представление нескольких натуральных чисел в виде суммы

Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения
231
УДК 519.116
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕСКОЛЬКИХ НАТУРАЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ В ВИДЕ СУММЫ ПОПАРНО РАЗЛИЧНЫХ
СЛАГАЕМЫХ
Ю. А. Игнатов (г. Тула)
ignatov-yurii@mail.ru
Изучается задача представления нескольких натуральных чисел в виде суммы попарно различных слагаемых. Дается оценка минимального числа слагаемых, достаточного для такого представления, при условии, что представление
существует. Для удобства исходные числа рассматриваются как множества, а
составляющие их слагаемые как элементы этих множеств.
Теорема 1. Пусть имеются m множеств, содержащих попарно различные натуральные числа. Для каждого множества подсчитана сумма входящих в него чисел. Тогда числа в множествах можно заменить так, что суммы останутся прежними, числа останутся различными, а количество чисел
будет не более 2m − 1.
Доказательство основано на преобразовании множеств так, чтобы суммы
элементов в них оставались неизменными, а количество элементов в каждом
множестве не превышало двух. При этом найдется множество с одним элементом. Предложен алгоритм такого преобразования.
Количество элементов в множествах зависит от количества различных значений, которые принимают суммы элементов в множествах. Если все суммы
одинаковы, то 2m − 1 - минимальное число элементов. Можно показать, что
если суммы принимают два различных значения, то достаточно 2m − 2 элементов. Если все m значений различны, то достаточно m = 2m − m элементов.
Возникает гипотеза, что если суммы принимают k различных значений, то достаточно 2m − k элементов. Эта гипотеза опровергается следующим примером:
1 + 5, 6, 7, 8, 3 + 4 + 5, 9. Число множеств 6, количество чисел в них 9, число
различных значений сумм 4. Уменьшить количество чисел нельзя, так как они
не могут быть больше 9, а все числа, не превосходящие 9, уже присутствуют.
Если уменьшить их количество, то уменьшится общая сумма.
Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
УДК 511.3
К РАСПРЕДЕЛЕНИЮ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В
МНОГОЧЛЕНАХ ТРЕТЬЕЙ СТЕПЕНИ С ЦЕЛЫМИ
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
И. И. Ильясов (г. Актобе, Казахстан)
ilyasov_isatay@mail.ru