Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П
advertisement
В.Е.Захаров, С.В.Манаков, С.П.Новиков, Л.П.Питаевский ТЕОРИЯ СОЛИТОНОВ: МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ Книга представляет собой первое в мировой литературе систематическое изложение чрезвычайно популярного метода обратной задачи рассеяния, включая все необходимые математические сведения. До сих пор с методами теории солитонов возможно было познакомиться лишь по журнальным статьям и сборникам обзоров, не содержащим систематического изложения основ. Содержание Предисловие 5 Введение. Слабая нелинейность и дисперсия 9 Глава I. Метод обратной задачи рассеяния 20 § 1. Сведения из теории рассеяния. Обратная задача квантовой теории 21 рассеяния § 2. Схема интегрирования уравнения КдФ методом обратной задачи 33 рассеяния § 3. Безотражательные потенциалы и N-солитонные решения 37 § 4. Уравнение КдФ как гамильтонова система 44 § 5. Полиномиальные интегралы движения 48 § 6. Полная интегрируемость уравнения КдФ. Высшие уравнения КдФ 51 § 7. Дифференциально-разностные системы 60 § 8. Нелинейное уравнение Шредингера и уравнение sin-Gordon 74 § 9. Обратная задача рассеяния для системы двух дифференциальных 78 уравнений § 10. Нелинейное уравнение Шредингера 85 § 11. Уравнение sin-Gordon 98 Глава II. Периодические решения уравнения КдФ 112 § 1. Уравнение Шредингера с периодическим потенциалом. Периодический 112 аналог уравнений Гарднера — Грина — Крускала — Миуры § 2. Стационарная задача для высших КдФ. Метод отыскания точных 120 решений КдФ § 3. Стационарные решения высших КдФ и потенциалы уравнения 127 Шредингера с конечным числом зон. Римановы поверхности § 4. Аналитические свойства блоховской собственной функции 132 конечнозонного потенциала на римановой поверхности § 5. Некоторые приложения 138 § 6. Сведения из теории римановых поверхностей. Циклы на римановой 147 поверхности § 7. Дифференциалы на римановых поверхностях. Абелевы (голоморфные) 158 дифференциалы и дифференциалы с полюсами § 8. Елоховская собственная функция и квазиимпульс. Связанные с ними 168 дифференциалы на римановой поверхности, их временная динамика § 9. Точные формулы для конечнозонных потенциалов и решений КдФ 178 § 10. Некоторые частные решения КдФ 181 Глава III. Дальнейшее развитие методов построения интегрируемых систем и их решений § 1. Регулярная задача Римана § 2. Задача Римана с нулями § 3. Обратная задача рассеяния для матричной системы первого порядка § 4. Задача n-волн § 5. Солитонные решения § 6. Системы, интегрируемые при помощи задачи Римана § 7. Релятивистски-инвариантные системы — киральные поля Глава IV. Асимптотики решений при больших временах § 1. Интегральные соотношения. Нелинейная дифракция Фраунгофера § 2. Явные формулы для асимптотик (нелинейное уравнение Шредингера) § 3. Явные формулы для асимптотик (уравнение Кортевега — де Фриза) § 4. Метод усреднения Уитема Приложение. Теория уравнения Кадомцева — Петвиашвили (двумерного КдФ). Некоторые дискретные системы § 1. Некоторые интегрируемые двумерные системы § 2. Законы сохранения § 3. Метод одевания § 4. Солитоноподобные решения уравнения КП § 5. Точные решения, зависящие от функциональных параметров § 6. Метод римановых поверхностей. Конечнозонные решения ранга 1 § 7. Рациональные решения уравнения КП. Дискретные системы частиц на прямой § 8. Метод голоморфных векторных расслоений над ри-мановыми поверхностями. Функциональные параметры в точных решениях § 9. Некоторые замечания о периодической цепочке Тода Литература 187 187 190 197 209 216 222 227 245 247 251 257 261 285 285 289 291 294 298 300 304 307 315 317
