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Résolution numérique d'équations
L'objet du TP est de trouver une solution, si elle existe à l'équation f (x) = 0.
En plus de trouver la solution, on s'intéresse aussi à la qualité de l'algorithme 'est à dire à sa rapidité.
Méthode par balayage
La méthode par balayage onsiste à partir du point a, à progresser par pas p jusqu'à e que la fontion hange de
signe.
b−a
⌋. Si on
Remarque : : en moyenne, il faudra parourir la moitié de l'intervalle, le nombre d'itérations est don ⌊
2p
veut une solution omprise entre 0 et 1 à 0,001 près par balayage, il faut ompter 500 pas.
On peut améliorer la méthode en ommençant par un pas de 1, puis quand on a dépassé la solution, on reule et on
reommene en divisant le pas par 10 jusqu'à arriver à la préision souhaitée. Dans e as, pour haque valeur de p
(0.1, 0.01, 0.001) il faut ompter à haque fois, en moyenne, 5 pas, au total 15 pas !
Méthode par dihotomie
Dans la méthode par dihotomie, on onsidère que si f (a).f (b) < 0 alors a et b enadrent la solution x et qu'en général
a+b
c=
est en général une meilleure approximation de x.
2
On pourra réitérer le proédé si l'on onnaît le signe de f (c).
On onstruit ainsi deux suites
a0 = a, b0 = b
an + b n
an et bn sont onstruit par réurrene de la façon suivante à partit de cn =
2
Si f (an )f (cn ) >= 0, an+1 = cn ; bn+1 = bn
Si f (an )f (cn ) < 0, an+1 = an ; bn+1 = cn
Les deux suites sont adjaentes et forment un enadrement de la solution x.
b−a
À haque étape, l'intervalle entre a et b est divisé par 2, don bn − an = n et le nombre d'itération pour obtenir
2
ln(b − a) − ln p
la solution à p près vérie n = ⌊
⌋. Pour le as préédent, on trouve l0 (p=0.001,b=1,a=0)
ln 2
Remarque : On peut soit programmer une boule FOR ou une boule WHILE ave la ondition d'arrêt |bn − an | 6 p.
Le prinipe
La méthode de Newton est basée sur des idées simples :
On trouve une solution approhée de f (x) = 0 en remplaçant la ourbe par sa tangente.
Si x0 est une valeur approhée de la solution x, on onstruit une meilleure approximation x1 en utilisant la tangente
T au point M (x0 , f (x0 )).
En réitérant e proédé, on dénit une suite (xn ) qui tend vers la solution x. On s'arrête dès que l'on peut armer
que |xn − x| < p.
Considérons la tangente en x0 à Cf , son équation est y = f (x0 ) + (x − x0 )f ′ (x0 ) .
L'intersetion ave l'axe 0x donne x1 = tel que 0 = f (x0 ) + (x1 − x0 )f ′ (x0 ) ⇒ x1 = x0 −
f (x0 )
f ′ (x0 )
On onstruit alors la suite dénie par la réurrene suivante en répétant e proédé. xn+1 = xn −
f (xn )
f ′ (xn )
et on montre que ette dernière onverge vers la raine de f.
Indiation :
on alule une valeur approhée de la dérivée en x0 sans onnaître l'expression de f à l'aide de l'approximation
f (x0 + h) − f (x0 − h)
.
2h
La plupart du temps, on n'a pas la valeur de x, don la ondition d'arrêt sera |xn+1 − xn | < p ou à p/10 par
préaution mais rien ne vous permet d'armer, sans alul supplémentaire que xn est bien une solution à p près.
b−a
Remarque : Si dans la méthode par dihotomie, la préision est de l'ordre de
alors on montre que sous ertaines
2n
b−a
onditions la préision par la méthode de Newton est de l'ordre de 2n .
2
Lyée Poinaré - M. Féray
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27 septembre 2015
f ′ (x0 ) = lim
h→0