½ дЁ рр ы ´ ь п ж µ K[X]

Préparation à l'agrégation interne de mathématiques - Année 2012-2013
Polynmes - 24 otobre 2012
Exerie 0.
1
Déterminer les raines de X 2 dans Z/36Z.
L'anneau (et algèbre)
Exerie 1.
K[X]
des polynmes, degré
(inversibles et irrédutibles)
1. Démontrer que les polynmes inversibles sont les polynmes onstants non nuls.
2. Démontrer que les polynmes de degré 1 sont irrédutibles.
Exerie 2.
(division eulidienne)
Eetuer la division eulidienne dans R[X] de X 4 − 2X 3 − X 2 + X − 1 par X 2 + X + 1.
Exerie 3.
(l'anneau
K[X]
est eulidien don prinipal)
1. À l'aide d'une division eulidienne, démontrer que pour tout idéal I de K[X], il existe un
polynme P dans I tel que I = {P Q : Q ∈ K[X]}.
2. Si u est un endomorphisme d'un espae vetoriel sur K, qu'obtient-on en onsidérant
{P ∈ K[X] : P (u) = 0}?
Exerie 4.
(divisibilité)
Montrer que, pour tout polynme P de K[X], P (X) − X divise P (P (X)) − X .
2
Évaluation, fontion polynomiale, raines
Exerie 5.
(shéma de Hörner)
Déterminer, en utilisant le shéma de Hörner, la valeur en 2 du polynme
P = 3X 5 − 4X 4 + 3X 3 − 10X 2 − 5X + 4.
Combien e alul néessite-t-il d'opérations ? Comparer ave le alul naïf .
Exerie 6.
(idéaux, Vandermonde et orps nis)
1. Soit ∆ un sous-ensemble de K. Vérier que l'ensemble I∆ des polynmes P de K[X] vériant
P̃ (x) = 0 pour tout x dans ∆ est un idéal de K[X].
2. Déterminer I{0} et I{0;1} .
3. On suppose uniquement pour ette question que K est le orps Z/pZ (p premier).
Déterminer un générateur expliite de l'idéal IK∗ , de l'idéal IK .
1
4. Si ∆ = {x0 , x1 , . . . , xn } est un sous-ensemble (ordonné) de n + 1 éléments du orps K et
P = a0 + a1 X + . . . + an X n est un polynme dans K[X], onsidérons les matries suivantes

1 x0 . . . xn0
 1 x1 . . . xn 
1

M = . .
 ∈ Mn+1 (K)
.
.
.
.
. .
.
1 xn . . . xnn

;


a0
 a1 
 
V =  .  ∈ Mn+1,1 (K)
 .. 
an
(a) Que vaut le produit M V ?
En déduire que P appartient à I∆ si et seulement si V appartient au noyau ker M .
(b) À quelle ondition, portant sur ∆, la matrie M est-elle inversible ?
() En déduire que le morphisme K[X] → KK : P 7→ P̃ est injetif si et seulement si K est
inni.
Exerie 7.
(exemples de fatorisation sur R et C)
1. Sahant que P = X 4 − 2X 3 − 11X 2 + 12X + 36 a deux raines multiples, fatoriser P sur R.
2. Sahant que P = X 4 + 2X 3 + 7X 2 + 8X + 12 a une raine imaginaire pure, fatoriser P sur C.
π
3. Soient P = X 6 + 1 et ω = ei 6 .
Caluler P (ω), P (ω 3 ) et P (ω 5 ) puis en déduire la fatorisation de P dans C[X] puis dans R[X].
Exerie 8.
(utilisation des raines)
1. Démontrer que, pour tout entier n > 1, le polynme X 2 − 3X + 2 divise dans R[X] le polynme
Pn = (X − 2)2n + (X − 1)n − 1.
2. Déterminer l'ensemble P ∈ C[X] : P (X 2 ) = P (X)P (X + 1) .
Exerie 9.
(utilisation du polynme dérivé)
1. Déterminer les polynmes P de C[X] de degré 5 vériant :
(X − 1)3 divise P (X) + 1
et
(X + 1)3 divise P (X) − 1.
2. Démontrer que le polynme Pn = X n − X + 1 n'a que des raines simples sur C si n > 2.
Exerie 10.
(liens entre oeients et raines)
1. Déterminer le nombre omplexe k de sorte que le polynme 2X 3 − X 2 − 7X + k ait deux raines
omplexes de somme 1. Les déterminer.
3

 x+y+z =1
2. Résolution, sur C, du système
xy + yz + xz = −2
 3
x + y3 + z3 = 7
Polynmes et arithmétique des entiers
Exerie 11.
(P GCD et raines de l'unité)
Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Déterminer le P GCD des polynmes X a − 1 et X b − 1.
Exerie 12.
(un pont Wilsonxexerie 6)
Démontrer le théorème de Wilson en utilisant le polynme P = X p−1 − 1 dans Z/pZ[X] et les
relations entre oeients et raines.
2
Exerie 13.
(Z est intégralement los )
On onsidère un polynme P unitaire et à oeients entiers : P = X d + ad−1 X d−1 + · · · + a0 ave
ad−1 , · · · , a0 dans Z.
Démontrer que toute raine de P qui n'est pas entière n'est pas rationnelle.
Indiation : Supposer que pq est une raine rationnelle érite sous forme irrédutible et utiliser le
théorème de Gauss.
Exerie 14.
(approximation de nombres algébriques)
Soit x un nombre réel irrationnel algébrique, 'est-à-dire une raine d'un polynme P = an X n +
an−1 X n−1 +· · ·+a0 de degré n, à oeients entiers et que l'on peut supposer sans raine rationnelle.
Le but de l'exerie est de montrer que le réel x est mal approhé par les rationnels et d'utiliser
e ritère pour donner un exemple expliite de nombre transendant.
1. Soit pq un nombre rationnel (p et q entiers) de l'intervalle [x−1; x+1]. En appliquant l'inégalité
des aroissements nis à la fontion φ : t 7→ P
p p
x − q > C P q 2. En déduire, pour tout rationnel
3. Démontrer que la série
de Liouville).
p
q
p
q
− P (t), démontrer que
ave C =
sup
[x−1;x+1]
!−1
|P ′ (t)|
(p et q entiers, q > 1) de l'intervalle [x − 1; x + 1], l'inégalité
C
x − pq > n .
q
X 1
dénit un nombre transendant. (Ce nombre est appelé onstante
10n!
n>1
3