сятсжь я рь р ь ятв пср тсыж × яс п × тжсп ж ь ср тж срв

Comportement en temps long pour des modèles de
prolifération de prions
Pierre Gabriel
Laboratoire Jaques-Louis Lions, Université Paris 6
Journée Prion, INRIA Lyon, le 28 mars 2011
Travaux en ollaboration ave
Vinent Calvez, Marie Doumi et Léon Matar Tine
µ
plaements
β px q
τ px q
λ
δ
Figure: Prolifération des Prions
$
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
&
d
dt
pq t
»8
λ V pt q δ
0
τ px qu pt , x q
:V G u proissane q
hkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkj
dx
u t x
V
t
x
x u t x
x u t x
u t x
y
t
u t x
x y
u t y
dy
x
looooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooon
: Fu
p
fragmentation
p0q p , 0q 0,
p0, q 0 p q,
p0q 0.
p q : quantité de monomères au temps ,
p , q : quantité de polymères de taille au temps
V
,
B p , q p q B τ p q p , q µ p , q
B
B
»8
β p q p , q 2 β p qκp , q p , q
t
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
τ
'
'
'
'
'
'
'
'
'
'
%
V
q
u t
u
x
V
u
x
V
t
x
t
.
,
Existene de veteurs propres
Théorème (Doumi, G.)
Sous ertaines hypothèses tehniques et si
βp q
8,
lim
Ñ 8 τp q
alors pour tout ¡ 0 et tout µ P R, il existe une unique solution
au problème aux valeurs propres
p G F µ q U p ; q Λ p , µ q U p ; q,
³
ave U p ; q ¥ 0 et U p ; q 1. De plus on a Λp , 0q ¡ 0.
β
τ
P 1pr0, ǫsq et
x
L
x
x
x
V
V
V
V
x
V
x
x
dx
V
V
x
V
États d'équilibre
1. état d'équilibre sain :
ū
0,
V̄
λδ
États d'équilibre
1. état d'équilibre sain :
ū
0,
2. état d'équilibre malade :
8 ¥ 0, 8 0 et
u
p
8G
V
u
F
µq 8 0 et
u
λδ
V̄
8¡0
V
8δ
V
satisfaisant
³
λ
τ px qu8 px q dx
États d'équilibre
1. état d'équilibre sain :
ū
0,
2. état d'équilibre malade :
8 ¥ 0, 8 0 et
u
p
8G
V
don
u
F
µq 8 0 et
u
8¡0
V
8δ
V
8 px q ρ8 U pV8 ; x q
u
λδ
V̄
ave
satisfaisant
³
λ
τ px qu8 px q dx
ΛpV8 , µq 0
États d'équilibre
1. état d'équilibre sain :
ū
0,
2. état d'équilibre malade :
8 ¥ 0, 8 0 et
u
p
8G
V
don
et
ρ8
u
F
µq 8 0 et
u
λδ
V̄
8¡0
V
8δ
V
8 px q ρ8 U pV8 ; x q
u
³ τ p λq{U p8 ; δ q
V
x
V
8
x
dx
satisfaisant
¡0
ave
don
³
λ
τ px qu8 px q dx
ΛpV8 , µq 0 0
8 V̄ .
V
États d'équilibre
1. état d'équilibre sain :
ū
0,
2. état d'équilibre malade :
8 ¥ 0, 8 0 et
u
p
8G
V
don
et
ρ8
u
F
µq 8 0 et
u
λδ
V̄
8¡0
V
8δ
V
8 px q ρ8 U pV8 ; x q
u
³ τ p λq{U p8 ; δ q
V
x
V
8
x
dx
satisfaisant
¡0
ave
don
³
λ
τ px qu8 px q dx
ΛpV8 , µq 0 0
8 V̄ .
V
Coeients en puissane de x
Dans le as où
τ px q τ x ν
and
β px q β x γ ,
la ondition d'existene de veteur propre est
: γ 1 ν ¡ 0.
k
Coeients en puissane de x
Dans le as où
τ px q τ x ν
and
β px q β x γ ,
la ondition d'existene de veteur propre est
: γ 1 ν ¡ 0.
On peut alors aluler expliitement les dépendanes de Λ
Λp , µq Λp1, 0q γ
µ,
et il existe un unique état d'équilibre malade orrespondant à
k
V
V
V
8
µ
Λp ,
1 0q
k
1
k γ 1
.
Existene de plusieurs états d'équilibre malade
Théorème (Calvez, Doumi, G.)
Sous des hypothèses tehniques on a, pour 0 ou 8,
lim
Λp , 0q lim β p q.
Ñ
Ñ
L
V
V
L
x
x
L
L
Existene de plusieurs états d'équilibre malade
Théorème (Calvez, Doumi, G.)
Sous des hypothèses tehniques on a, pour 0 ou 8,
lim
Λp , 0q lim β p q.
Ñ
Ñ
L
V
V
L
x
L
x
L
Corollaire
Si
β p q lim β p q 0
lim
Ñ8
Ñ0
alors, pour µ susamment petit, il existe au moins deux valeurs de
telles que
Λ p , µ q 0.
x
x
x
V
V
x
ements
Λp
, µq
V
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
V
0.01
1
2
V
0.005
V̄
0
Unstable
Stable
Stable
−0.005
−0.01
−0.015
0
0.5
1
1.5
2
Figure: Stabilité quand
2.5
3
V̄ V1
3.5
4
V
ements
Λp
, µq
V
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
V
0.01
1
2
V
0.005
V̄
0
Unstable
Stable
Stable
−0.005
−0.01
−0.015
0
0.5
1
1.5
2
Figure: Instabilité quand
2.5
3
V1 V̄ V2
3.5
4
V
ements
Λp
, µq
V
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
V
0.01
1
2
V
0.005
V̄
Unstable
0
Stable
Stable
−0.005
−0.01
−0.015
0
0.5
1
1.5
2
Figure: Stabilité quand
2.5
V2 V̄
3
3.5
4
V
Stabilité des états d'équilibre malade
Théorème (Greer, Prüss, Pujo-Menjouet, Webb)
Pour les oeients τ p q τ et β p q β , on a l'alternative
x
x
x
Stabilité des états d'équilibre malade
Théorème (Greer, Prüss, Pujo-Menjouet, Webb)
Pour les oeients τ p q τ et β p q β , on a l'alternative
x
- si V̄
x
x
8 , alors il n'y a pas d'équilibre malade et
V
l'état d'équilibre sain est globalement asymptotiquement stable,
Stabilité des états d'équilibre malade
Théorème (Greer, Prüss, Pujo-Menjouet, Webb)
Pour les oeients τ p q τ et β p q β , on a l'alternative
x
- si V̄
x
x
8 , alors il n'y a pas d'équilibre malade et
V
l'état d'équilibre sain est globalement asymptotiquement stable,
- si ¡
V̄
8 , il existe un unique état d'équilibre malade et
V
l'état d'équilibre malade est globalement asymptotiquement stable.
aements
Λp
V
, µq
0.15
0.1
0.05
V̄
0
Unstable
Stable
−0.05
8
V
−0.1
−0.15
−0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
V
Figure: Stabilité quand
V̄ V8
aements
Λp
V
, µq
0.15
0.1
0.05
V̄
0
Unstable
Stable
−0.05
8
V
−0.1
−0.15
−0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
V
Figure: Instabilité quand
V8 V̄
Considérons l'équation
B upt , x q f » x p u
B τ px qupt , x q µupt , x q
Bt
Bx
F u pt , x q
(1)
Considérons l'équation
B upt , x q f » x p u
B τ px qupt , x q µupt , x q
Bt
Bx
Les états d'équilibre orrespondent aux valeurs
8
I
telles que
»8
0
x
p
u
8 px q dx
0
Λpf pI8 q, µq .
F u pt , x q
(1)
Supposons que τ p q x
Dans e as on a
x
, β px q β x γ
and κp , q 1 κ0
x y
Λpf pI q, µq f pI q µ.
Les états d'équilibre orrespondent aux valeurs
p 8 q µ.
f
I
8
I
y
x
y
telles que
.
Théorème (G.)
Si ¥ 0 et
Ñ R est une fontion ontinue telle que
p8q µ,
p0q ¡ µ
alors toute solution de (1) onverge vers un point d'équilibre
U p p 8 q, q.
Si de plus est dérivable, alors 8 est loalement
asymptotiquement stable si 1p 8q 0 et instable si 1 p 8q ¡ 0.
p
f
:R
and
f
f
f
I
f
x
I
f
I
f
I
On peut aussi onsidérer davantage de nonlinéarités
B upt , x q f » x p u
B xupt , x q g » x q u
upt , x q
Bt
Bx
Fγ u pt , x q
(2)
On peut aussi onsidérer davantage de nonlinéarités
B upt , x q f » x p u
B xupt , x q g » x q u
upt , x q
Bt
Bx
Dans e as on peut observer des solutions périodiques.
Fγ u pt , x q
(2)
Théorème (G.)
Il existe des fontions et pour lesquelles il existe des solutions
périodiques à (2). Plus préisément il existe des solutions de la
forme
p , q p q U p p q; q
ave et des fontions périodiques.
f
u t x
Q
W
g
Q t
W
t
x
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Un modèle Prion plus général
$
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
%
d
V pt q dt
λ V pt q δ
f
»
x p upt , x q dx
»
τ px qu pt , x q dx ,
B upt , x q V pt qf » x p upt , x q dx B τ px qupt , x q
Bt
Bx
µ upt , x q
F u pt , x q.
Un modèle Prion plus général
$
'
'
'
'
'
&
'
'
'
'
'
%
d
V pt q dt
λ V pt q δ
f
»
x p upt , x q dx
»
B upt , x q V pt qf » x p upt , x q dx B τ px qupt , x q
Bt
Bx
µ upt , x q
Ce modèle a été introduit par
ave
1
et
F u pt , x q.
Greer, Van Den Driesshe, Wang et
Webb
p
τ px qu pt , x q dx ,
f
p q 1 1 ω pω ¡ 0q.
I
I
Pour 1, p q 1 1ω , et les oeients τ p q τ, β p q β
il existe au plus un état d'équilibre malade p 8 , 8q et on a
p
f
I
x
I
V
x
u
x
,
Pour 1, p q 1 1ω , et les oeients τ p q τ, β p q β
il existe au plus un état d'équilibre malade p 8 , 8q et on a
p
f
I
x
I
V
x
x
,
u
Théorème (Greer, Van Den Driesshe, Wang et Webb)
- si V̄
8 , alors il n'y a pas d'équilibre malade et
V
l'état d'équilibre sain est globalement asymptotiquement stable,
- si ¡
V̄
8 , il existe un unique état d'équilibre malade et
V
l'état d'équilibre malade est globalement asymptotiquement stable.
Solutions périodiques
Théorème (G.)
Si τ p q , β p q β γ et κp , q 1 κ0 ,
alors il existe des fontions et des oeients λ, δ et µ pour
lesquels il existe des solutions de la forme
p p q, p qU p p q; qq
où , et sont périodiques.
x
x
x
x
x
x y
y
y
f
V
V
W
Q
t
Q t
W
t
x
Un modèle ave oalesene
$
'
'
'
&
'
'
'
%
d
dt
V
pq
t
»8
0
τo px q V pt qτon px q
p, q
u t x
dx
,
B p , q B p qτ p q τ p q p , q
on
o
B
B
t
u t x
x
V
t
x
x
u t x
Qpu qpt , x q,
Un modèle ave oalesene
$
'
'
'
&
'
'
'
%
d
dt
V
pq
t
»8
0
τo px q V pt qτon px q
p, q
u t x
dx
,
B p , q B p qτ p q τ p q p , q
on
o
B
B
t
u t x
Q Q Qf
V
x
t
x
x
u t x
Qpu qpt , x q,
ave
»
»8
1
Q p qp q 2 0 p , q p q p q p q 0 p , q p q
»
»8
1
Qf p qp q 2 p q 0 fp , q 0 fp , q p q .
x
u
x
k
y x
y
u y u x
y
dy
u x
k
x y
u y
x
u
x
u x
k
y x
y
dy
k
x y
u x
y
dy
dy
,
Conservation de la masse
d
dt
V
pq
t
»8
0
p, q
xu t x
dx
0.
Conservation de la masse
d
dt
$
'
'
'
&
'
'
'
%
x
x
V
pq
t
B
Q p qp q B
B
Qf p qp q B
u
u
x
x
»8
x
x
p, q
xu t x
0
»x»8
0
»x
0
yk
»8
x
x
y
yk
y
f
dx
0.
p, qpqpq
y
z u y u z
p, qp
y
z u y
z
q
dzdy
dzdy
.
,
t
3
0
p , 0.5q
1.5
u
1
1
0.6
0.4
0.2
0
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
0
0.5
1
1.5
x
t
90
12
p , 20q
20
u x
p , 12q
PSfrag replaements
30
2.5
20
3
3.5
4
3.5
4
WENO
order 1
100
60
40
t
120
WENO
order 1
70
50
2
x
80
u x
WENO
order 1
0.8
u x
PSfrag replaements
x
p0, q
2
0.5
ements
0.5
1.2
2.5
ements
t
1.4
initial
80
60
40
20
10
0
0
0
0.5
1
1.5
2
x
2.5
3
3.5
4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
x
Figure: Comparaison entre le shéma d'ordre 1 et le shéma d'ordre 5