11.4.П. Графический метод решения уравнений и неравенств.

Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Математика
11.4.П. Графический метод решения уравнений и неравенств
______________________________________________________________________________________________________
11.4.П. Графический метод решения
уравнений и неравенств.
Оглавление
11.4.01.П. Функциональный (графический) метод решения уравнений и неравенств. ........................2
11.4.02.П. Графический метод решения тригонометрических уравнений и неравенств. ....................4
11.4.03.П. Графический метод решения уравнений и неравенств с модулями. ....................................6
11.4.04.П. Функциональные методы решения. Очень сложные. ............................................................8
1
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Математика
11.4.П. Графический метод решения уравнений и неравенств
______________________________________________________________________________________________________
11.4.01.П. Функциональный (графический) метод
решения уравнений и неравенств.
Уравнения, решаемые графическим методом, надо научиться видеть. Это уравнения, в которых
практически невозможно найти обычное аналитическое решение, или уравнения, в которых
графический метод значительно проще аналитического. Сначала надо разобраться, возрастает или
убывает функция в каждой из частей уравнения, а затем нужно схематично построить их графики.
ПРИМЕР. Решить уравнение 3  514  x  x 3 .
РЕШЕНИЕ: Попробуем решить стандартным способом. Возведём обе части уравнения в куб и
получим  514  x  x 9 . Теперь… А что теперь? Вы должны научиться увидеть, что в левой части
уравнения убывающая функция, а в правой части уравнения возрастающая функция. Рассмотрим
функцию y1  3  514  x . Очевидно, что с увеличением аргумента х, значение функции у1
уменьшается. Рассмотрим функцию y 2  x 3 . Очевидно, что с увеличением аргумента х, значение
функции у2 увеличивается. Схематически изобразим графики этих функций на одной
координатной плоскости.
Если одна функция только возрастает, а вторая только убывает, то у графиков этих функций
может быть только одна точка пересечения, то есть в уравнении может быть только один корень.
В этом случае можно попытаться найти этот корень подбором.
А как это подбором? А вот так! Сначала подставим в уравнение х = 1 и получим 3  514  1  13 , то
есть 3  515  1 - бред! Значит, х = 1 – не является корнем уравнения.
Проверим х = -1 и получим 3  513  1 - ахинея! Значит, х = -1 – не является корнем уравнения.
Проверим х = 2 и получим 3  516  8 - не то! Значит, х = 2 – не является корнем уравнения.
Проверим х = -2 и получим 3  512  8 - верно! Значит, х = -2 – единственный корень уравнения.
Мы уже доказали, что в этом уравнении может быть только один корень.
ОТВЕТ: -2.
Сразу ответим на наиболее часто встречаемые вопросы:
- Что, надо вот так, по очереди, проверять одно число за другим?
- Да, вот так по очереди, проверять одно число за другим!
- А если это число будет большим?
- Если Вам дали решать это уравнение, и автор задачи предполагал такой метод решения, то
корень уравнения не будет очень большим.
- А если это число не будет целым?
- Такого почти не бывает, особенно на ЦТ, если предполагался этот метод, то корень возможно
найти (угадать).
- А если…
- А если у бабушки вырастет борода, то она станет дедушкой. Смело решайте и не задавайтесь
лишними вопросами, все получится. Вы узнали новый способ решения уравнений, и если Вы не
находите решение стандартным способом, то попробуйте использовать вот этот!
2
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Математика
11.4.П. Графический метод решения уравнений и неравенств
______________________________________________________________________________________________________
ТЕСТ 11.4.01.
1.
2.
3.
4.
Решить уравнение: 7 6x  x  2
9
Решить уравнение: 3 x  2 
x
x 2
Решить уравнение: 4  6 x 3  100
Решить уравнение: log 1 ( x  5)  x  9
3
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Решить уравнение: 3x  3  2 2 x  3  5
Решить уравнение: 2 x  1  x  3  2
1
Решить уравнение: 1  2  x  x 3 
x2
2
Решить уравнение: 6 x  32  5 x  30
x  31
Решить уравнение: 2 x  5  8  x  1
Решить уравнение: x  1  x  3x  3  x
Решить уравнение: 2 x  2 x 2  5x и в ответе указать произведение количества корней на
больший корень.
Решить неравенство и в ответе указать наименьшее целое решение: 3 x  3  3  x
Решить неравенство: 4 x2  6 x3  100 и найти сумму целых положительных решений.
Решить неравенство и найти количество целых решений: lg x   x  1
Решить неравенство: 2 x  4 x и в ответе указать количество целых решений.
Решить неравенство: 2 x  2 x 2  5x и в ответе указать количество целых решений.
Решить неравенство и найти сумму целых решений: lg x  x 2  2
18.
Решить неравенство и найти сумму целых решений: lg x  x  1
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
ОТВЕТЫ:
1. 5
2. 3
3. 5
4. 8
5. 2
6. 1
7. 1
8. 32
9. 10
10. 1
11. 6
12. 5
3
13. 15
14. 1 (х = 1)
15. 4
16. 4
17. 1
18. 1
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Математика
11.4.П. Графический метод решения уравнений и неравенств
______________________________________________________________________________________________________
11.4.02.П. Графический метод решения
тригонометрических уравнений и неравенств.
ПРИМЕР: Найти область значений функции y  2 sin 2 x  4 cos x  3 .
РЕШЕНИЕ: Преобразуем уравнение функции, воспользовавшись основным тригонометрическим
свойством:
y  2sin 2 x  4cos x  3  2  1  cos 2 x   4cos x  3 
.
 2  2cos 2 x  4cos x  3  2cos 2 x  4cos x  5
Произведём замену переменных t = cos x. Получаем y = -2t2 - 4t + 5.
Построим график функции y(t) = -2t2 - 4t + 5.
Вспомним, что значение t = cos x лежит в пределах от -1 до 1. Очевидно, что область значений
данной функции лежит в пределах от -1 до 7.
ОТВЕТ: [–1; 7].
x 1
1


ПРИМЕР. Решить уравнение:    5  cos  x  .
5
2
 


РЕШЕНИЕ: Преобразуем исходное уравнение:
x
1
1 1


      cos   x   5
 5  5
2

x
1


   5  cos  x   5
5
2



y2  cos   x   5
2

x
Построим графики функций
1
y1     5 и
5
на одной координатной
плоскости:
На всякий случай можете вычислить значения функций в точках –π/2, 0, π/2, π. Для функции:
x
1
y1     5 эти значения будут приблизительными.
5
ОТВЕТ: 0.
4
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Математика
11.4.П. Графический метод решения уравнений и неравенств
______________________________________________________________________________________________________
ТЕСТ 11.4.02.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Найти область значений функции y  2 sin 2 x  4 sin x  3
Найти область значений функции y  9 cos 3x  12 cos 2 3x
Найти множество значений функции y  9 sin 2 x  6 sin x  13
Найти множество значений функции y  4  2 cos x  cos 2 x
Найти множество значений функции y  5 cos 2 x  4 cos x  3
Найти длину отрезка, являющегося областью значений функции y  sin 2 x  4 sin x  5
Найти
длину
отрезка,
являющегося
областью
значений
функции
2
y  2 cos 2x  2 cos 2x  1
Найти
длину
отрезка,
являющегося
областью
значений
функции
2
y  2 cos 3x  6 cos 3x  6
Найти наибольшее целое значение функции y  0,5 9 cos 2 x  6 cos x  10
2
Найти наибольшее целое значение функции y 
16 sin 2 x  16 sin x  17
3
x 1
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
1
Решить уравнение    2  sin x
2
Решить уравнение cos x = 5 + x2 – 4х
x
Решить уравнение 3 x  cos и в ответе указать целые корни.
3
x
Решить уравнение sin
 x 4  8 x 2  17
4
Решить уравнение 2 sin x  5x 2  2 x  3
Решить уравнение sin x  x 2  x  1
Решить уравнение cos x   x 2
x
Решить уравнение sin
 x 2  4x  5
4
2
x
Решить уравнение sin 2
 1  2 x  4 x 5
4
Решить уравнение cos x = 1 + x2
 3x 
Решить уравнение lg x 2  4 x  14  sin
0
 4 
Чему равно количество целых решений неравенства
принадлежащих промежутку (-4; 3).
ОТВЕТЫ:
1. [1; 9].
27 

2.  21; 
16 

3. [12; 28]
4. [1; 5]
11 
5.  ; 12
5

6. 8


7. 4,5
8. 12
9. 2
10. 4
11. 0
12. 2
13. 0
14. 2
15. Нет корней
5
cos 2 x  cos x  2  0
16. Нет корней
17. Нет корней
18. 2
19. 2
20. 0
21. 2
22. 3
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Математика
11.4.П. Графический метод решения уравнений и неравенств
______________________________________________________________________________________________________
11.4.03.П. Графический метод решения
уравнений и неравенств с модулями.
ПРИМЕР: Найти количество корней уравнения log 1 x  1  x 2  4 .
2
РЕШЕНИЕ: Строим на одной координатной плоскости графики функций:
y1  log 1  x  1 и y2  x 2  4 .
2
На всякий случай вспомним, что для построения графика функции
y 2  x 2  4 , сначала надо
построить график функции y  x 2  4 , а затем, оставив без изменения ту часть графика, которая
находится выше оси абсцисс, отображают симметрично этой оси ту часть графика, которая
находится ниже оси абсцисс:
Определяем количество точек пересечения графиков:
Очевидно, что у графиков есть общая точка (2; 0). Также очевидно, что у графиков есть ещё одна
точка пересечения.
ОТВЕТ: 2.
ТЕСТ 11.4.03.
1.
Найти количество корней уравнения log 2 x  4  x  2
2.
Найти количество корней уравнения log 2 x  0,5 x  0,5
3.
Найти количество корней уравнения log 1 x  1  x 2  4
2
4.
Найти количество корней уравнения log 2 x  1   x  1
5.
Найти количество корней уравнения log 2 x  x  1
6.
Найти количество корней уравнения log 4 x 
7.
Найти количество корней уравнения log 2 x  xx  2
8.
Найти количество корней уравнения log 2 x  0,5 x
6
1
x
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Математика
11.4.П. Графический метод решения уравнений и неравенств
______________________________________________________________________________________________________
3
 log 1 x
4
2
9.
Найти количество корней уравнения x 2 
10.
Найти количество корней уравнения log 2 x  4  x  2
11.
Решить неравенство log 2 x  1   x  1 и найти количество целых решений.
12.
Решить неравенство log 2 x  x  1 и найти количество целых решений.
13.
Решить неравенство log 4 x 
14.
Решить неравенство log 2 x  xx  2 и найти количество целых решений.
15.
Решить неравенство log 2 x  0,5 x и найти количество целых решений.
16.
Решить неравенство log 0, 2 x  x 2 и найти количество целых решений.
17.
Решить неравенство x 2 
18.
Решить неравенство log 2 x  4  x  2 и найти сумму целых положительных решений.
19.
Решить уравнение log 3 28  sin 0,5x   8  2 x  x 2
20.
1
и найти сумму целых решений.
x
3
 log 1 x и найти количество целых решений.
4
2
Решить уравнение log 1 3  sin x   2  2
x
3
21.
Решить уравнение log 2 3  cos x   2
22.
Решить уравнение 2
23.
1
Решить уравнение  
 3
ОТВЕТЫ:
1. 1
2. 1
3. 2
4. 1
5.
6.
7.
8.
0
1
3
2
x
 x 
 1 x
x2 2 x
 4  sin

4x  1
9. 1
10. 1
11. 1
12. 0
13. 3
14. 1
15. 4
16. 0
7
17. 0
18. 3
19. 1
20. 0
21. 
22. 0; 1.
23. -1
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Математика
11.4.П. Графический метод решения уравнений и неравенств
______________________________________________________________________________________________________
11.4.04.П. Функциональные методы решения.
Очень сложные.
ПРИМЕР. Решить уравнение 4 x  (7  x)  2 x  12  4x  0 .
РЕШЕНИЕ: Введём замену переменных 2 x  t . Получаем квадратное уравнение:
t 2  (7  x)t  12  4x  0 .
Коэффициенты: а = 1, b = - (7 - x), c = 12 – 4x. Найдём дискриминант:
D  (7  x) 2  4(12  4x)  49  14x  x 2  48  16x  x 2  2x  1  (x  1) 2 . D  x  1
Корни уравнения:
7  x  x 1
7  x  x 1
t1 
4
t2 
 3 x .
2
2
Возвращаемся к переменной х. Сначала найдём первый корень t 1  4 , тогда 2 x  4 . Значит x  2 .
Теперь найдём второй корень t 2  3  x , тогда 2 x  3  x . Так как y  2 x - возрастающая функция,
y  3  x - убывающая функция, то возможна только одна точка пересечения графиков, то есть
один корень. Находим подбором x  1 .
ОТВЕТ: 2; 1.
ПРИМЕР. Решить неравенство
РЕШЕНИЕ:
x  2  3  x  x 1  6  x .
x  2  0
3  x  0

ОДЗ 
 x  2;3
x  1  0
6  x  0
При всех х из ОДЗ левая часть неравенства неотрицательна, а правая часть отрицательна. Значит,
неравенство справедливо для всех х из ОДЗ.
ОТВЕТ: х [2; 3].
Неравенство Коши.
f x  
1
1
 2, если f x   0 и f x  
 2, если f x   0 .
f x 
f x 
ТЕСТ 11.4.04.
1.
2.
Сумма корней уравнения 4 x  (7  x)  2 x  12  4x  0 равна …
Решить уравнение (x  1) log 32 x  4x log 3 x  16  0
3.
4.
Решить уравнение log 22 x  (x  1) log 2 x  6  2x
Сумма корней уравнения 4  x  2  x  8  2  x  16  x  64  0 равна …
5.
6.
7.
8.
9.
Найти среднее арифметическое целых корней уравнения 9 x  2x  3  3x  5  2x  0
x 3  x
Решить уравнение x 2  x  1sin

6
2
x
Решить уравнение x 2  2 x sin  1  0
2
2
Решить уравнение log 2 1  x  log 2 x  x 2  2 x
1
1 x
Решить уравнение 2
 x2 
1
1 x2


8
Репетитор по физике и математике – Волович Виктор Валентинович
www.educon.by
Математика
11.4.П. Графический метод решения уравнений и неравенств
______________________________________________________________________________________________________
13.
x
 2 x  2 x
3
x
Решить уравнение 2 cos  5 x  5  x
3
1
Решить уравнение 2 cos 2x  x 
x
1 4 x 1
Решить уравнение 2
 tgx  ctg x
14.
Решить уравнение 2  cos x  log  x  log  
15.
Решить уравнение 4 x  2 x 2  1  log 2 ( x 2  1)  log 2 x
10.
11.
12.
Решить уравнение 2 cos
sin 2
x
9
cos2
x
 34  4 x  2 x 2
16.
Решить уравнение 9
17.
18.
Решить уравнение 16 4  16 4  63  2 x  x 2
Решить уравнение 31  cos 2x   3 x  32 x
Решить уравнение 2 x 2  log 2 7  2 x  x 2  4  x 4
Решить уравнение log 2 6 x  x 2  5  x 2  6 x  11
19.
20.
4
sin 2
x

4
cos2

x


22.
23.
 
Решить уравнение log 2 x1  x   2  sin 
x
Решить уравнение log 2 1  4 x 2  log 2 x  8x1  x 
Решить уравнение log  x  1  sin x  log  2
24.
Найти число корней уравнения 3 cos x  4 cos x  x 2  6 x  14
25.
Решить неравенство x 2  2 x  4  5  4 x  x 2
1
Решить уравнение 4 x 2  4 x  2  2
3x  6 x  7
2
Решить неравенство cos x  1  lg 9  2 x  x 2   1
x
x
Решить уравнение cos  3
3
 x 3
 log 3 6 x  x 2  6  1
Решить неравенство и найти количество целых решений 3
21.
26.
27.
28.
29.
30.


Решить неравенство и найти количество целых решений 2 x2  log 2 4 x  x 2  2  1
x 2 2 x
31.
32.

1
Решить уравнение  
 4  sin x  1
4
 3
2
2
2
Решить уравнение sin x  log 2 x  2 x  1  0
ОТВЕТЫ:
1. 3
2. БО
3. БО
4. БО
5. БО
6. -1; 1
7. -1; 1
8. 1
9. 0
10. 0
11. 0
12. 1
13. 0,25
14. 
15. 1
16. 1
17. 1
18. 1
19. 1
20. 3
21. 0,5
22. 0,5
23. 
24. 0
25. [-1; 5]
26. Нет корней
27. -1
28. 0
29. 3
30. 2
31. -1
32. 0; 2
P.S. БО (Без Ответа) – означает, что если Вы внезапно решите этот пример, то обязательно
покажите его преподавателю, чтобы он Вас проверил и записал ответ.
9