Т. Ф. Савина О ПОЛНЫХ СЕМЕЙСТВАХ ГОМОМОРФИЗМОВ ИГР

òî èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ
1
−
2πi
I
Γν
1
−
2πi
I
Γν
v0 (x, λ; f ) dλ = f0 (x) + o(1)
ïðè
ν → ∞,
v1 (x, λ; f ) dλ = f1 (x) + o(1)
ïðè
ν → ∞.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ïðîåêò 1001-00270) è ãðàíòà Ïðåçèäåíòà ÐÔ (ïðîåêò ÍØ-4383.2010.1).
ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1.
Íàéìàðê Ì. À.
2.
Õðîìîâ À. Ï.
Ëèíåéíûå äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû. Ì., 1969. 528 ñ.
Ðàçëîæåíèå ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì îäíîé êðàåâîé çàäà÷è
òðåòüåãî ïîðÿäêà // Èññëåäîâàíèÿ ïî òåîðèè îïåðàòîðîâ. : ñá. íàó÷. òð. Óôà, 1988.
C. 182193.
ÓÄÊ 519.83
Ò. Ô. Ñàâèíà
Î ÏÎËÍÛÕ ÑÅÌÅÉÑÒÂÀÕ ÃÎÌÎÌÎÐÔÈÇÌÎÂ ÈÃÐ
Ñ ÎÒÍÎØÅÍÈßÌÈ ÏÐÅÄÏÎ×ÒÅÍÈß
Äëÿ
èãð
ñ
A, (ρi )i∈N , F i
îòíîøåíèÿìè
ïðåäïî÷òåíèÿ
=
G
âèäà
h(Xi )i∈N ,
êàê äëÿ àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì [1] åñòåñòâåííûì îáðàçîì
ââåäåíî ïîíÿòèå ãîìîìîðôèçìà [2]. Âîïðîñ î ñîõðàíåíèè îïòèìàëüíûõ
ðåøåíèé ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé èãðû ñ îòíîøåíèÿìè ïðåäïî÷òåíèÿ ê
äðóãîé ñ ïîìîùüþ ãîìîìîðôèçìà áûë ðàññìîòðåí â ðàáîòå [3] íà áàçå
óñëîâèé êîâàðèàíòíîñòè è êîíòðàâàðèàíòíîñòè ãîìîìîðôèçìîâ.  íàñòîÿùåé ñòàòüå äàíî òî÷íîå îïèñàíèå ìíîæåñòâà îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé
[4] èãðû íà îñíîâå ïîëíîòû ñåìåéñòâà ãîìîìîðôèçìîâ.
Îïòèìàëüíûìè ðåøåíèÿìè â èãðå ÿâëÿþòñÿ ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ
è äîïóñòèìûå (âïîëíå äîïóñòèìûå) èñõîäû. Ââåäåì ñîîòâåòñòâóþùèå
îïðåäåëåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 1.
•
Ñèòóàöèÿ
x0 = x0i
i∈N
∈X
â èãðå
ñèòóàöèåé îáùåãî ðàâíîâåñèÿ , åñëè äëÿ êàæäîãî
xi ∈ Xi
ρi
âûïîëíåíî óñëîâèå
• ñèòóàöèåé
G
íàçûâàåòñÿ
i ∈ N
è ëþáûõ
F (x0 k xi ) ≯ F (x0 );
ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó, åñëè âûïîëíÿåòñÿ
92
0
ρi
F (x k xi ) . F (x0 ).
Îïðåäåëåíèå 2.
Èñõîä a íàçûâàåòñÿ
• äîïóñòèìûì â èãðå G, åñëè äëÿ êàæäîãî èãðîêà i ∈ N âûïîëíåíî
ρi
¬ (∃xi ∈ Xi ) ∀xN \i ∈ XN \i F xi , xN \i > a,
•
G, åñëè äëÿ êàæäîãî èãðîêà i ∈ N âûïîë ρi
(∀xi ∈ Xi ) F xi , xN \i ≯ a.
âïîëíå äîïóñòèìûì â èãðå
íåíî ∃xN \i ∈ XN \i
Ïóñòü K è K äâà êëàññà èãð ñ îòíîøåíèÿìè ïðåäïî÷òåíèÿ ìíîæåñòâà èãðîêîâ N
= {1, . . . , n}. Çàôèêñèðóåì â
ýòèõ êëàññàõ íåêîòîðûå ïðèíöèïû îïòèìàëüíîñòè; áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç Opt G ìíîæåñòâî îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé èãðû G = h(Xi )i∈N , A, (ρi )i∈N , F i ∈ K, ÷åðåç Opt Γ ìíîæåñòâî
îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé èãðû Γ = h(Yi )i∈N , B, (σi )i∈N , Φi ∈ K .
Îïðåäåëåíèå 3. Íàáîð îòîáðàæåíèé f
= (ϕ1 , . . . , ϕn , ψ), ãäå
ϕi : Xi → Yi (i ∈ N ) è ψ : A → B íàçûâàåòñÿ ãîìîìîðôèçìîì èãðû G
â èãðó Γ, åñëè äëÿ ëþáîãî èíäåêñà i ∈ N , ëþáûõ ýëåìåíòîâ a1 , a2 ∈ A
è ëþáîé ñèòóàöèè x = (x1 , . . . , xn ) ∈ X âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå äâà
óñëîâèÿ:
Hom1:
ψ(F (x1 , . . . , xn )) = Φ(ϕ1 (x1 ), . . . , ϕn (xn )),
ρi
Hom2:
σi
a1 . a2 ⇒ ψ(a1 ) . ψ(a2 ).
Ãîìîìîðôèçì f èãðû G â èãðó Γ íàçûâàåòñÿ ñòðîãèì, åñëè äëÿ êàæäîãî i ∈ N äîïîëíèòåëüíî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå
Str:
ρi
σi
a1 < a2 ⇒ ψ(a1 ) < ψ(a2 ).
Çàôèêñèðóåì íåêîòîðûé êëàññ H ãîìîìîðôèçìîâ
èç èãð êëàññà K â èãðû êëàññà K . Ãîìîìîðôèçìû êëàññà H íàçûâàþòñÿ
êîâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî êëàññîâ (K, K ), åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ
èãð G ∈ K è Γ ∈ K è ëþáîãî ãîìîìîðôèçìà f ∈ H
f îáðàç
îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ èãðû G åñòü îïòèìàëüíîå ðåøåíèå â èãðå Γ, è
êîíòðàâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî êëàññîâ (K, K ), åñëè äëÿ ëþáûõ
äâóõ èãð G ∈ K è Γ ∈ K è ëþáîãî ãîìîìîðôèçìà f ∈ H
f ïðîîáðàç
îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ èãðû Γ åñòü îïòèìàëüíîå ðåøåíèå â èãðå G.
Îïðåäåëåíèå 5. Ñåìåéñòâî ãîìîìîðôèçìîâ (f j )j∈J íàçûâàåòñÿ êîâàðèàíòíî ïîëíûì, åñëè äëÿ êàæäîãî îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ p ∈ Opt G
ñóùåñòâóåò òàêîé èíäåêñ j ∈ J , ÷òî f j (p) ∈ Opt Γj .
Ñåìåéñòâî ãîìîìîðôèçìîâ (f j )j∈J íàçûâàåòñÿ êîíòðàâàðèàíòíî
ïîëíûì, åñëè óñëîâèå ¾f j (p) ∈ Opt Γj äëÿ âñåõ j ∈ J ¿ âëå÷åò p ∈ Opt G.
Îïðåäåëåíèå 4.
93
Ëåììà
1. Ñåìåéñòâî ãîìîìîðôèçìîâ
(f j )j∈J
ÿâëÿåòñÿ êîâàðèàíòíî ïîë-
íûì ñåìåéñòâîì êîíòðàâàðèàíòíûõ ãîìîìîðôèçìîâ òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà âûïîëíåíî ðàâåíñòâî:
Opt G =
S
j∈J
2. Ñåìåéñòâî ãîìîìîðôèçìîâ
(f j )j∈J
f −1
j (Opt Γj ).
ÿâëÿåòñÿ êîíòðàâàðèàíòíî
ïîëíûì ñåìåéñòâîì êîâàðèàíòíûõ ãîìîìîðôèçìîâ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíî ðàâåíñòâî:
Opt G =
T
j∈J
f −1
j (Opt Γj ).
Ïóñòü K êëàññ èãð ñ óïîðÿäî÷åííûìè èñõîäàìè, K êëàññ èãð ñ
ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûìè èñõîäàìè.  êà÷åñòâå îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé
èãðû G ∈ K âîçüìåì ìíîæåñòâî åå ñèòóàöèé ðàâíîâåñèÿ, â êà÷åñòâå îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé èãðû Γ ∈ K ìíîæåñòâî åå ñèòóàöèé ðàâíîâåñèÿ
ïî Íýøó. Òîãäà ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1
1. Îòíîñèòåëüíî óêàçàííûõ êëàññîâ èãð è èõ îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé âñå ñòðîãèå ãîìîìîðôèçìû ÿâëÿþòñÿ êîíòðàâàðèàíòíûìè.
2. Äëÿ êàæäîé èãðû
ìîâ â èãðû êëàññà
K
G∈K
ñåìåéñòâî âñåõ åå ñòðîãèõ ãîìîìîðôèç-
ÿâëÿåòñÿ êîâàðèàíòíî ïîëíûì.
Çàôèêñèðóåì äâå èãðû G ∈ K, Γ ∈ K è
íåêîòîðûé ãîìîìîðôèçì f èç èãðû G â èãðó Γ.
Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 1 ïðîâîäèòñÿ
ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî.
0
0
0
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñèòóàöèÿ x = x1 , . . . , xn íå áóäåò ñèòóàöèåé îáùåãî
ðàâíîâåñèÿ â èãðå G, ïîëó÷àåì
ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî ñèòóàöèÿ ϕ(x0 ) =
= ϕ1 (x01 ), . . . , ϕn (x0n ) ÿâëÿåòñÿ ñèòóàöèåé ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó â èãðå Γ.
Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèÿ 2 ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ñòðîãîãî ãîìîìîðôèçìà f èç èãðû G â íåêîòîðóþ èãðó Γ ñ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûìè èñõîäàìè òàêîãî, ÷òî äëÿ êàæäîé ñèòóàöèè îáùåãî ðàâíîâåñèÿ x0 èãðû G ñèòóàöèÿ ϕ(x0 ) áóäåò ñèòóàöèåé ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó â
èãðå Γ. Ñóùåñòâîâàíèå èñêîìîãî ñòðîãîãî ãîìîìîðôèçìà îñíîâàíî íà
ëåììå 2 [5]. Ñèòóàöèÿ x0 áóäåò ñèòóàöèåé ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó â èãðå
Γ = h(Xi )i∈N , A, (ρi )i∈N , F i ñ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûìè èñõîäàìè. Ïðè
ýòîì íàáîð òîæäåñòâåííûõ îòîáðàæåíèé (∆X1 , . . . , ∆Xn , ∆A ) áóäåò ñòðîãèì ãîìîìîðôèçìîì èç èãðû G â èãðó Γ.
Òåîðåìà 1 äîêàçàíà.
Äàëåå, äëÿ òåõ æå êëàññîâ èãð ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå òèïû îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé.  êà÷åñòâå îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé èãðû G ∈ K âîçüìåì ìíîæåñòâî åå ñèòóàöèé ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó, â êà÷åñòâå îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé èãðû Γ ∈ K ìíîæåñòâî åå ñèòóàöèé ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó.
Òîãäà ñïðàâåäëèâà
Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà.
94
Òåîðåìà 2
1. Îòíîñèòåëüíî óêàçàííûõ êëàññîâ èãð è èõ îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé âñå ñòðîãèå ãîìîìîðôèçìû ÿâëÿþòñÿ êîâàðèàíòíûìè.
2. Äëÿ êàæäîé èãðû
ìîâ â èãðû êëàññà
K
G∈K
ñåìåéñòâî âñåõ åå ñòðîãèõ ãîìîìîðôèç-
ÿâëÿåòñÿ êîíòðàâàðèàíòíî ïîëíûì.
Ñõåìà äîêàçàòåëüñòâà. Çàôèêñèðóåì äâå èãðû
íåêîòîðûé ãîìîìîðôèçì
f
èç èãðû
G
â èãðó
G ∈ K, Γ ∈ K
Γ.
1. Ïðèìåíÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî ñâîéñòâà ãîìîìîðôèçìà
ê ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó
0
ϕ(x )
x0
â èãðå
è
G,
Hom2, Hom1
ïîëó÷àåì, ÷òî ñèòóàöèÿ
ÿâëÿåòñÿ ñèòóàöèåé ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó â èãðå
Γ.
2. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîâîäèòñÿ ìåòîäîì îò ïðîòèâíîãî ñ ïðèìåíåíèåì
h(Xi )i∈N , A, (ρi )i∈N , F i = Γ, â êîòîðîé
ïîðÿäêà åñòü ρi , à äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ èãðî0
ëåììû 2 [5]. Ðàññìîòðèì èãðó
äëÿ èãðîêà
êîâ
ρj .
j 6= i0
 èãðå
i0
îòíîøåíèå
îòíîøåíèå
Γ
ρj
åñòü ëþáîå ëèíåéíîå äîóïîðÿäî÷åíèå ïîðÿäêà
ñ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûìè èñõîäàìè ñèòóàöèÿ
x0
íå áóäåò
ñèòóàöèåé ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó, à ñèñòåìà òîæäåñòâåííûõ îòîáðàæåíèé
ϕi = ∆Xi (i ∈ N ); ψ = ∆A ÿâëÿåòñÿ ñòðîãèì ãîìîìîðôèçìîì èç èãðû G
â èãðó Γ ñ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûìè èñõîäàìè, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåä0
ïîëîæåíèþ î òîì, ÷òî ñèòóàöèÿ ϕ(x ) ÿâëÿåòñÿ ñèòóàöèåé ðàâíîâåñèÿ ïî
Íýøó â èãðå ñ ëèíåéíî óïîðÿäî÷åííûìè èñõîäàìè.
Òåîðåìà 2 äîêàçàíà.
ÁÈÁËÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÈÉ ÑÏÈÑÎÊ
1. Áîãîìîëîâ À. Ì., Ñàëèé Â. Í. Àëãåáðàè÷åñêèå îñíîâû òåîðèè äèñêðåòíûõ ñèñòåì. Ì. : Íàóêà. Ôèçìàòëèò, 1997. 368 ñ.
2. Ñàâèíà Ò. Ô. Ãîìîìîðôèçìû èãð ñ îòíîøåíèÿìè ïðåäïî÷òåíèÿ // Äèñêðåòíàÿ
ìàòåìàòèêà è åå ïðèëîæåíèÿ: ìàòåðèàëû X Ìåæäóíàðîäíîãî ñåìèíàðà: Ìîñêâà, 1
6 ôåâðàëÿ 2010 ã.. Ì.: Èçäàòåëüñòâî ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ,
2010. Ñ. 426428.
3. Ñàâèíà Ò. Ô. Êîâàðèàíòíûå è êîíòðàâàðèàíòíûå ãîìîìîðôèçìû èãð ñ îòíîøåíèÿìè ïðåäïî÷òåíèÿ // Èçâ. Ñàðàò. óí-òà. Íîâ. ñåð. 2009. Ò. 9. Ñåð. Ìàòåìàòèêà.
Ìåõàíèêà. Èíôîðìàòèêà, âûï. 3. Ñ. 6670.
4. Ñàâèíà Ò. Ô. Îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ â èãðàõ ñ îòíîøåíèÿìè ïðåäïî÷òåíèÿ //
Èçâ. Ñàðàò. óí-òà. Íîâ. ñåð. 2011. Ò. 11. Ñåð. Ìàòåìàòèêà. Ìåõàíèêà. Èíôîðìàòèêà.
âûï. 2. Ñ. 3236.
5.
Ðîçåí Â. Â.
Ðåäóöèðóåìîñòü îïòèìàëüíûõ ðåøåíèé èãð ñ óïîðÿäî÷åííûìè
èñõîäàìè // Òåîðèÿ ïîëóãðóïï è åå ïðèëîæåíèÿ. Âîïðîñû àêñèîìàòèçàöèè. 1988.
Ñ. 5060.
95