Построение составной формулы Гаусса
advertisement
Построение составной формулы Гаусса Пусть p — количество узлов в формуле Гаусса; m — количество разбиений промежутка интегрирования [a, b], h = (b − a)/m, точки разбиения ai = a + ih, i = 0, 1, ..., m, так что am = b, mp = n. Тогда Zb f (x)dx = p m−1 XX Bj f i=0 j=1 m−1 X f (x)dx = i=0 a h ≈ 2 ai +h m−1 X Z i=0 ai h h tj + ai + 2 2 ! h = 2 h 2 Z1 f h h t + ai + 2 2 ! dt ≈ −1 p m−1 XX Bj f i=0 j=1 ! h h tj + a + (2 i + 1) . 2 2 Здесь Bj , tj — коэффициенты и узлы квадратурной формулы Гаусса. Для реализации алгоритма метода механических квадратур необходимо получить выражения для Ak , xk в формуле Zb f (x)dx ≈ a n X Ak f (xk ). k=1 Очевидно, что коэффициенты вычисляются следующим образом: h h h B1 , A2 = B2 , . . . , Ap = Bp , 2 2 2 h h h Ap+1 = B1 , Ap+2 = B2 , . . . , A2p = Bp , 2 2 2 h h h A(m−1)p+1 = B1 , A(m−1)p+2 = B2 , . . . , Amp = Bp , 2 2 2 A1 = h то есть Aip+j = Bj , i = 0, . . . , m − 1, j = 1, . . . , p. 2 Узлы квадратурной формулы: h h tj + a + (2i + 1) , i = 0, . . . , m − 1, j = 1, . . . , p. 2 2 Напомним квадратурные формулы Гаусса для p = 2 и для p = 3. ! ! R1 1 1 f (t)dt ≈ f − √ +f √ , 3 3 −1 r ! r ! R1 5 3 8 5 3 f (t)dt ≈ f − + f (0) + f . 9 5 9 9 5 −1 xip+j = 1
