè íåò, òî íàäî ïðîäåëàòü îïòèìèçàöèþ òðàíñïîðòíîãî
ïëàíà è óìåíüøèòü ñòîèìîñòü ïåðåâîçêè. Äàëåå ïåðåéòè ê ï. 2.
Ïðèìåð 2.3.
Íàéòè ðåøåíèå òðàíñïîðòíîé çàäà÷è
2
5
7
Îòâåò:
8
2
5
7
8
9
4
5
4 7 11 3
2 5 6 4
1 3 4 8
9
4
5
0 0 0 5
2 1 4 0
0 8 0 0
3
Íåïðåðûâíûé ñëó÷àé.
Ôîðìóëèðîâêà òðàíñïîðòíîé çàäà÷è: Íà ïðîñòðàíñòâàõ X , Y çàäàíû äâå âåðîÿòíîñòíûå
ìåðû ; è ôóíêöèÿ ñòîèìîñòè c(x; y ) (êàê ïðàâèëî c 0). Íàéòè ìåðó íà X Y ñî ñâîéñòâàìè
P rX = , P ry = , ìèíèìèçèðóþùóþ ñòîèìîñòü ïåðåâîçêè
(; ) =
Z
c(x; y) d ! min
X Y
Çäåñü P rX , P rY ïðîåêöèè íà ïðîñòðàíñòâà X , Y . Íàïîìíèì, ÷òî P rX1 ïî îïðåäåëåíèþ îçíà÷àåò
ìåðó íà X , çàäàííóþ ñîîòíîøåíèåì P rX1 (A) = (A Y ).
Äëÿ øèðîêîãî êëàññà òîïîëîãè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ óñëîâèå P rX1 = ýêâèâàëåíòíî
òîìó, ÷òî ðàâåíñòâî
Z
Z
Çàìå÷àíèå 2.4.
X Y
f (x) d =
X
f (x) d
âûïîëíåíî äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé îãðàíè÷åííîé ôóíêöèè.
Ðåøåíèå òðàíñïîðòíîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò ïðè äîñòàòî÷íî øèðîêèõ óñëîâèÿõ. Ïðèâåäåì ïðîñòåéøèé
ïðèìåð, êîãäà îáîñíîâàòü ñóùåñòâîâàíèå îñîáåííî ëåãêî.
Íàïîìíèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ìåð Pn íà òîïîëîãè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X
R âåðîÿòíîñòíûõ
R
ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ìåðå P , åñëè limn
fdPn = fdP äëÿ ëþáîé îãðàíè÷åííîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè
f : X ! R.
(Þ.Â. Ïðîõîðîâ) Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåð Pn íà ïîëíîì ñåïàðàáåëüíîì
ìåòðè÷åñêîì ïðîcòðàíñòâå X òîãäà è òîëüêî òîãäà îáëàäàåò ñëàáî ñõîäÿùåéñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ,
êîãäà 8" > 0 ñóùåñòâóåò òàêîå êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî K X , ÷òî n(K ) 1 " äëÿ âñåõ n.
Ïóñòü X , Y ìåòðè÷åñêèå êîìïàêòû, à c(x; y) 0 íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà
òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à èìååò ðåøåíèå.
Òåîðåìà 2.5.
Ïðèìåð 2.6.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ âåðîÿòíîñòíûõ ìåð M íà X Y , ò.å. ìåð,
ó êîòîðûõ
ïðîåêöèÿ íà ïåðâûé ìíîæèòåëü ðàâíà , à íà âòîðîé .  ñèëó òîãî, ÷òî ìíîæåñòâî ÷èñåë
R
T = f X Y c(x; y) dP; P 2 Mg ëåæèò â îòðåçêå [0; supX Y c], ñóùåñòâóåò
òî÷íàÿ íèæíÿÿ ãðàíü t
R
ýòîãî ìíîæåñòâà. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìåð Pn èç M, ò.÷. c(x; y )dPn = tn è limn tn = t.
Ñóùåñòâóåò ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü Pni , ñõîäÿùàÿñÿ ñëàáî ê íåêîòîðîé ìåðå . Ñóùåñòâîâàíèå
òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãàðàíòèðóåò òåîðåìà Ïðîõîðîâà (òàê æå ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé
Ðèññà î ïðîñòðàíñòâå ìåð, êàê ñîïðÿæåííîì ïðîñòðàíñòâå ê ïðîñòðàíñòâó ôóíêöèé è òåîðåìå î
êîìïàêòíîñòè øàðà â ñîïðÿæåííîì ïðîñòðàíñòâå).
Òàê êàê c(x; y ) íåïðåðûâíà, òî
Z
Z
c(x; y) dPn = lim
t = inf ft 2 T g:
n n
R
Ïîñëåäíÿÿ âåëè÷èíà ïî îïðåäåëåíèþ íå ïðåâîñõîäèò c(x; y ) dP 8P 2 M.
Äåéñòâèòåëüíî, íàäî ïðîâåðèòü, ÷òî P rX = , P rY = . Èìååì
c(x; y) d = lim
n
i
i
Z
f (x) d = lim
n
äëÿ ëþáîé íåïðåðûâíîé ôóíêöèè
ðåøåíèå.
f
i
íà
X.
Z
f (x) dPn =
Z
i
Àíàëîãè÷íî äëÿ
Êðîìå òîãî,
4
2 M.
f (x) d
.
Òàêèì îáðàçîì,
 áîëåå îáùåì ñëó÷àå íàäî âìåñòî íåïðåðûâíîñòè ïîëüçîâàòüñÿ
(îá ýòîì ðå÷ü âïåðåäè).
Çàìå÷àíèå 2.7.
ñíèçó
i
i
åñòü èñêîìîå
ïîëóíåïðåðûâíîñòüþ
3.
Ëåêöèÿ 16
Òðàíñïîðòíàÿ çàäà÷à (çàäà÷à Ìîíæà-Êàíòîðîâè÷à) (ïðîäîëæåíèå)
Äâîéñòâåííîñòü.
Âñïîìíèòå òåîðåìó Ðèññà î ïðîñòðàíñòâå ìåð, êàê ñîïðÿæåííîì ê ïðîñòðàíñòâó ôóíêöèé!
Òàê æå, êàê è â äèñêðåòíîì ñëó÷àå, ñóùåñòâóåò äâîéñòâåííàÿ ôîðìóëèðîâêà òðàíñïîðòíîé çàäà÷è,
ïðèíàäëåæàùàÿ Êàíòîðîâè÷ó.
 äâîéñòâåííîé çàäà÷å èùåòñÿ òàêàÿ ïàðà áîðåëåâñêèõ ôóíêöèé '(x); (y ), óäîâëåòâîðÿþùèõ
óñëîâèþ
'(x) + (y) c(x; y)
(ëþáóþ òàêóþ ïàðó ôóíêöèè áóäåì íàçûâàòü äîïóñòèìîé, à ìíîæåñòâî òàêèõ ïàð îáîçíà÷èì ÷åðåç
), ÷òî ôóíêöèîíàë
Z
Z
J ('; ) = '(x) d +
(y) d
(2)
äîñòèãàåò ìàêñèìóìà.
(Êàíòîðîâè÷) Ïóñòü X è Y ìåòðè÷åñêèå êîìïàêòû, à c(x; y) íåïðåðûâíà. Òîãäà
çàäà÷à (2) èìååò ðåøåíèå è ÿâëÿåòñÿ äâîéñòâåííîé ê òðàíñïîðòíîé çàäà÷å. Ò.å.
Òåîðåìà 3.1.
J ('; ) (; )
äëÿ äîïóñòèìûõ ïàð ('; ), (; ) è, áîëåå òîãî,
max
('; )2
J ('; ) = (;min
(; ):
)2M
Ïðèíöèï ìèíèìàêñà è ñîïðÿæåííûå ôóíêöèè.
Òåîðåìà Êàíòîðîâè÷à ìîæåò áûòü îáîñíîâàíà ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåãî àíàëîãà ïðèíöèïà ìèíèìàêñà.
Êîíòðîëüíûé âîïðîñ: ïîÿñíèòå, ïî÷åìó òåîðåìà íèæå ìîæåò áûòü èíòåðïðåòèðîâàíà, êàê
ïðèíöèï ìèíèìàêñà.
(
) Ïóñòü E íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî,
à E ñîïðÿæåííîå ê íåìó. Ïóñòü ; äâå âûïóêëûå ôóíêöèè íà E ñî çíà÷åíèÿìè â R [ +1,
à , èõ ñîïðÿæåííûå ôóíêöèè. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî z0 2 E
Òåîðåìà 3.2.
Äâîéñòâåííîñòü Ôåíõåëÿ-Ðîêàôåëëàðà.
(z0 ) < +1; (z0 ) < +1;
íåïðåðûâíà â òî÷êå z0 . Òîãäà cóùåñòâóåò maxz 2E ( z ) (z ) è, áîëåå òîãî,
inf + = max
( z ) (z ) :
E
z 2E Äîêàçàòåëüñòâî. Íàäî äîêàçàòü, ÷òî
sup inf (x) + (y) + hz ; x yi = inf (x) + (x) :
x2E
z 2E x;y2E
Âûáîð x = y äàåò supz 2E inf x;y2E (x) + (y ) + hz ; x y i inf x2E (x) + (x) : Çàìåòèì, ÷òî
inf â ïðàâîé ÷àñòè êîíå÷åí (òàê êàê (z0 ) + (z0 ) < 1). Îñòàåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå
z 2 E , ÷òî
(x) + (y) + hz ; x yi m := inf (x) + (x) :
x2E
Ïîëîæèì
C = f(x; ) E R; > (x)g
0
C = f(y; ) E R; m (y)g:
Ìíîæåñòâà C; C 0 âûïóêëû (òàê êàê âûïóêëû è ). Çàìåòèì, ÷òî C èìååò íåïóñòóþ âíóòðåííîñòü
(ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî (z0 ; (z0 ) + 1) 2 C è íåïðåðûâíà â z0 ). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî C è C 0 íå
ïåðåñåêàþòñÿ. Ïî òåîðåìå îá îòäåëèìîñòè ñóùåñòâóåò òàêîé ôóíêöèîíàë l 2 E R, ÷òî
inf hl; ci sup hl; c0 i:
c0 2C 0
Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî ! 2 E è 2 R, (! ; ) 6= (0; 0)
h! ; xi + h! ; yi + c2C
5
åñëè > (x) è m (y ). Î÷åâèäíî, ñëó÷àé < 0 íåâîçìîæåí. Ñëó÷àé = 0 òàêæå íåâîçìîæåí,
ïîòîìó ÷òî èíà÷å, âûáèðàÿ y èç îêðåñòíîñòè x, ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òî ! = 0. Ïîýòîìó > 0.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ z = ! èìååì:
hz ; xi + hz ; xi + ;
åñëè
> (x) è m (y). Îòñþäà ñëåäóåò
hz ; xi + (x) hz ; xi + m (y):
×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Òðàíñïîðòèðîâêà ìåð
Êàê óñòðîåíî ðåøåíèå çàäà÷è Ìîíæà-Êàíòîðîâè÷à? Ïðåæäå ÷åì îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ, ïðèâåäåì
ïðèìåðû ìåð, èìåþùèõ çàäàííûå ïðîåêöèè íà ñîìíîæèòåëè X; Y .
Åñëè âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà X , âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà Y , òî ïðÿìîå
ïðîèçâåäåíèå ìåð , î÷åâèäíî, èìååò ñîîòâåòñòâóþùèå ïðîåêöèè.
Ïóñòü T : X ! Y âçàèìíî îäíîçíà÷íîå èçìåðèìîå îòîáðàæåíèå X â Y , îòîáðàæàþùåå
â , ò.å. (A) = (T 1 (A)) äëÿ ëþáîãî èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà A. Îïðåäåëèì ãðàôèê îòîáðàæåíèÿ
= f(x; T (x))g X Y . Äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà A èìååì (P rY A) = (T 1 (P rY A)) =
(P rX A). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìåðà çàäàííàÿ ñîîòíîøåíèåì (A) = (P rX A) (èëè, ÷òî òî
æå ñàìîå, (A) = (P rY A) ) èìååò ïðîåêöèè è , ñîîòâåòñòâåííî. Çàìåòèì, ÷òî ( ) = 1.
Ïðèìåð 3.3.
Ïðèìåð 3.4.
Ýòè äâà ïðèìåðà ÿâëÿþòñÿ, â íåêîòîðîì ñìûñëå, ýêñòðåìàëüíûìè. Â ïåðâîì ìåðà ìàêñèìàëüíî
"ðàñïûëåíà, à âî âòîðîì ìàêñèìàëüíî ñîñðåäîòî÷åíà íà ìíîæåñòâå "ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè".
Îêàçûâàåòñÿ, äëÿ øèðîêîãî êëàññà ôóíêöèé ñòîèìîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Ìîíæà-Êàíòîðîâè÷à
èìåþò ñòðóêòóðó, îïèñàííóþ â ïðèìåðå (3.4). Îñîáåííî ïðîñòî óñòðîåíû ðåøåíèÿ òðàíñïîðòíîé
çàäà÷è äëÿ ñëó÷àÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ñòîèìîñòè c(x; y ) = jx y j2 .
Òåîðåìà 3.5.
= fdx = gdx
Rn
c(x; y) =
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
,
âåðîÿòíîñòíûå ìåðû íà . Ïóñòü
jx yj2 . Òîãäà ñóùåñòâóþò ðåøåíèÿ , ('; ) ïðÿìîé è äâîéñòâåííîé òðàíñïîðòíîé çàäà÷è. Ïðè
ýòîì ñóùåñòâóåò òàêîå îòîáðàæåíèå T : Rn ! Rn, ÷òî
1)
2)
3)
4)
ñîñðåäîòî÷åíà íà ãðàôèêå îòîáðàæåíèÿ T : ( ) = 1
ñóùåñòâóåò òàêàÿ âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ
V , ÷òî T (x) = rV (x) äëÿ -ïî÷òè âñåõ x
2
2
x
V è ' ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì V = 2 ', V = y2
= T 1.
Îòîáðàæåíèå T , ïîëó÷åííîå â òåîðåìå, íàçûâàåòñÿ îïòèìàëüíûì îòîáðàæåíèåì, à ôóíêöèÿ
ïîëó÷åííàÿ â òåîðåìå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ìîíæà-Àìïåðà, õîðîøî èçâåñòíîãî â
äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè. Îòîáðàæåíèå T , êàê ïðàâèëî, íåâîçìîæíî ÿâíî îïèñàòü. Èñêëþ÷åíèå
ñîñòàâëÿåò îäíîìåðíûé ñëó÷àé, ãäå äëÿ ïàðû ìåð , ñî ñòðîãî ìîíîòîííûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ
îòîáðàæåíèå T íàõîäèòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
V,
1; T (x)]) = (( 1; x]):
Ýòî ñîîòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó F = F T (x), ãäå F ; F ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìåð.
Åñëè îíè ñòðîãî ìîíîòîííû, òî T = F 1 F .
((
6
Çàäà÷è 7
1) Ïóñòü X; Y êîìïàêòíûå âûïóêëûå ìíîæåñòâà â Rn , f : X Y 7! R (ñòðîãî) âûïóêëà
ïî x è (ñòðîãî) âîãíóòà ïî y . Èñïîëüçóÿ òåîðåìó î íåïîäâèæíîé òî÷êå äëÿ íåïðåðûâíûõ
îòîáðàæåíèé âûïóêëûõ ìíîæåñòâ, äîêàæèòå, ÷òî f îáëàäàåò ñåäëîâîé òî÷êîé.
2) Ðåøèòü òðàíñïîðòíóþ çàäà÷ó.
25
15
20
30
35
25
10
5
6
7
8
2
7
6
50
9
3
4
8
Óêàçàíèå : çíà÷åíèå îïòèìàëüíîé ïåðåâîçêè = 535
3) Ðåøèòü òðàíñïîðòíóþ çàäà÷ó.
5
1
2
3
5
4)
5)
6)
7*)
2
5
6
7
6
1
3
5
8
Óêàçàíèå: çíà÷åíèå îïòèìàëüíîé ïåðåâîçêè = 57
Âûâåäèòå ôîðìóëèðîâêó äâîéñòâåííîé äèñêðåòíîé òðàíñïîðòíîé çàäà÷è èç ïðèíöèïà äâîéñòâåííîñòè
â çàäà÷å ëèíåéíîãî ïðîãðàìèðîâàíèÿ.
Âûâåäèòå èç òåîðåìû Ôåíõåëÿ-Ðîêàôåëëàðà, ÷òî íåïðåðûâíàÿ âûïóêëàÿ ôóíêöèÿ ñîâïàäàåò
ñî ñâîåé âòîðîé ñîïðÿæåííîé.
Äîêàæèòå, èñõîäÿ íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèé, "ëåãêóþ"÷àñòü äâîéñòâåííîñòè Êàíòîðîâè÷à:
J ('; ) (; ).
Âûâåäèòå òåîðåìó Êàíòîðîâè÷à èç òåîðåìû Ôåíõåëÿ-Ðîêàôåëëàðà. Óêàçàíèå: ðàññìîòðèòå
ôóíêöèîíàëû íà ïðîñòðàíñòâå C (X Y ) íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé íà X Y
(u) =
Z
(u) = 0;
X
' d +
Z
Y
åñëè
d;
u(x; y) c(x; y); +1 èíà÷å
åñëè
u(x; y) = '(x) + (y); +1
7
èíà÷å
:
4.
Ëåêöèÿ 17
Äâîéñòâåííîñòü è òåîðåìà î ìèíèìàêñå â òåîðèè èãð.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ: êîíå÷íàÿ ìàòðè÷íàÿ èãðà äâóõ èãðîêîâ ñ íóëåâîé ñóììîé. ×èñòûå è ñìåøàííûå
ñòðàòåãèè (c îñíîâíûìè ïîíÿòèìè òåîðèè èãð ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ ïî êíèãå Thomas S. Ferguson
Game theory.)
Ïðèìåð: Äâà èãðîêà âûáèðàþò íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà ÷èñëî èç ìíîæåñòâà f1; 2g. Åñëè
ñóììà íå÷åòíà, ïî ïåðâûé èãðîê âûèãðûâàåò êîëè÷åñòâî äîëëàðîâ, ðàâíîå ýòîé ñóììå (à âòîðîé,
ñîîòâåòñòâåííî, ïðîèãðûâàåò). Åñòè ÷åòíà, òî âòîðîé èãðîê âûèãðûâàåò êîëè÷åñòâî äîëëàðîâ, ðàâíîå
ýòîé ñóììå.
Ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî óáåäèòüñÿ (ñäåëàéòå ýòî!), ÷òî åñëè ïåðâûé âûáèðàåò 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ
7=12 è 2 ñ âåðîÿòíîñòüþ 5=12, òî íåçàâèñèìî îò òîãî, êàê èãðàåò âòîðîé, åãî ñðåäíèé âûèãðûø ðàâåí
1=12$. Òî÷íî òàêæå, åñëè âòîðîé èãðîê âûáåðåò òàêóþ æå ñòðàòåãèþ, åãî ñðåäíèé ïðîèãðûø ðàâåí
1=12$. Ïîýòîìó îïèñàííàÿ ñòðàòåãèÿ èãðû îïòèìàëüíà.
 ñëó÷àå, êîãäà ìàòðèöà èãðû îáëàäàåò ñåäëîâîé òî÷êîé ai0 j0 , òî îïòèìàëüíîé ÿâëÿåòñÿ ÷èñòàÿ
ñòðàòåãèÿ âûáîðà ïåðâûì èãðîêîì ñòðîêè i0 , à âòîðûì èãðîêîì ñòîëáöà j0 .  ñëó÷àå, êîãäà ñåäëîâîé
òî÷êè íåò, îïòèìàëüíîé îêàçûâàåòñÿ íåêîòîðàÿ ñìåøàííàÿ ñòðàòåãèÿ, íàçûâàåìàÿ ìèíèìàêñíîé. Åå
ñóùåñòâîâàíèå ñëåäóåò èç ïðèíöèïà äâîéñòâåííîñòè äëÿ êîíå÷íîìåðíîé çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
×åðåç p; q áóäóò îáîçíà÷àòñÿ âñåâîçìîæíûå âåðîÿòíîñòíûå âåêòîðû ñìåøàííûõ ñòðàòåãèé äëÿ
ïåðâîãî è, ñîîòâåòñòâåííî, âòîðîãî èãðîêà.
(ôîí Íåéìàí) Åñëè èãðà èãðà äâóõ èãðîêîâ ñ íóëåâîé ñóììîé êîíå÷íà, òî ñóùåñòâóåò
âåëè÷èíà V , íàçûâàåìàÿ ñòîèìîñòüþ èãðû, äëÿ êîòîðîé âûïîëíåíî ðàâåíñòâî
Òåîðåìà 4.1.
n
X
X
min pi aij :
V = min
max aij qj = max
p j
q
i
i
j =1
Âåêòîðû p; q ñîîòâåòñòâóþò ñìåøàííûì ìèíèìàêñíûì ñòðàòåãèÿì.
Äëÿ ìàòðèö 2 2 èñêîìàÿ ñòðàòåãèÿ íàõîäèòñÿ ÿâíî.
Ïóñòü ìàòðèöà èãðû èìååò âèä
Ïðèìåð:
a b
d c
Òîãäà âûïîëíåíà àëüòåðíàòèâà: 1) ñóùåñòâóåò ñåäëîâàÿ òî÷êà è åñòü ÷èñòàÿ ìèèìàêñíàÿ ñòðàòåãèÿ,
2) a > b; b < c; c > d; d < a èëè a < b; b > c; c < d; d > a.
Âî âòîðîì ñëó÷àå
p1 =
c b
det A
c d
; q =
V=
:
(a b) + (c d) 1 (a b) + (c d)
a b+c d
Íåðàâåíñòâî Áðóííà-Ìèíêîâñêîãî è èçîïåðèìåòðè÷åñêîå íåðàâåíñòâî.
Ìû ïðèâåäåì ðåøåíèå ñòàðåéøåé âàðèàöèîííîé çàäà÷è èçîïåðèìåòðè÷åñêîé. Ðåçóëüòàò îêàæåòñÿ
ñëåäñòâèåì õîðîøî èçâåñòíîãî â ãåîìåòðèè è òåîðèè ìåðû íåðàâåíñòâà Áðóííà-Ìèíêîâñêîãî.
Òåîðåìà 4.2.
A; B Rn
Äëÿ êîìïàêòíûõ ìíîæåñòâ
n1
n1
âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
n1
(A + B ) (A) + (B ) :
Çäåñü ìåðà Ëåáåãà, à ïîä A + B ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñóììèðîâàíèå ïî Ìèíêîâñêîìó
A + B = fz : z = x + y; x 2 A; y 2 B g:
Ðåçóëüòàò âûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî íåðàâåíñòâà (ìóëüòèïëèêàòèâíîå íåðàâåíñòâî ÁÌ)
t 1 t
((1 t)A + tB ) (A) (B )
; 0 t 1:
(3)
Êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé òåîðåìû.
Òåîðåìà 4.3.
óñëîâèþ
Ïóñòü f; g; h íåîòðèöàòåëüíûå èçìåðèìûå ôóíêöèè èç L1(Rd), óäîâëåòâîðÿþùèå
h(tx + (1 t)y) f t (x)g1 t (y);
8
(4)
äëÿ íåêîòîðîãî 0 t 1 è âñåõZ x; y 2 Rd. Òîãäà
âûïîëíåíî
íåðàâåíñòâî
Z
Z
h dx f dx
t g dx
1 t
:
Rd
Rd
Rd
Ïðîñòîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ìîæíî íàéòè â ñòàòüå Barthe F., Autour de l'inegalite
de Brunn-Minkowski (ñì. òàêæå çàïèñêè ëåêöèé èëè ìàòåðèàëû ïî ñïåöêóðñó Êîëåñíèêîâ À.Â.
Ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà).
5.
Ëåêöèÿ 18
Ýòà ëåêöèÿ áûëà ïîñâÿùåíà ñìåøàííûì îáúåìàì âûïóêëûõ ìíîãîãðàííèêîâ. (Ó÷åáíûå ìàòåðèàëû:
çàïèñêè ëåêöèé Â.À.Òèìîðèíà ïî ñïåöêóðñó Âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè, ãëàâû 9-11, http://www.hse.ru/data/2011/0
9
Âàðèàöèîííîå èñ÷èëåíèå è îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, 2012 ã.
Äîìàøíåå çàäàíèå 9
Ñðîê ñäà÷è: 29 ôåâðàëÿ, ÷åòâåðã
(Çàäà÷è 1-3 âçÿòû èç êíèãè T. Ferguson Game theory)
1) Player I holds a black Ace and a red 8. Player II holds a red 2 and a black 7. The players
simultaneously choose a card to play. If the chosen cards are of the same color, Player I wins.
Player II wins if the cards are of dierent colors. The amount won is a number of dollars equal
to the number on the winner's card (Ace counts as 1.) Set up the payo function, nd the value
of the game and the optimal mixed strategies of the players.
2) Sherlock Holmes boards the train from London to Dover in an eort to reach the continent and so
escape from Professor Moriarty. Moriarty can take an express train and catch Holmes at Dover.
However, there is an intermediate station at Canterbury at which Holmes may detrain to avoid
such a disaster. But of course, Moriarty is aware of this too and may himself stop instead at
Canterbury. Von Neumann and Morgenstern (loc. cit.) estimate the value to Moriarty of these
four possibilities to be given in the following matrix (in some unspecied units).
Holmes
Moriarty
Canterbury
Dover
Canterbury
100
0
Dover
50
100
What are the optimal strategies for Holmes and Moriarty, and what is the value? (Historically,
as related by Dr. Watson in The Final Problem in Arthur Conan Doyle's The Memoires of
Sherlock Holmes, Holmes detrained at Canterbury and Moriarty went on to Dover.)
3) Solve the game with matrix
0 2
t 1
for an arbitrary real number t. (Don't forget to check for a saddle point!) Draw the graph of v (t),
the value of the game, as a function of t, for 1 < t < +1.
(Ó÷åáíûå ìàòåðèàëû ê çàäà÷àì 4-10: çàïèñêè ëåêöèé Â.À.Òèìîðèíà ïî ñïåöêóðñó Âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè,
ãëàâû 9-11, http://www.hse.ru/data/2011/06/03/1212338116/convpoly.pdf)
4) Íàéäèòå ñóììó Ìèíêîâñêîãî è ñìåøàííóþ ïëîùàäü äâóõ ðàâíîñòîðîííèõ òðåóãîëüíèêîâ è ïëîùàäè S. (Îáîçíà÷åíèå îçíà÷àåò, ÷òî ïîëó÷åí èç ãîìîòåòèåé ñ êîýôôèöèåíòîì
-1).
5) Âûâåäèòå íåðàâåíñòâî ÁðóííàÌèíêîâñêîãî èç ìóëüòèïëèêàòèâíîãî íåðàâåíñòâà ÁðóííàÌèíêîâñêîãî.
6) Âûâåäèòå ìóëüòèïëèêàòèâíîå íåðàâåíñòâî Áðóííà-Ìèíêîâñêîãî èç òåîðåìû 4.3, ñôîðìóëèðîâàííîé
íà ëåêöèè 17 (ñì. çàïèñêè ëåêöèé ïî äàííîìó êóðñó).
7) Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî òåîðåìà 4.3 äîêàçàíà äëÿ n = 1, âûâåäèòå ïî èíäóêöèè ìíîãîìåðíûé
ñëó÷àé.
8) Äîêàæèòå, ÷òî îáú¼ì "îêðåñòíîñòè òð¼õìåðíîãî òåòðàýäðà ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì îò ".
Âûðàçèòå êîýôôèöèåíòû ýòîãî ìíîãî÷ëåíà ÷åðåç ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè òåòðàýäðà
(äëèíû, óãëû è ïðî÷.).
9) Ðàññìîòðèì ñóììó Ìèíêîâñêîãî âûïóêëîãî ìíîæåñòâà A è øàðà B" ðàäèóñà " (òî åñòü
"îêðåñòíîñòü ìíîæåñòâà A). Ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå Òåéëîðà äëÿ îáú¼ìà òåëà
"2
c + :
2 2
Êàêîâ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë êîýôôèöèåíòîâ 1) c1 ? 2) c2 ?.
vol(A + B" ) = vol(A) + "c1 +
10) (à) Íàéäèòå ìíîãî÷ëåí îáúåìà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà êàê ôóíêöèþ îïîðíûõ
÷èñåë.
(á) Íàéäèòå ìíîãî÷ëåí îáúåìà ñèìïëåêñà, àíàëîãè÷íîãî äàííîìó, êàê ôóíêöèþ îïîðíûõ
÷èñåë.
10
6.
Ëåêöèÿ 19
Ýëåìåíòû òåîðèè èãð (ïðîäîëæåíèå)
Êàê ìû óæå îáñóæäàëè, ñóùåñòâîâàíèå ìèíèìàêñíîé ñòðàòåãèè äëÿ êîíå÷íîé èãðû ñ íóëåâîé
ñóììîé äëÿ äâóõ èãðîêîâ ñëåäóåò èç ïðèíöèïà äâîéñòâåííîñòè äëÿ çàäà÷è ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
Ïóñòü V ñòîèìîñòü èãðû. Ñóùåñòâóåò ïðîñòîå íåîáõîäèìîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè ñòðàòåãèè.
Ðàññìîòðèì êîíå÷íóþ èãðó ñ íóëåâîé ñóììîé äëÿ äâóõ èãðîêîâ c m n ìàòðèöåé
Ïóñòü p = (p1; ; pm) îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ
äëÿ ïåðâîãî èãðîêà è q = (q1; ; qm) P
îïòèìàëüíàÿ
ñòðàòåãèÿ
äëÿ
âòîðãî
èãðîêà.
Òîãäà
a
j ij qj = V äëÿ âñåõ i, äëÿ êîòîðûõ pi > 0 è
P
a
p
=
V
äëÿ
âñåõ
j
,
äëÿ
êîòîðûõ
q
>
0
.
j
i ij i
Òåîðåìà 6.1.
A.
Îáñóäèì òåïåðü êðàòêî èãðû ñ íåíóëåâîé ñóììîé.  ýòîì ñëó÷àå ìàêñèìèçàöèÿ ñîáñòâåííîãî
âûèãðûøà íå ýêâèâàëåíòíà ìèíèìèçàöèè âûèãðûøà ïðîòèâíèêà. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñòðàòåãèÿ ìàêñèìèçàöèè
âîçìîæíîãî ìèíèìóìà íå âñåãäà óäîâëåòâîðèòåëüíà.
Ïðèìåð 6.2.
Ìàêñèìèííàÿ ñòðàòåãèÿ è ñòðàòåãè÷åñêîå ðàâíîâåñèå.
Èãðîê èùóò, ñîîòâåòñòâåííî,
(2; 0) (1; 3)
(0; 1) (3; 2)
max min(2p1 ; p1 + 3(1 p1 )); max min(2p2 + (1 p2 ); 3(1 p2 ))
0p2 1
0p1 1
âåðîÿòíîñòü âûáîðà ïåðâîé ñòðîêè (ñòîëáöà). Ñìåøàííûå ìàêñèìèííûå ñòðàòåãèè
ðàâíû (3=4; 1=4) è (0; 1). Ñðåäíèé âûèãðûø ïåðâîãî íå ìåíüøå 3=2, à âòîðîãî 2.
Ïðè ðåàëèçàöèè îáåèõ ñòðàòåãèé ïåðâûé âûèãðûâàåò 3=2, à âòîðîé 11=4. Íî ïåðâûé ìîæåò
îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî âòîðîìó èãðîêó âîáùå íåâûãîäíî âûáèðàòü ïåðâûé ñòîëáåö, ïîòîìó
÷òî ïðè âûáîðå âòîðîãî âûèãðûø âñåãäà áîëüøå. Ïîýòîìó ïåðâîìó âûãîäíåå ïðèìåíèòü ÷èñòóþ
ñòðàòåãèþ âûáîðà âòîðîé ñòðîêè. Òîãäà âûèãðûø ïåðâîãî ðàâåí 3, âòîðîãî 2.
p1 (p2 )
 íåêîîïåðàòèâíîé èãðå íå ïðåäïîëàãàåòñÿ âîçìîæíîñòè êàêîãî-ëèáî ñîòðóäíè÷åñòâà ìåæäó
èãðîêàìè. Èãðîêè ëèáî ëèøåíû âîçìîæíîñòè îáùàòüñÿ, ëèáî ìîãóò ýòî äåëàòü, íî äëÿ íèõ íå
ñóùåñòâóåò íèêàêèõ îáÿçàòåëüñòâ ïðè ïðèíÿòèè ðåøåíèÿ. Âîçìîæíóþ èíòåðïðåòàöèþ òîãî, ÷òî
åñòü îïòèìàëüíîå ðåøåíèå â òàêîé èãðå, äàåò ïîíÿòèå ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó. Çàäàíî n íåïóñòûõ
êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ X1 ; ; Xn , Xi = f1; 2 ; mi g è n ôóíêöèé ui (x1 ; ; xn ), ïðåäñòàâëÿþùèõ
âûèãðûø i-ãî èãðîêà ïðè âûáîðå i-é ñòðàòåãèè. Ñîîòâåòñòâåííî, âåêòîð (x1 ; ; xn ) íàçûâàåòñÿ
âåêòîðîì ÷èñòîãî ñòðàòåãè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ, åñëè äëÿ âñåõ i
ui (x1 ; ; xi ; ; xn ) ui (x1 ; ; x; ; xn );
8 x 2 Xi :
Àíàëîãè÷íî èãðàì äëÿ äâóõ èãðîêîâ ìîæíî ðàññìîòðåòü ñìåøàííûå ñòðàòåãèè. i-é èãðîê âûáèðàåò
j -å ìíîæåñòâî ñ âåðîÿòíîñòüþ pij , pi = (pi1 ; ; pimi ). Cðåäíèé âûèãðûø i-ãî èãðîêà ðàâåí
m1
mn
X
X
gi (p1 ; ; pn ) =
p1j1 pnjn ui (j1 ; ; jn ):
j1 =1 jn =1
Âåêòîð ñìåøàííûõ ñòðàòåãèé (p1 ; ; pn ) íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì ñòðàòåãè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ, åñëè
i è âñåõ p'
gi (p1 ; ; pi ; pn ) gi (p1 ; ; p'; pn ):
äëÿ âñåõ
(Äæ. Íýø) Äëÿ êîíå÷íîé èãðû n èãðîêîâ ñóùåñòâóåò âåêòîð ñòðàòåãè÷åñêîãî
ðàâíîâåñèÿ, íàçûâàåìûì ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó.
Òåîðåìà 6.3.
Èãðà ìîæåò èìåòü, âîîáùå ãîâîðÿ, íåñêîëüêî ðàâíîâåñèé ïî Íýøó. Êðîìå ýòîãî, çíàìåíèòûé
ïðèìåð c äèëåììîé çàêëþ÷åííîãî ïîêàçûâàåò, ÷òî ìîæåò ñóùåñòâîâàòü âûáîð, ëó÷øèé äëÿ
âñåõ èãðîêîâ, ÷åì òî÷êà ðàâíîâåñèÿ.
Ïðèìåð 6.4.
Prisoners' Dilemma
Two cigarette companies each have the option of advertising on television or not. Prots are
Company2
Company1
don't advertise
advertise
don't advertise
(50; 50)
(60; 20)
11
advertise
(20; 60)
(27; 27)
Note that both companies are better o if they do not advertise. But that this is not a possible equilibrium
for this game, because if Company 1 does not advertise, then Company 2 will do better by advertising. The
only equilibrium is where they both advertise, but then each makes a prot of only 27. This is the classic
Prisoners' Dilemma. In 1971 the US government and the tabacco industry reached an agreement that
packages would carry a warning label and advertising on television would cease. There was a reduction
of advetising expenditure from $315 million in 1970 to $252 million in 1971. It came as something of a
surprise to the industry that their prots rose by $91.
12
7.
Ëåêöèÿ 20
Ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ â âàðèàöèîííûõ çàäà÷àõ. Ìíîãîìåðíûå âàðèàöèîííûå çàäà÷è.
Ïðèíöèï êîìïàêòíîñòè
Ïóñòü X ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Ôóíêöèÿ f : X ! R [ +1 íàçûâàåòñÿ
ïîëóíåïðåðûâíîé ñíèçó, åñëè äëÿ ëþáîé ñõîäÿùåéñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè xn ! x
Îïðåäåëåíèå 7.1.
f (x) limn!1 f (xn ):
Ïóñòü X êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, f ñîáñòâåííàÿ ïîëóíåïðåðûâíàÿ
ôóíêöèÿ íà X . Òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà x^, â êîòîðîé f äîñòèãàåò àáñîëþòíîãî ìèíèìóììà.
Òåîðåìà 7.2.
Ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ
Ïðîñòðàíñòâîì Ñîáîëåâà
W 1;p ([t0 :t1 ]) íà îòðåçêå [t0 ; t1 ] íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâî
p
àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé èç L ([t0; t1]), ïðîèçâîäíûå êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò Lp([t0; t1]).
Îïðåäåëåíèå 7.3.
Ïðîñòðàíñòâî Ñîáîëåâà îêàçûâàåòñÿ åñòåñòâåííûì ïðîñòðàíñòâîì ôóíêöèé, â êîòîðîì ñëåäóåò
èñêàòü ðåøåíèå êëàññè÷åñêîé âàðèàöèîííîé çàäà÷è. Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ
(Òîðåëëè) âûòåêàåò èç òåîðåìû î ìèíèìóìå ïîëóíåïðåðûâíûõ ñíèçó ôóíêöèîíàëîâ.
Ïóñòü èíòåãðàíä L(t; x; x_ ) íåïðåðûâåí ïî âñåì ïåðåìåííûì, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåì
ïî x_ . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îòîáðàæåíèå p ! L(t; x; p) âûïóêëî è âûïîëíåíî óñëîâèå ðîñòà
Òåîðåìà 7.4.
L(t; x; x_ ) jx_ jp + ; > 0; 2 R; p > 1:
Òîãäà ñóùåñòâóåò ðåøåíèå êëàññè÷åñêîé âàðèàöèîííîé çàäà÷è
Z t1
t0
L(t; x(t); x_ (t)) dt ! min; x(t0 ) = x0 ; x(t1 ) = x1
(àáñîëþòíûé ìèíèìóì) â ïðîñòðàíñòâå Ñîáîëåâà W 1;p([t0; t1]).
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû òåõíè÷åñêè ãðîìîçäêî, ïîýòîìó âìåñòî ýòîãî ìû îáñóäèì äðóãóþ
êëàññè÷åñêóþ çàäà÷ó àíàëèçà, ãäå äåéñòâóþò òå æå ñàìûå ïðèíöèïû.
Çàäà÷à Äèðèõëå
Íåîáõîäèìûå ïîíÿòèÿ èç ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà: Ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü â ãèëüáåðòîâîì
ïðîñòðàíñòâå, åå ýëåìåíòàðíûå ñâîéñòâà, ñóùåñòâîâàíèå ñëàáî ñõîäÿùåéñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ó ëþáîé îãðàíè÷åííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Äèðèõëå â ãëàäêîé ñâÿçíîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè
Rn
u = f; uj@ = 0:
(5)
2
Âñþäó äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî f 2 L (
).
Ïðîñòðàíñòâî ïðîáíûõ ôóíêöèé C01 (
) ñîñòîèò èç áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé,
çàíóëÿþùèõñÿ âíå íåêîòîðîãî êîìïàêòà K . Ïðîñòðàíñòâî Ñîáîëåâà W01;2 (
): ïîïîëíåíèå ïðîñòðàíñòâà
C01 (
) ïî íîðìå
s
u!
Z
u2 dx +
Z
jruj2 dx:
Ïîëó÷åííîå
ïðîñòðàíñòâî ìîæíî ñ÷èòàòü ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì ñ áèëèíåéíîé ôîðìîé
R
(u; v) ! (uv + hru; rvi) dx.
Êàæäàÿ ôóíêöèÿ u 2 W01;2(
) èìååò îáîáùåííóþ ïðîèçâîäíóþ vi âäîëü ëþáîé êîîðäèíàòû
xi , ò.å. ôóíêöèþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ ðàâåíñòâó:
Z
Z
Ëåììà 7.5.
u'x dx =
i
13
vi ' dx
äëÿ ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè ' 2 C01(
). Ïðè ýòîì vi 2 L2(
).
Äëÿ ãëàäêèõ ôóíêöèé îáîáùåííàÿ ïðîèçâîäíàÿ ñîâïàäàåò ñ îáû÷íîé. Ïîýòîìó äëÿ îáîáùåííîé
@u .
ïðîèçâîäíîé ìû òàêæå áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå @x
i
Îïðåäåëåíèå 7.6.
u 2 W 1;2 (
)
êîòîðîé ôóíêöèîíàë
Ñëàáûì ðåøåíèåì çàäà÷è Äèðèõëå (5) íàçîâåì ôóíêöèþ
0
Z
, íà
J (u) = (jruj2 + 2uf ) dx
äîñòèãàåò ìèíèìóìà.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîíÿòü, ïî÷åìó èìååò ñìûñë òàê îïðåäåëÿòü ðåøåíèå çàäà÷è Äèðèõëå, ïðåäïîëîæèì,
÷òî u ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ è ðàññìîòðèì âàðèàöèþ J :
Z
Z
J (u + ') J (u) = 2 (hru; r'i + 'f ) dx + o() = 2 '(f u) dx + o():
Çäåñü ' 2 C01 (
).  ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ìû ïðèìåíèëè èíòåãðèðîâàíèå ïî ÷àñòÿì. Îòñþäà
Z
J
(u + ') J (u)
= 2 '(f u) dx:
0 = lim
!0
Ïîýòîìó, â ïðåäïîëîæåíèè ãëàäêîñòè u ìû ïîëó÷àåì f = u.
Íàøà öåëü äîêàçàòü, ÷òî çàäà÷à Äèðèõëå îáëàäàåò ñëàáûì ðåøåíèåì. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà
ñóùåñòâîâàíèÿ ñëàáîãî ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ïîëóíåïðåðûâíîñòü ôóíêöèîíàëà J â ïðîñòðàíñòâå
W01;2 (
).
Ëåììà 7.7. (íåðàâåíñòâî Ïóàíêàðå/íåðàâåíñòâî Ôðèäðèõñà) (á.ä.)
êîíñòàíòà C , çàâèñÿùàÿ òîëüêî îòZ
, ÷òî äëÿ ëþáîé
u 2 W01;2 (
)
Z
u2 dx C
Ñóùåñòâóåò òàêàÿ
jruj2 dx:
Èç ëåììû 7.7 â ÷àñòíîñòè ñëåäóåò, ÷òî W01;2(
) íå ñîäåðæèò íåíóëåâûõ êîíñòàíò.
Çàäà÷à (5) îáëàäàåò åäèíñòâåííûì ñëàáûì ðåøåíèåì.
Äîêàçàòåëüñòâî.Z Çàìåòèì ñïåðâà,
÷òî â ñèëó íåðàâåíñòâà Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî è ëåììû 7.7
Z
Z
Z
Z
Çàìå÷àíèå 7.8.
Òåîðåìà 7.9.
fu dx "
u2 dx +
1
1
f 2 dx "C jruj2 dx +
f 2 dx:
4" 4
"
Âûáðàâ äîñòàòî÷íî ìàëåíüêèé ", ïîëó÷àåì
(1 )
Z
jruj2 dx
C1
Z
f 2 dx J (u) (1 + )
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî m = inf u2W 1;2 (
) J (u) >
0
Z
jruj2 dx + C2
Z
f 2 dx:
1. Íàéäåì òàêóþ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé
R
un , ÷òî
limn J (un ) = m. Èç íåðàâåíñòâ âûøå âèäíî, ÷òî supn jrun j2 dx < 1. Ñëåäîâàòåëüíî,
R
supn jun j2 dx < 1 è ìîæíî âûäåëèòü L2 (
) ñëàáî ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü un ! u0 .
Íàøà öåëü äîêàçàòü, ÷òî u0 èñêîìîå ðåøåíèå.
Äåéñòâèòåëüíî, äîêàæåì, ÷òî u0 2 W01;2 (
), ò.å. u0 îáëàäàåò îáîáùåííûìè ïðîèçâîäíûìè @xi u0 2
2
L (
). Âûäåëèì òî÷íî òàêæå ñëàáî ñõîäÿùóþñÿ
ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç @xi unm ! vi (ýòî ìû
R
ìîæåì ñäåëàòü â ñèëó îãðàíè÷åííîñòè jun j2 dx). Èìååì
Z
'vi dx = lim
m
Z
' @x un dx = lim
m
i
Z
m
@x ' un dx =
i
m
Z
@x ' u0 dx:
i
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ @xi u0 = vi . Òàêèì îáðàçîì (ïåðåõîäÿ, åñëè íåîáõîäèìî ê ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì),
ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî un ! u0 ñëàáî äëÿ ëþáîãî i.
Äàëåå, âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâîì ñëàáîé ñõîäèìîñòè: åñëè an ! a ñëàáî, òî kak limn kan k
(ïîëóíåïðåðûâíîñòü ñíèçó íîðìû îòíîñèòåëüíî ñëàáîé ñõîäèìîñòè). Ïîëó÷èì
Z
(@x u0 )2 dx limn
i
Z
(@x un )2 dx
i
2 dx lim R jrun j2 dx: Ïîëüçóÿñü ñëàáîé ñõîäèìîñòüþ, ïîëó÷àåì R fu0 dx =
Ñëåäîâàòåëüíî,
jr
u
j
0
n
R
limn fun dx. Â èòîãå
J (u0 ) limn J (un ) = m = inf1;2 J (u):
u2W0 (
)
R
14
Òàêèì îáðàçîì,
âûïóêëîñòè J
u1
Ò.å. u0 +
2
u0
òî÷êà ìèíèìóìà
J.
Åñëè
u1
ëþáàÿ äðóãàÿ òàêàÿ òî÷êà, òî â ñèëó
J ( u0 +2 u1 ) 21 J (u0 ) + J (u1 ) = m:
u1
òîæå òî÷êà ìèíèìóìà è J ( u0 +
2 ) = m . Íî òîãäà
Z
u +u
1
0 = J( 0 1)
J
(u0 ) + J (u1 ) =
jru1 ru0 j2 dx:
2
2
Èç ëåììû 7.7 ñëåäóåò, ÷òî u1
= u2
ïî÷òè âñþäó.
15
Âàðèàöèîííîå èñ÷èëåíèå è îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, 2012 ã.
Äîìàøíåå çàäàíèå 10
Ñðîê ñäà÷è: 22 ìàðòà, ÷åòâåðã
1) Íàéäèòå îáùóþ ôîðìóëó äëÿ îïòèìàëüíûõ ñìåøàííûõ ñòðàòåãèé èãð ñ íóëåâîé ñóììîé,
êîãäà ìàòðèöà èãðû äèàãîíàëüíàÿ, ñ ïîëîæèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè íà äèàãîíàëè.
2) Íàéäèòå ðåøåíèå äëÿ ñëåäóþùåé èãðû ñ íóëåâîé ñóììîé:
0
@
R
1
0
0
1
1 1
2 1 A
0 3
R
C (R) B jrf j2 dx
3) Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî BR f 2 dx äëÿ øàðà
R
ôóíêöèè f 2 C01 (
). Óêàçàíèå: âîñïîëüçóéòåñü ñîîòíîøåíèåì
Z R
x
BR = fx : jxj
Rg
è
hrf rn ; ni dr; n = jxj :
jxj
2
RR
jxj jrf rn j dr . Ïðîèíòåãðèðóéòå ïîëó÷åííîé íåðàâåíñòâî ïî BR
f (x) =
Ñëåäîâàòåëüíî f 2 (x) è âîñïîëüçóéòåñü ñôåðè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè è íåðàâåíñòâîì üëüäåðà.
4) Ïóñòü S ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü â R3 , çàäàííàÿ óðàâíåíèåì z = f (x; y ), (x; y ) 2 R2 ,
èìåþùàÿ ìèíèìàëüíóþ ïëîùàäü ñðåäè ïîâåðõíîñòåé ñ çàäàííîé ãðàíèöåé @S . Âûâåäèòå
âàðèàöèîííîå óðàâíåíèå (óðàâíåíèå Ýéëåðà-Ëàãðàíæà)
äëÿ S .
R
5) (Â.È. Àðíîëüä, Ìàò. òðèâèóì) Íàéòè inf x2 +y2 1 (u2x + u2y ) dxdy , ïî C 1 -ôóíêöèÿì, ðàâíûì 0
â íóëå è 1 ïðè x2 + y 2 = 1. Óêàçàíèå: âîñïîëüçîâàòüñÿ èíâàðèàíòíîñòüþ çàäà÷è îòíîñèòåëüíî
ïîâîðîòîâ è ñâåñòè çàäà÷ó ê îäíîìåðíîé.
6) Âûïèñàòü âàðèàöèîííóþ çàäà÷ó, äëÿ êîòîðîé óðàâíåíèå Ýéëåðà-Ëàãðàíæà èìååò âèä u +
u = f , uj@ = 0.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, Ãàëååâ Ý.Ì., Çåëèêèí Ì.È., Êîíÿãèí Ñ.Â. è äð. ÌÖÍÌÎ, 2008.
[2] Ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà, Êîëåñíèêîâ À.Â. vyshka.math.ru/1112/sobolev.html
[3] Âûïóêëûå ìíîãîãðàííèêè, Òèìîðèí Â.À. http://www.hse.ru/data/2011/06/03/1212338116/convpoly.pdf
[4] Game theory, T.S. Ferguson
[5] Linear programming: a concise introduction, T.S. Ferguson
16