ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ. Введение. К настоящему

ТЕОРИЯ ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЙ.
Введение.
К настоящему времени теория ядерных реакций как таковая не создана.
Теоретическое описание ядерных реакций базируется на использовании
различных моделей и подходов. Различные подходы используются не только для
описания различных типов реакций, но и для описания механизмов одной и той
же реакции. Формально это связано с тем, что задача о столкновении ядерных
частиц является задачей многоканальной и многотельной, и точное ее решение
невозможно. В ряде случаев нам неизвестно достаточно хорошо взаимодействие
между налетающей частицей и ядром-мишенью. Различные подходы к описанию
ядерных реакций различаются степенью их строгости, тем, какие модельные
предположения положены в их основу.
Предлагаемый курс ставит целью ознакомить слушателей с основами
формальной теории рассеяния, методами решения многоканальной задачи.
Рассматриваются последовательно различные подходы к описанию механизмов
ядерных реакций: резонансная теория ядерных реакций, модели прямых ядерных
реакций, статистический подход. Завершает курс изложение микроскопического
подхода в теории ядерных реакций.
При изложении материала используется аппарат квантовой механики,
модельные представления о строении ядра, некоторые результаты, полученные в
теории ядра.
Глава I. Введение в формальную теорию рассеяния.
§1. Формулировка задачи рассеяния, амплитуда рассеяния.
1. Рассмотрим классификацию основных процессов столкновений. В общем
случае процесс столкновения двух частиц А и а может быть записан в виде:
А + а →В + в + Х
(1.1)
где Х – обозначен набор частиц. Простейшими называются так называемые
бинарные процессы:
А + а →В + в
(1.2)
Описание таких процессов и будет составлять содержание данного курса.
В силу закона сохранения энергии будем иметь:
ε A + ε a + ε Aa = ε B + ε b + ε Bb
(1.3)
Здесь ε A , ε a и ε B , ε b , соответственно, энергии возбуждения сталкивающихся и
рассеиваемых частиц, ε Aa и ε Bb – энергии их относительного движения. В случае
А ≠ В и а ≠ в состав частиц А и а меняется. Такие процессы будем называть
процессами с перераспределением частиц. Пусть состав частиц не меняется,
тогда вместо (1.2) и (1.3) имеем:
А + а → А’ + а’
(1.4)
ε A + ε a + ε Aa = ε A' + ε a ' + ε A'a '
(1.5)
Формулы (1.4) и (1.5) в общем случае соответствуют неупругому рассеянию. Если
ε A = ε A′′ и ε a = ε a′ , то ε Aa = ε A′a′ . В этом случае имеем упругое рассеяние.
2. Введем представление о сечении рассеяния. Пусть в направлении оси OZ на
мишень падает поток частиц. Обозначим N число частиц, проходящее за единицу
времени через единичную площадку. Эксперимент по наблюдению процесса
столкновения состоит в том, что с помощью детектора, расположенного под
углом θ к оси OZ, фиксируется поток рассеянных частиц. Детектор расположен
достаточно далеко от мишени, так что регистрируются свободные
(от
взаимодействия с мишенью) частицы. Пусть ∆ N - число частиц, рассеянных в
единицу времени под углом θ (будем этот угол называть углом рассеяния) в
телесном угле d Ω (см.рис.1.1.). Найдем связь между величинами ΔN и N .
Рис. 1.1.
Естественно полагать, что ∆ N пропорционально N и d Ω , а коэффициент
пропорциональности (обозначим его σ ), вообще говоря, зависит от угла
рассеяния θ . В результате будем иметь:
∆ N = σ ( θ )N d Ω
(1.6)
Функция σ ( θ ), по определению, называется сечением рассеяния или
дифференциальным сечением рассеяния. Проинтегрируем σ ( θ ) по всем
телесным углам:
σ = ∫ σ ( θ )d Ω
(1.7)
Величина σ является интегральным сечением рассеяния.
3.
Основной задачей формальной теории рассеяния является нахождение
величин σ ( θ ), σ . Аппарат этой теории основан на формализме квантовой
механики.Возможны два подхода к построению теории рассеяния: стационарный
и нестационарный. В последнем подходе явно рассматривается зависимость
волновой
функции
от
времени
и
прослеживается
изменение
квантовомеханического состояния со временем. В стационарном описании не
рассматривается в явном виде зависимость волновых функций от времени (за
исключением фазового множителя), изучается стационарный поток частиц на
мишень, а динамика процесса рассеяния формулируется на языке граничных
условий. Было показано, что оба подхода приводят к эквивалентному описанию,
но формализм временного подхода более громоздок. Поэтому в настоящем курсе
изложение основано на использовании стационарного подхода. Связь между
этими подходами отмечается в разделе об S-матрице в связи с введением
оператора эволюции.
4. Рассмотрим проблему выделения движения центра тяжести в системе двух
сталкивающихся тел. Имеем следующее уравнение Шредингера:
" "
∂φ (r1 , r2 , t )
" "
" "
!2
!2
∆1 −
∆ 2 + V (/ r1 − r2 /) ] φ (r1 , r2 , t )
=[(1.8)
i!
∂t
2m1
2m 2
"
Здесь m1, m2 – массы сталкивающихся тел, V (/ r1 − r2 /) - взаимодействие между
ними, предполагается центральным. Описание, выходящее за рамки центрального
взаимодействия, будет дано ниже. Сделаем замену переменных:
" "
" "
r1 , r2 → R, r
" m1 r"1 + m2 r"2
R=
m1 + m2
" " "
r = r1 − r2
(1.9)
(1.10)
"
"
Координаты R и r имеют смысл, соответственно, координат движения центра
тяжести системы двух сталкивающихся тел и радиуса-вектора их относительного
движения. Подставляя (1.9) и (1.10) в (1.8), будем иметь:
" "
" "

∂Ф( R, r , t )  ! 2 " ! 2
i!
= −
∆R −
∆ r" + V (r ) ⋅ Ф( R, r , t )
(1.11)
∂t
2m
 2M

M = m1 + m 2
m1 m2
m=
m1 + m2
(1.12)
(1.13)
" "
Функциональный вид волновой функции в переменных R и r будет другим,
" "
поэтому она обозначена Ф. Будем искать Ф( R, r , t ) в виде:
""
" "
P2
t
PR
Ф( R, r , t ) = exp{−i[(
+ E ) ⋅ ]}exp{i
(1.14)
}⋅ φ (r" )
!
!
2m
"
Здесь импульс P относится к движению центра масс. Подставляя (1.14) в (1.11),
получаем:
2
"
"
"
∆ " + V (r )] ⋅ φ (r ) = Eφ (r )
(1.15)
2m r
Таким образом, вместо исходного двухчастичного уравнения Шредингера имеем
одночастичное уравнение для относительного движения сталкивающихся частиц.
Произошло отделение движения центра масс. Уравнение (1.15) удобно записать в
следующем виде:
"
"
(1.16)
(∆ + k 2 )φ k (r ) = U (r )φ k (r )
"
2m
2m
Здесь k 2 = 2 E и U (r ) = 2 V (r ) , индекс r у оператора Лапласа ∆ опущен,
!
!
"
поскольку в уравнении (1.16) кроме r нет других переменных.
5. Рассмотрим граничные условия в задаче рассеяния. Пусть вдоль оси OZ на
мишень падает поток частиц, в результате взаимодействия с мишенью рассеянные
частицы движутся под углом θ . Естественно полагать, что на достаточно
большом расстоянии от мишени вне зоны взаимодействия поток нерассеянных
частиц, описываемых плоской волной, будет складываться с потоком рассеянных
частиц, описываемых расходящейся сферической волной. Амплитуда
сферической волны будет зависеть от угла рассеяния. Для асимптотики функции
"
φ k (r ) будем иметь:
ikr
"
1
ikz + f (θ ) e }
φ k (r ) →
e
{
3
(1.17)
r
(2π ) 2
"
r →∞
В выражении k – модуль волнового вектора (или в единицах ! импульса
[− !
3
относительного движения), (2π ) 2 - нормировочный множитель:
" #
" "
1
−i ( k ′− k ) r "
δ
e
d
r
k
⋅
=
(
− k ′)
(2π ) 3 ∫
Здесь произведено обобщение записи плоской волны:
(1.18)
1
3
⋅ eikz
1
→
3
""
i
k
⋅e r
"
k || OZ
(2π ) 2
(2π ) 2
По определению, величина f (θ ) называется амплитудой рассеяния. Она
показывает, насколько велика доля частиц, рассеянных в результате
взаимодействия с мишенью на угол θ , по отношению к числу частиц, падающих
на мишень.
6. Найдем связь между амплитудой рассеяния и сечением рассеяния. Рассмотрим
квантовомеханическую плотность тока:
"
!
j=
(φ * ∇φ − φ∇φ *)
(1.19)
2mi
В соответствии с вышесказанным N = jz, а ∆N = j r ⋅ ds . Представим (1.17) в виде
двух слагаемых:
ϕ k ( z ) + χ k (r ) =
1
3
⋅ eikz +
1
(2π ) 2
(2π )
Подставляя ϕ k (z ) в (1.19), для j z будем иметь:
3
2
⋅ f (θ ) ⋅
eikr
r
(1.20)
∂ϕ ( z )
∂ϕ * ( z )
!
⋅ (ϕ k* ( z ) k
− ϕ k ( z) k ) =
∂z
∂z
2mi
!
!k
1  −ikz ikz
1
e
ike − eikz (− ik )e − ikz  = ⋅
=
⋅
3 
2mi (2π ) 
 m (2π ) 3
Отсюда следует, что:
v
N=
(1.21),
(2π ) 3
v = !k .
где
m
Аналогично находим ∆N i :
jz =
∂χ k (r )
∂χ k* (r ) 
!  *
 χ k (r ) ⋅
 ⋅ ds =
∆N = j r ds =
− χ k (r ) ⋅
2mi 
∂r
∂r 
=
− f (θ )
!
1
e −ikr
eikr
*
θ
θ
f
ikf
⋅
−
(
)
(
)
{
2mi (2π ) 3
r
r
!k
1 1
eikr
e −ikr
ds
(−ik ) ⋅ f * (θ )
/ f (θ ) / 2 2
+ O(r 3 )} ⋅ ds =
m
r
r
r (2π ) 3
Таким образом
1 1
ds
r 2 (2π ) 3
Подставляя (1.21) и (1.22) в соотношение (1.6), получаем:
v
1
1
v / f (θ ) / 2 2 ds = σ (θ )
dΩ
3
r
(2π )
(2π ) 3
∆N = v / f (θ ) / 2
Отсюда с учетом dΩ = ds / r 2 имеем искомые соотношения:
σ (θ ) = / f (θ ) / 2
σ = ∫ / f (θ ) / dΩ
2
(1.22)
(1.23)
(1.24)
(1.25)
7. Перейдем к интегральной формулировке задачи рассеяния. Рассмотрим
уравнение Шредингера:
"
"
"
(∆ + k 2 )φ k (r ) = U (r )φ k (r )
Будем искать его решение в следующем виде:
(1.16)
"
"
"
φ k (r ) = ϕ k (r ) + f k (r )
"
где ϕ k (r ) удовлетворяет уравнению (1.16) без правой части:
"
(∆ + k 2 )ϕ k (r ) = 0
"
а f k (r ) строится с помощью функции Грина:
"
" "
"
" "
f k (r ) = ∫ G0 (r − r ′) ⋅ U (r ′)φ k (r ′)dr ′
(1.27),
Здесь было использовано следующее свойство δ -функции:
∫ f ( x)δ ( x − a)dx = f (a)
(1.30)
(1.26),
(1.28).
Одночастичная функция Грина удовлетворяет уравнению:
" "
" "
(∆ + k 2 )G 0 (r − r ′) = δ (r − r ′)
(1.29)
Проверим, что (1.26) с учетом (1.27) - (1.29) удовлетворяет уравнению (1.16).
Подставляя (1.26) с (1.28) в (1.16), будем иметь:
"
"
"
(∆ + k 2 )[ϕ k (r ) + f k (r )] = (∆ + k 2 ) ⋅ f k (r ) =
" "
"
" "
= (∆ + k 2 ) ∫ G0 (r − r ′)U (r ′)φ k (r ′)dr ′ =
" "
"
" "
"
"
= ∫ δ (r − r ′)U (r ′)φ k (r ′)dr ′ = U (r )φ k (r )
Подставляя (1.28) в (1.26), получаем для волновой функции интегральное
уравнение:
"
"
" "
"
" "
φ k (r ) = ϕ k (r ) + ∫ G0 (r − r ′)U (r ′)φ k (r ′)dr ′
(1.31)
Интегральная формулировка задачи рассеяния сводится к решению уравнения
(1.31) с учетом граничных условий. Эта формулировка имеет ряд преимуществ по
сравнению с дифференциальной: 1). Граничные условия, как будет показано
ниже, могут быть учтены в записи интегрального уравнения (1.31), 2). К решению
уравнения (1.31) могут быть применены хорошо разработанные приближенные
методы, 3). Наконец, из рассмотрения интегрального уравнения непосредственно
возникает связь между амплитудой рассеяния и потенциалом взаимодействия.
8. Рассмотрим одночастичную функцию Грина в импульсном (энергетическом) и
координатном представлении. Из уравнения
"
"
(∆ + k 2 )G0 (r ) = δ (r )
формально получаем:
"
"
1
δ (r )
G0 (r ) =
(1.32)
2
∆+k
"
Используя интегральное представление для δ (r ) , будем иметь:
"
G0 (r ) =
1
1
⋅
2
∆ + k (2π ) 3
∫
""
"
i
q
e r dq⋅ =
1
(2π ) 3
""
i
q
e r
∫k
2
−q
2
"
dq
(1.33)
"
Здесь учтено также, что ∇ 2 = ∆ . Рассмотрим интеграл по углам вектора q :
∫
""
""
2 1
" ∞ π iq r 2
i
q
r
e dq =
e q dq ⋅ dϕ ⋅ ds
∫∫∫
" "
s = cos(r , q ) (1.34)
0 0 −1
Проводя интегрирование в (1.34), получаем:
""
−iqr 
i
q
r " 2π  iqr

∫ e dq = iqr  e − e

(1.35)
"
" "
Поставляя (1.35) в (1.33) и заменяя r на r − r ′ , будем иметь:
∞
q ⋅e
1
1
⋅ " " ∫
2
4π i / r − r ′ / − ∞
При получении выражения (1.36) учтено, что:
" "
G0 (r − r ′) =
∞
−∫
e −iqr
0
" "
iq / r −r ′ / dq
k 2 − q2
(1.36)
e iqr
(1.37)
∫ 2 2 ⋅ qdq
k 2 − q2
−∞ k − q
Соотношение (1.36) является импульсным представлением для одночастичной
свободной функции Грина. Термин “свободная” означает, что функцция Грина
соответствует уравнению Шредингера без взаимодействия. Из (1.36), используя
(2m 2 ) E = k 2 , можно получить функцию Грина в энергетическом
!
представлении:
⋅ qdq =
0
" "
iq / r −r ′ /
∞
" "
e
1
1
 2 2m

G 0 (r − r ′) = 2 ⋅ " " ∫
dE ′
 q = 2 ⋅ E ′  (1.38)
!
8π i / r − r ′ / 0 E − E ′


Интеграл по q в (1.36) может быть вычислен с помощью теоремы о вычетах.
Разлагая в подинтегральном выражении знаменатель на множители, будем иметь:
∞
iqr
∞
iqr
qe
qe
(1.39)
∫−∞ k 2 − q 2 dq = −−∫∞ (q − k )(q + k )dq
Для вычисления интеграла выберем контур, включающий полюс q = k и не
включающий полюс q = − k (см.рис.1.2а.). Обозначим этот контур С+. Согласно
теореме о вычетах получаем:
−
+∞
iqr
qe
ikr
∫−∞ (q − k )(q + k )dq = −πie
(1.40)
Рис.1.2а.
Подставляя (1.40) в (1.36), будем иметь:
Рис.1.2б.
" "
′
" "
1 e ik / r −r /
G0( + ) (r − r ′) = −
⋅
(1.41)
" "
4π
/ r − r′/
Можно видеть, что асимптотическое выражение для одночастичной функции
(+ ) " " ′
Грина G
(r − r ) содержит расходящуюся сферическую волну. Таким образом,
0
правило обхода контура соответствует заданию определенных граничных
условий.Аналогично, выбирая контур интегрирования С- (см.рис.1.2б.) , получаем
для интеграла по q :
iqr
+∞
qe
dq = −πie −ikr
− ∫
q k q k
− ∞ ( − )( + )
а для функции Грина , соответственно, выражение:
" "
(1.42),
′
" "
1 e −ik / r −r /
G0( − ) (r − r ′) = −
⋅
(1.43)
" "
4π
/r − r′/
" "
Асимптотическое выражение для G0( − ) (r − r ) содержит сходящуюся сферическую
волну. Перепишем уравнение (1.31) в следующем виде:
"
" (±) " "
(±) "
(±) " " ′
φ
(r ) = ϕ (r ) + ∫ G
(r − r )U (r ′)φ
(r ′)dr ′
(1.44)
k
0
k
k
(±) "
Здесь φ
(r ) - волновые функции задачи рассеяния, в асимптотике которых
k
содержатся, соответственно, расходящиеся (сходящиеся) сферические волны;
"
ϕ (r ) -плоско волновое решение, поэтому функция не имеет индексов (± ) . В
k
(+) "
задаче о рассеянии на потенциале требуются функции φ
(r ) , однако ниже будет
k
( −) "
рассмотрена задача, в которой используются функции φ
(r ) . Формулы (1.41) и
k
(1.43) дают координатные представления для одночастичной функции Грина.
9. Установим связь между потенциалом взаимодействия и амплитудой рассеяния.
(+) "
Волновая функция φ
(r ) имеет следующий асимптотический вид:
k
φ
1
(+) " →
3
(r )
k
(2π ) 2
"
r →∞
Подставим выражение для G
(1.44):
""
e ikr
i
k
⋅ {e r + f (θ )
}
r
(+ ) " " ′
(r − r ) (см. ф. (1.41)) в интегральное уравнение
0
" "
""
" (+) " "
1 eik / r −r ′ /
i
k
r
′)φ
e
U
r
(
(r ′)dr ′
(1.45)
−
⋅
"
"
∫
3
k
π
4
′
2
−
r
r
/
/
(2π )
"
При достаточно больших r можно положить:
1
1
(1.46)
" " ~
/ r − r′/ r
""
" "
""
""
2r r ′
2
2
/ r − r ′ / = r − 2r r ′ + (r ′) ~ r 1 − 2 ~ r − (n r ′)
(1.47)
r
"
"
Здесь n - единичный вектор, направленный параллельно вектору r . Подставляя
(1.46) и (1.47) в (1.45), получим:
""
3
ikr
"
" (+) " "
1
(+) "
i
k
r − 1 (2π ) e
φ
ϕ * (r ′)U (r ′)φ
e
(r ) ⇒
(r ′)dr ′ (1.48)
∫
3
3
k
k′
k
π
r
4
2
2
π
π
(2 )
(2 )
"
r →∞
""
" "
"
1
′r ′
i
k
′ = nk
ϕ ′ (r ′) =
k
e
где
,
(1.49)
⋅
3
k
2
(2π )
Сравнивая выражения (1.17) и (1.48), будем иметь:
(2π ) 3
(+)
ϕ ′Uφ
f (θ ) = −
(1.50)
k
k
4π
(+) "
φ
(r ) =
k
1
Используя соотношение U = (2m
)V , окончательно получаем:
!2
(2π ) 2 m
(+)
f (θ ) = −
⋅ ϕ ′Vφ
(1.51)
2
k
k
!
Для сечения рассеяния будем, соответственно, иметь:
(2π ) 4 m 2
σ (θ ) =
(1.52)
/ ϕ k ′ V φ k(+) / 2
4
!
Формулы (1.51) и (1.52) устанавливают связь между потенциалом взаимодействия
и амплитудой и сечением рассеяния. Задавая потенциал из физических
соображений и решая уравнение задачи рассеяния с определенными граничными
условиями, можно построить f (θ ) и σ (θ ) . Сравнение теоретических сечений с
экспериментальными дает возможность проверить исходные предположения о
характере взаимодействия.
10. Для обобщения предыдущего рассмотрения введем операторную форму
записи уравнения Шредингера:
(H 0 + V − E) φε = 0
(1.53)
Здесь оператор H 0 включает в себя оператор Гамильтона мишени и оператор
кинетической энергии налетающей частицы, но не включает оператор
взаимодействия между сталкивающимися частицами. Таким образом, H 0 является
невозмущенным (взаимодействием) гамильтонианом. В формуле (1.53) V оператор взаимодействия между налетающей частицей и мишенью. Преобразуя
уравнение (1.53), получаем:
(1.54)
(E − H 0 ) φ E = V φ E
Введем операторы Грина, координатное и импульсное представление которых,
было рассмотрено выше:
1
(±)
G
E =
(1.55)
0 ( ) E − H ± iε
0
Здесь мнимые добавки ± iε соответствуют выбору контуров C + и C − и
асимптотическим условиям в виде расходящейся (сходящейся) сферической
волны на бесконечности. Действуя формально оператором Грина на правую и
левую часть соотношения (1.54), будем иметь:
(±)
= ϕ
φE
E
+
1
E−H
0
± iε
⋅V φ
(±)
E
(1.56)
Уравнение (1.56) есть операторная запись уравнения Липпмана-Швингера.
ϕE
Состояния
являются собственными состояниями невозмущенного
гамильтониана:
Ho ϕE = E ϕE
(1.57)
и переходя в (1.56)
Используя свойство полноты состояний ϕ E
координатному представлению, получаем:
"
"
(±) " "
φ E (r .....r ) = ϕ (r .....r ) +
E 1
N
N
1
dE ′
"
"
"
"
"
"
"
"
+∫
⋅ ∫ ϕ *E ′ ( r1′ ....rN ′ )V ( r ′ ......r ′ )ϕ ( ± ) ( r ′ ....r ′ ) ⋅ dr ′ ......dr ′ ⋅
N
E
N
N
1
1
1
′
E − E ± iε
"
"
⋅ ϕ ′ (r ......r )
(1.58)
E 1
N
к
"
"
Здесь r1 .......rN - координаты всех частиц, входящих в состав сталкивающихся тел.
Отметим преимущества использования в теории рассеяния уравнений
Липпмана-Швингера по сравнению с уравнениями Шредингера: 1).могут быть
описаны не только упругие процессы, 2).может быть применение в представлении
вторичного квантования в квантовой теории поля, 3). допустимо использование
релятивистского формализма. Сравнение формул (1.58) и (1.44) показывает
эквивалентность обоих подходов в случае описания упругого рассеяния.
11. Наряду со свободным оператором Грина (1.55) введем в рассмотрение
оператор Грина с учетом взаимодействия:
1
(± )
G
(E) =
(1.59)
E − H ± iε
Здесь H - оператор Гамильтона, включающий в себя невозмущенный
гамильтониан и оператор взаимодействия:
H = Ho +V
(1.60)
(±)
Для получения уравнения, которому удовлетворяет оператор G
(E) ,
рассмотрим операторное соотношение:
1 1 1
1
− = ⋅ ( B − A) ⋅
(1.61)
A B B
A
Положим:
A ≡ E − H + iε
(1.62)
B ≡ E − H o + iε
.
Подставляя (1.62) в (1.61), будем иметь:
1
1
1
1
−
=
⋅V ⋅
E − H + iε E − H o + iε E − H o + iε
E − H + iε
или
1
1
1
1
=
+
⋅V ⋅
(1.63)
E − H + iε E − H o + iε E − H o + iε
E − H + iε
Соотношение (1.63) можно рассматривать, как операторное уравнение для
оператора Грина
(±)
G
( E ) . Используя (1.55) и (1.59), получаем:
(+ )
(+)
(+)
(+)
G
(E) = G
(E) + G
(E) ⋅ V ⋅ G
(E)
(1.64)
o
o
Решая уравнение (1.64) методом последовательных приближений, будем иметь
выражение для G ( + ) ( E ) в виде бесконечного ряда:
(+ )
(+)
(+ )
(+)
(+)
(+)
(+ )
G
(E) = G
(E) + G
( E )VG
(E) + G
( E )VG
( E )VG
( E ) + ..... (1.65)
o
o
o
o
o
o
12. Найдем формальное решение уравнения Липпмана-Швингера. Снова
используем соотношение (1.61), положив теперь:
A ≡ E − H o + iε
(1.66)
B ≡ E − H + iε
Подставляя (1.66) в (1.61), получим:
1
1
1
1
−
=−
⋅V ⋅
E − H o + iε E − H + iε
E − H + iε
E − H o + iε
Применяя (1.55) и (1.59), будем иметь вместо (1.67) :
(1.67)
(+ )
(+)
(+)
(+)
Go ( E ) = G
(E) − G
( E )VG
(E)
o
Перепишем уравнение (1.56) в следующем виде:
(+)
(+)
(+)
φE = ϕ
+G
( E )V φ
E
o
E
Подставляя (1.68) в(1.69), получаем:
(+)
φE = ϕ
E
= ϕE + G
+G
(+)
(+)
( E )V φ
(1.68)
(1.69)
(+)
(+)
(+)
(+ )
−G
( E )VG
( E )V φ
=
E
o
E
 (+)
(+)
(+) 
( E )V  φ
( E )V φ
−G
 =
E
o
E

(+)
= ϕE + G
( E )V ϕ
(1.70)
E
Используя (1.59), будем иметь:
1
(+)
φE = ϕ
+
⋅V ϕ
(1.71)
E
E
E − H + iε
Соотношение (1.71) и есть искомое формальное решение уравнения ЛиппманаШвингера. Оно является решением поскольку правая часть этого соотношения не
(+)
содержит вектора состояния φ
( E ) . Это решение является формальным,
поскольку для построения φ
(+)
( E ) по формуле (1.71) необходимо знать спектр
состояний полного гамильтониана, т.е. фактически необходимо решить уравнение
Шредингера (1.53).1).Однако, если задать гамильтониан H в рамках некоторой
простой модели, позволяющей найти его собственные значения, то соотношение
(1.71) дает возможность построить приближенные решения задачи рассеяния. 2).
Кроме того, это соотношение полезно для введения в рассмотрение оператора
переходов.