Тема: Формула полной вероятности и формула Байеса

Задача скачана с сайта www.MatBuro.ru
©МатБюро - Решение задач по высшей математике
Тема: Формула полной вероятности и формула Байеса
ЗАДАНИЕ. Из 30 стрелков 12 попадает в цель с вероятностью 0,6, 8 - с вероятностью 0,5
и 10 – с вероятностью 0,7. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, поразив цель.
К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
РЕШЕНИЕ. Введем полную группу гипотез:
H 1 = (Стрелок принадлежал первой группе),
H 2 = (Стрелок принадлежал второй группе),
H 3 = (Стрелок принадлежал третьей группе).
По классическому определению вероятности:
12 2
8
4
10 1
P ( H 1) =
= , P ( H 2) =
= , P ( H 3) =
= .
30 5
30 15
30 3
Введем событие A = (Стрелок попал в мишень). Выпишем условные вероятности:
P ( A | H 1) = 0, 6 , P ( A | H 2) = 0,5 , P ( A | H 3) = 0, 7 .
Найдем сначала вероятность события A по формуле полной вероятности:
P ( A) = P ( A | H 1) P ( H 1) + P ( A | H 2) P ( H 2) + P ( A | H 3) P ( H 3) =
2
4
1
= ⋅ 0, 6 + ⋅ 0,5 + ⋅ 0, 7 ≈ 0, 607.
5
15
3
Теперь найдем апостериорные вероятности того, что стрелок принадлежал i -ой группе,
если он попал в цель, по формуле Байеса.
2
⋅ 0, 6
P( H 1) P( A | H 1) 5
P( H 1| A) =
=
≈ 0,395 ,
P( A)
0, 607
4
⋅ 0,5
P( H 2) P( A | H 2) 15
P( H 2 | A) =
=
≈ 0, 22 ,
P( A)
0, 607
1
⋅ 0, 7
P( H 3) P( A | H 3) 3
P( H 3 | A) =
=
≈ 0,384 .
P( A)
0, 607
Таким образом, вероятнее всего стрелок принадлежал первой группе.
ОТВЕТ. первой группе.