Билет 9 _1,2

Билет № 9
1. Теорема о средней линии треугольника.
2. Формула площади круга. Запись, вывод.
Вопрос № 1
Теорема о средней линии треугольника
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
На рисунке MN – средняя линия ∆ АВС, так как AM = MB и BN = NC.
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и
равна половине этой стороны.
B
Дано: ∆ АВС, MN – средняя линия.
М
1
N
Доказать: MN || AC, MN = 1 AC.
2
2
A
C
Доказательство
Рассмотрим ∆ BMN и ∆ BAC. В треугольниках ∠ В – общий, а
BM BN 1
=
= , так как MN – средняя линия. Следовательно, ∆ BMN ~ ∆ BAC по
BA BC 2
II признаку подобия треугольников (по двум пропорциональным сторонам и
углу, заключённому между ними).
В подобных треугольниках соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны, поэтому ∠ 1 = ∠ 2 и
MN 1
= .
AC 2
Так как ∠ 1 = ∠ 2 и они являются соответственными углами, образованными при пересечении прямых MN и AC секущей АВ, то MN || AC по признаку
параллельности прямых, согласно которому, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. А так как
MN 1
1
= , то MN = AC.
AC 2
2
Итак, средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и
равна половине этой стороны.
Ч.т.д.
Вопрос № 2
Формула площади круга. Запись, вывод
Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.
Круг радиуса R с центром О содержит точку О и все точки плоскости, находящиеся от точки О на расстоянии, не большем R.
Выведем формулу для нахождения площади
круга. Для этого рассмотрим правильный nугольник А1А2…Аn вписанный в окружность, ограО
ничивающую круг (рис. 1). Площадь S данного кру•
An га больше площади S n-угольника А А …А , так как
A3
n
1 2
n
R
n-угольник полностью содержится в круге, а плоrn
щадь Sn′ круга, вписанного в n-угольник, меньше Sn,
так как этот круг полностью содержится в n-угольнике,
A2
A1
то есть Sn′ < Sn < S.
Рис . 1
°
, где rn – радиус
Известно, что rn = R cos 180
n
вписанной в n-угольник окружности. Будем неограниченно увеличивать число
° → 0, тогда cos 180° → 1, поэтому r → R. Знасторон n-угольника. При n → ∞ 180
n
n
n
чит, при неограниченном увеличении числа сторон n-угольника вписанная в него
окружность «стремиться» к описанной окружности, то есть Sn′ → S при n → ∞.
Известно, что Sn = 12 Pnrn, где Sn − площадь правильного n-угольника, Pn −
его периметр, rn – радиус вписанной окружности.
Учитывая, что , rn → R, Pn → С, где С – длина окружности, ограничивающая
круг, то есть Pn → 2πR, а Sn → S при n → ∞, получаем, что S = 12 ⋅2πR ⋅ R = πR2.
Итак, для вычисления площади S круга радиуса R получили формулу
S = πR 2 .
Так как D = 2R, то получаем формулу для вычисления площади круга
диаметра D:
πD 2
S=
.
4
Круговым сектором называется часть круга, ограниченная дугой и двумя
радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга (рис. 2).
Выведем формулу для нахождения площади кругового сектора S радиуса
R, ограниченного дугой с градусной мерой α.
α
360°
1°
α
S
πR2
πR 2
360°
πR 2
α
360°
Итак, площади кругового сектора S радиуса R, ограниченного дугой с
градусной мерой α, вычисляется по формуле
πR 2
S=
α.
360
Круговым сегментом называется общая часть круга и полуплоскости
(рис. 3).Площадь сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле
πR 2
S=
α ± SΔ ,
360
где α − градусная мера центрального угла, который содержит дугу этого кругового сегмента, а S∆ – площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак «−» надо брать,
когда α < 180°, а знак «+» надо брать, когда α > 180°.
O
O
•
A
•
•
Рис . 2
O
•
B
•
A
•
•
B
A
•
•
B
Рис . 3
Замечание. В течение многих веков математики решали задачу о квадратуре круга: построить с помощью циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга, но лишь в конце XIX века было доказано,
что такое построение невозможно.