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SVE201-2010-2011
C. Reder
Peut-on aluler AB , BA, et si oui, les aluler.
Feuille d'exeries 3 : Calul matriiel
Exerie 1.
a) A =
0
1
Exerie 2.
Exerie 3.
1
1
B=
1 2
b) A =
1
−1 0


3
B= 2 
1
Etant donnée une matrie A, sous quelle ondition peut-on aluler A2 = AA ?
a) Développer le produit (A + B)(A + B), où A et B sont des matries arrées de
même taille. 0
b) Soit A = 00 10 et B = −1
. Caluler C = A + B, puis C 2.
0 1
) Caluler C 2 en utilisant le a).
(3I2 + 4B)2 .
a) Développer
b) On prend B = 00 10 . Caluler B2 . Quels sont les oeients de la matrie (3I2 + 4B)2 ?
Quels sont les oeients de la matrie (3I2 + 4B)3 ?
Exerie 4.
Exerie 5.
a) On pose


0 1 0
B= 0 0 1
0 0 0

2 1
 0 2
0 0

. Caluler B2, B3, Bn pour n ≥ 4.
2
0
1 
2
b) En déduire les oeients de
, de

2
 0
0
1
2
0
3
0
1 
2
, de

2
 0
0
n
1 0
2 1 
0 2
On onsidère la matrie C de l'exerie 3b.
C −1 .
a) Sans alul supplémentaire, déduire de l'exerie
3 que Cest inversible et donner
b) Quelles sont les solutions du système C xy = 37
? Du système C xy = 01 ?
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Exerie 6.
Exerie 7.
On pose


1 0
0 1 
0 0
0
B= 0
0
, et A = 3I3 − B.
1) Utiliser l'exerie 5-a pour développer le produit A(aI3 + bB + cB2 ), où a, b, c sont des réels
arbitraires.
2) Déterminer a, b, c pour que e produit soit égal à I3 .
2) En déduire que A est inversible et donner les oeients de A−1 .
a) Par la méthode du pivot de Gauss, résoudre le système
Exerie 8.
 −x

où α, β, γ sont des réels arbitraires.

x
−1
A= 0
1
b) En déduire que la matrie
donner les oeients de A−1.
−
+
+
y
4y

0 2
1 3 
−4 0
1
2z
3z
= α
= β
= γ
est inversible, et, sans alul supplémentaire,