Лекция 2. Теорема Остроградского – Гаусса © Музыченко Я.Б., 2014

Лекция 2. Теорема
Остроградского – Гаусса
© Музыченко Я.Б., 2014
Принцип суперпозиции
  

E  E1  E2  ...  En
Расчет напряженности протяженных заряженных тел:
1. заряженное тело разбивают на бесконечно малые
части, считая их точечными зарядами;
2. расчет напряженности поля, создаваемого
отдельными частями;
3. суммирование напряженностей согласно принципу
суперпозиции;
4. суммирование → интегрирование.
Историческая справка
Теорема Остроградского – Гаусса – основная теорема
электродинамики;
применяется
для
расчета
электрических полей; входит в систему уравнений
Максвелла.
1826 г. – М.В. Остроградский, вывел
общую формулу, не связанную с
задачами физики (электродинамики).
(преобразование объемного интеграла к
поверхностному).
1844 г. – К.Ф. Гаусс, взаимосвязь потока
вектора напряженности электрического
поля и зарядом в объеме, ограниченной
этой поверхностью.
Поток вектора напряженности
электрического поля
Поток dФ через площадку dS:
 
d  E  dS  En dS  E  dS  cos 
dS


dS  dS  n
- пропорционален
числу
линий
напряженности электрического поля,
пронизывающих площадку dS.
En  E  cos  - проекция вектора напряженности на
направление нормали.
[Ф] = B∙м
4
Поток вектора напряженности
электрического поля
Поток – величина алгебраическая – знак зависит от
выбора направления нормали к поверхности.
5
Поток вектора напряженности
через произвольную поверхность:
 
Ф   d   EdS   EndS
S
S
S
через замкнутую поверхность:
 
Ф   d   EdS   EndS
S
S
S
однородного поля (E=const) через поверхность S
 
Ф  E  S  En  S  E  S  cos 
α – угол между нормалью к поверхности и линиями
напряженности электрического поля.
6
Теорема Гаусса
Поток вектора напряженности 𝐸 через замкнутую
поверхность равен алгебраической сумме зарядов,
заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε0.
  1
 EdS    qвнутр
0
S
Пример. S1, S2, S3, S4 – замкнутые поверхности.
Ф1 
Ф2 
Ф3 
Ф4 
7
Доказательство теоремы Гаусса
Телесный угол – часть пространства, ограниченная
некоторой конической поверхностью.
d
d 
r
dS  cos
r2
[]  стерадиан ср
1 стерадиан – телесный угол, вырезающий на сфере,
описанной вокруг вершины угла, поверхность, площадь
которой равна квадрату радиуса сферы
 max( полный ) 
4r
r2
2
 4
8
Доказательство теоремы Гаусса
Поле точечного заряда:
1
q
E

40 r 2
 
d  EdS 
1
q
q
  dS cos 
 d
2
40 r
40
q
q
   d 
d 

40 S
0
S
Непрерывное распределение заряда:
  q
1
 EdS      dV
0
0V
S
ρ – объемная плотность
распределения заряда.
9
Применение теоремы Гаусса
Применяется для расчета электрических полей в задачах со
специальной симметрией .
1. Напряженность электрического поля бесконечной
равномерно
заряженной
плоскости
с
поверхностной плотностью заряда σ.

E
20
Поле однородно (в каждой точке
поля E=const)
2.
Напряженность поля двух
бесконечных
равномерно
заряженных
параллельных
плоскостей.
10
Применение теоремы Гаусса
3. Напряженность электрического поля цилиндра
(нити) радиусом R, равномерно заряженного с
линейной плотностью τ.
при r  R
E 0
при r  R
1 
E

20 r
11
Применение теоремы Гаусса
4. Напряженность электрического поля равномерно
заряженной сферы радиусом R с зарядом q.
при r  R
E 0
при r  R
1
q
E

40 r 2
12
Применение теоремы Гаусса
5. Напряженность электрического поля равномерно
заряженного по объему шара радиусом R с
зарядом q.
при r  R
1
qr
E

40 R3
при r  R
1
q
E

40 r 2
13
Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Теорема Гаусса в интегральной форме:
  q
1
1
 EdS      dV    V
0
0V
0
S
или
1   1
EdS 


VS
0
V→0 (плотность в объеме можно считать постоянной)
1   1
lim  EdS  
0
V 0 V S

1  
divE  lim  EdS - дивергенция
V 0 V S
14
Теорема Гаусса в дифференциальной форме
Дивергенция
координатах:
векторного
поля
в
декартовых
 E x E y E z
divE 


x
y
z
Векторный дифференциальный оператор набла:
   
i
 j k
x
y
z
Теорема Гаусса в дифференциальной форме:

 
divE    E 
0
15
Теорема Гаусса
Теорема Гаусса в дифференциальной форме является
локальной теоремой: она связывает плотность ρ и
divE в одной и той же точке поля.
Во всех точках поля где div>0 имеются источники
поля – положительные заряды, а в тех точках где
div<0, находятся отрицательные заряды – стоки поля.

 
divE    E 
0
Теорема Гаусса в интегральной форме устанавливает
взаимосвязь между физическими величинами в сколь
угодно далеких точках пространства в один и тот же
момент времени.
  q
1
 EdS      dV
0
0V
S
16