565 kb

271
Раздел 11
Унитарное пространство
Раздел 11
УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
§11.1. Определение унитарного пространства
Определение
11.1.1.
Пусть в комплексном линейном пространстве U каждой упорядоченной паре элементов a и b поставлено в соответствие комплексное1) число a b ,
называемое их скалярным произведением, так, что выполнены аксиомы:
1.
ab  ba ;
2.
a b  a b ;
3.
a1  a2 b  a1 b  a2 b ;
4.
aa
- вещественное неотрицательное число, причем
aa 0

a  o,
тогда говорят, что задано унитарное пространство.
Для обозначения скалярного произведения в унитарном пространстве используются
не круглые скобки, принятые в евклидовом пространстве, а скобки типа “брэкет”.
Замечание: вид
аксиомы 1 позволяет избежать проблемы, которая возникает в случае использования евклидовского правила коммутативности скалярного произведения
для комплексных линейных пространств.
Действительно, если принять, что a b  b a , то a b   a b и очевидно, что
при некотором ненулевом a и   i .
) Определение и основные свойства комплексных чисел приводятся в приложении 3.
1
272
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
ia ia  ( i )( i ) a a  ( i ) 2 a a  i 2 a a   a a ,
но тогда либо ia ia , либо a a не положительно и аксиома 4 не будет справедливой.
В случае же равенства a b  b a вынос  из второго сомножителя скалярного
произведения выполняется иначе:
a b  b a   b a   b a   a b ,
поскольку    , и что в рассматриваемом примере приводит к равенству
ia ia  i i a a  a a ,
которое согласуется с аксиомой 4.
Пример
11.1.1.
1.
Пространство
n-мерных
столбцов
a
1
2
...
;
n
b
1
2
...
,
где
n
 i ,i ; i  [1, n] - комплексные числа, со скалярным произведением,
n
определяемым по формуле a b    i i , является унитарным.
i 1
2.
Унитарным будет пространство непрерывных на [ ,  ] комплекснозначных функций вещественного аргумента со скалярным произведе
нием a b   a ( ) b( ) d .

В унитарных пространствах, как правило, существуют аналоги определений и теорем, справедливых для евклидова пространства. Например, неравенство Коши-Буняковского
имеет вид:
a a bb  a b b a .
Действительно,
a a bb  ab
2
 a b a b  a b b a для a, b U .
273
Раздел 11
Унитарное пространство
В конечномерном унитарном пространстве U n базис {g1, g 2 ,..., g n } при необходимости может быть ортогонализирован по схеме Грама-Шмидта. Выражение для скалярного
произведения в координатах аналогично евклидовскому случаю и имеет вид:
a b  1  2   n
Г
1
2
g


n
 1  2   n
где Г
g
g1 g1
g1 g 2

g1 g n
g 2 g1
g2 g2

g2 gn
1
2





g n g1
gn g2

gn gn
n
- базисная матрица Грама в унитарном пространстве U n . Заметим, что поскольку
g i g j  g j g i , то имеет место равенство Г
Определение
11.1.2.
Матрица
T
g
 Г
g
.
A , удовлетворяющая соотношению
A
T
 A , называется
эрмитовой.
Матрица
A
A
T
A ,
удовлетворяющая
соотношениям
A
T
A  E
и
 E , называется унитарной.
Определитель унитарной матрицы есть комплексное число, модуль которого равен
единице. Действительно,
det ( A
T
A )  det A
T
det A  det A det A  det A
2
 det E  1 .
§11.2. Линейные операторы в унитарном пространстве
Для унитарного пространства справедливы определения, введенные для линейных
операторов в разделе 10. В данном параграфе будут рассмотрены лишь специфические особенности линейных операторов, действующих в унитарном пространстве.
274
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Линейный оператор A , действующий в унитарном пространстве U, называется унитарным (или изометрическим), если a, b U имеет место равен Ab
  ab .
ство Aa
Определение
11.2.1.
унитарный линейный оператор, действующий в конечномерном унитарном пространстве U n , в ортонормированном базисе имеет унитарную матрицу.
Замечание:
Линейный оператор A  , действующий в унитарном пространстве U, называется эрмитово сопряженным линейному оператору A , если для
 b  a A  b .
a, b U имеет место равенство Aa
Определение
11.2.2.
Теорема 11.2.1.
Для линейных операторов A и B , действующих в унитарном простран  )   B  A  и ( A )    A  .
стве U, справедливы соотношения: ( AB
Доказательство:
Докажем первое соотношение.
  )a b  Ba
 A  b  a B  A  b , a, b U . Отсюда получаем, по
( AB
  )   B  A  .
определению 11.2.2., что ( AB
Имеем
Аналогично
 b   a A  b  a  A  b , a, b U для любого
(A )a b   Aa
комплексного числа .
Теорема доказана.
Для эрмитовски сопряженных операторов, действующих в конечномерном пространстве U n , имеет место
Теорема
11.2.2.
Матрица оператора A  , эрмитово сопряженного оператору A в U n , в базисе {g1, g 2 ,..., g n } определяется соотношением:
A 
g
 
1
A
T
g
 ,
доказательство которой аналогично выводу формулы (10.6.1.) для евклидова пространства.
275
Раздел 11
Унитарное пространство
§11.3. Эрмитовы операторы
Линейный оператор A , действующий в унитарном пространстве, называется эрмитово самосопряженным (или просто эрмитовым), если A = A  .
Определение
11.3.1.
Замечание:
эрмитов оператор, действующий в конечномерном унитарном пространстве U n ,
обладает свойствами, аналогичными свойствам самосопряженного оператора в
евклидовом пространстве E n .
В частности:
Определение
11.3.2.
1.
Собственные значения эрмитова оператора вещественны.
2.
Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям эрмитова оператора, ортогональны.
3.
Для каждого эрмитова оператора существует ортонормированный
базис, состоящий из его собственных векторов.
4.
В любом ортонормированном базисе унитарного пространства
U n эрмитов оператор имеет эрмитову матрицу.
Собственное значение  линейного оператора A называется вырожденным, если отвечающее ему инвариантное собственное подпространство
имеет размерность больше единицы.
Приведем формулировки и обоснование наиболее важных свойств эрмитовых операторов.
Теорема 11.3.1.
Два эрмитовых оператора A и B имеют общую систему собственных
   BA
  , то есть когда эти операвекторов тогда и только тогда, когда AB
торы коммутируют.
Доказательство:
Докажем необходимость.
  a , тогда
  a и Ba
Пусть Aa
   Ba
  a
BAa
   Aa
  a
ABa
276
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
   BA
  ) a  o . Поскольку a произвольный
и, вычитая почленно, получим, что ( AB
собственный вектор, то данное соотношение верно и для всей совокупности
собственных векторов, а значит, и для любого элемента унитарного пространства, так как из собственных векторов можно образовать базис. Поэтому
   BA
   O .
AB
Докажем достаточность.
  a .
Пусть эрмитовы операторы A и B коммутируют и пусть, кроме того, Aa
Рассмотрим случай лишь невырожденных собственных значений, то есть случай, когда все собственные значения различны.
 является собПокажем теперь, что элемент унитарного пространства b  Ba
   BA
 ,
ственным вектором оператора A . Действительно, в силу AB
  ABa
   BAa
   B a  Ba
  b .
Ab
Поскольку все собственные значения A кратности единица, то  есть его собственное значение, отвечающее a и b одновременно. Поэтому b  a и в силу
 Ba
  a . То есть a - собственный вектор оператора B .
b  Ba
Теорема доказана.
Теорема
11.3.2.
(О вырождении)
Если эрмитов оператор A коммутирует с каждым из двух некоммутирующих между собой эрмитовых операторов B и C , то все собственные
значения оператора A вырожденные.
Доказательство:
Пусть  - линейная оболочка f, является одномерным инвариантным собственным подпространством оператора A , отвечающее его собственному значению
 кратности единица. То есть предположим, что dim   1 .
Из коммутируемости операторов A и B (по теореме 11.3.1.) имеем, что
Bˆ f   f , а из коммутируемости A и C следует, что Cˆ f   f . Но тогда, в силу Aˆ f   f , справедливы равенства
Aˆ Bˆ f  Bˆ Aˆ f   f
Aˆ Cˆ f  Cˆ Aˆ f   f
;
Cˆ Bˆ Aˆ f   f
Bˆ Cˆ Aˆ f   f
и
Cˆ Bˆ ( f )   ( f )
.
Bˆ Cˆ ( f )   ( f )
277
Раздел 11
Унитарное пространство
Вычитая эти равенства почленно, получаем, что ( Bˆ Cˆ  Cˆ Bˆ )( f )  o ; f   , то есть
   CB
   O и операторы B и C коммутируют. Но последнее утверждение протиBC
воречит условию теоремы и, следовательно, необходимо допустить существование
более чем одного линейно независимого элемента в  .
Теорема доказана.
В таблице 11.3.1. приведены некоторые понятия и свойства евклидова и унитарного
пространств таким образом, чтобы облегчить их сравнительное сопоставление.
§11.4.
Эрмитовы функционалы. Среднее значение и дисперсия эрмитова
оператора
Как и в любом линейном пространстве, в унитарном пространстве можно ввести билинейные и квадратичные функционалы. Например, в унитарном пространстве непрерывных
комплекснозначных на [ ,  ] функций  ( ) билинейным по  ( ) и  ( ) функционалом
является выражение
B( ( ), ( ))    ( ) K ( , ) ( ) d d .

Определение
11.4.1.
 , где x U , а линейный опеКвадратичный функционал вида  ( x )  x Ax
ратор A - эрмитов, называется эрмитовым функционалом (или эрмитовой
формой) в унитарном пространстве U .
Определение
11.4.2.
 называется средним значением эрмитова оператора A
Число A a  a Aa
по a - нормированному элементу из унитарного пространства.
Замечания:
1. Если a - нормированный (то есть с a  a a  1 ) собственный вектор эрмитова оператора A с соответствующим собственным значением , то
A   , поскольку в этом случае
a
  a a   a a   .
A a  a Aa
278
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
Евклидово пространство
Унитарное пространство
Правило выноса константы из первого Правило выноса константы из первого
сомножителя в скалярном произведении:
сомножителя в скалярном произведении:
( a , b)   (a , b)
a b   a b
Ортогональный оператор A :
Унитарный оператор A :
 , Ab
 )  (a , b) ; a , b  E
( Aa
 Ab
  ab
Aa
Ортогональная матрица:
a, b U
Унитарная матрица:
T
A
A  E
A
T
A  E
В ортонормированном базисе в E n ортого- В ортонормированном базисе в U n унитарнальный оператор имеет ортогональную ный оператор имеет унитарную матрицу
матрицу
Сопряженный оператор A  :
Эрмитово сопряженный оператор A  :
 , b)  (a , A  b) ; a , b  E
( Aa
 b  a A  b
Aa
В E n сопряженный оператор имеет матрицу
T
1
A   
A

g
В U n эрмитово сопряженный оператор
имеет матрицу
g
A 
Самосопряженный оператор:
Эрмитово
оператор:
 , b)  (a , Ab
 ) ; a , b  E
( Aa
g
 
1
A
T
g

самосопряженный
 b  a Ab

Aa
Симметрическая матрица:
a, b U .
(эрмитов)
a, b U
Эрмитова матрица:
A
T
 A
В ортонормированном базисе в E n самосопряженный оператор имеет симметрическую
матрицу
Из
собственных
векторов
самоn
сопряженного оператора в E можно образовать ортонормированный базис
A
T
 A
В ортонормированном базисе в U n эрмитов
оператор имеет эрмитову матрицу
Из собственных векторов эрмитова оператора в U n можно образовать ортонормированный базис
Таблица 11.3.1.
279
Раздел 11
Унитарное пространство
2. Среднее значение эрмитова оператора, заданного в унитарном пространстве,
вещественно.
 a  a A  a  a Aa
  Aa
 a , но если некоторое
Пусть A   A , тогда Aa
число равно своему комплексному сопряжению, то оно вещественно.
3. Если принять, что оператор умножения на константу  есть ˆ   Ê , где E
- единичный оператор, то имеет место соотношение A  A a  0 .
a
Действительно,
A  A a
a
  a A a  A  A a a  0 .
 a ( A  A a )a  a Aa
a
a
a
Число A  ( A  A a ) 2 называется дисперсией эрмитова оператора A по
Определение
11.4.3.
a
a
нормированному элементу унитарного пространства a.
Отметим следующие свойства дисперсии:
Теорема 11.4.1.
эрмитова оператора A , действующего в унитарном про-
Дисперсия A
a
странстве, есть вещественное неотрицательное число, для которого
справедливо равенство A  ( A ) 2  ( A a ) 2 .
a
a
Доказательство:
Покажем вначале, что число Â a вещественное и неотрицательное.
Оператор A  A
a
очевидно эрмитов, поскольку эрмитовыми являются опера-
торы A (по условию теоремы) и A
a
(как оператор умножения на константу).
Тогда
A  a
a
( A 
A
a
)2a
 a

( A 
A

( A 
A
( A 
a
a
A
a
)( A 
)  a ( A 
)a ( A 
A
A
a
a
A
)a
)a
a
)a


0 .
280
Лекции кафедры высшей математики МФТИ
“Аналитическая геометрия и линейная алгебра” Умнов А.Е.
С другой стороны, исходя из определения 11.4.2., получим
A 
( A 
A
a
 a
a
 a
)2
( A 
a
A
a

)2 a
( ( A ) 2  2 A A a  ( A a ) 2 ) a

( A ) 2 a  2 A a a A a  ( A a ) 2 a a 
 ( A ) 2  2 A A  ( A ) 2  ( A ) 2  ( A ) 2
a
a
a
a
a
a
 a
.
Теорема доказана.
Для эрмитова оператора A , действующего в унитарном пространстве,
дисперсия, взятая по его нормированному собственному вектору, равняется нулю.
Теорема
11.4.2.
Доказательство:
  a , тогда
Пусть Aa
A  ( A ) 2  ( A
a
a
)2 
a
2
a ( A ) 2 a  a A a
 a A ( A a )  a A a
  a  a  2 a a
2
2

 a A (  a )  a  a
 2 a a  2 a a
2
2
 a A a  a  a
2

 2  2  0 .
поскольку a a  1.
Теорема доказана.
§11.5. Соотношение неопределенностей
Для эрмитовых операторов, действующих в унитарном пространстве, справедлива
Теорема
11.5.1.
(Соотношение
неопределенностей)
Для двух эрмитовых операторов A и B , заданных в унитарном пространстве, имеет место соотношение:
2
1 ˆ ˆ
Aˆ Bˆ 
AB  Bˆ Aˆ
.
a
a
4
a
281
Раздел 11
Унитарное пространство
Доказательство:
1. Рассмотрим оператор Q  ( A  A a )   ( B  B a ) i (где  - некоторый вещественный параметр), для которого эрмитово сопряженным будет оператор вида
Qˆ   ( Aˆ  Aˆ )   ( Bˆ  Bˆ )i ,
a
a
ибо эрмитовыми являются следующие четыре оператора: A , A , B , B . Замеa
a


тим также, что оператор Q Q - эрмитов и что a Q Q a  Q a Q a  0 , Q .
(См. доказательство теоремы 10.8.2., пункт 1.)
2. Выразим оператор Q  Q через операторы A , A , B , B , получим:
a
a
Q  Q  ( ( A  A )   ( B  B )i )( ( A  A )   ( B  B )i ) 
a
a
a
a
 ( A  A )   ( B  B ) 
2
2
2
a
a
  ( ( A  A )( B  B )  ( B  B )( A  A ) )i 
a
a
a
a
   BA
  )i .
 ( A  A ) 2   2 ( B  B ) 2   ( AB
a
a
   BA
  )i , причем отметим, что из предыдущего равенства
3. Обозначим C  ( AB
следует эрмитовость оператора C как линейной комбинации эрмитовых операторов. Подсчитаем теперь среднее значение эрмитова оператора Q  Q :
Q  Q

a
   BA
  )ia
A   2 B  a  ( AB
a

a
.
  2 B   C  A
a
Полученное значение Q  Q
a
a
a
есть вещественный квадратный трехчлен относи-
тельно , который должен быть неотрицательным при любом . Отсюда следует,
что его дискриминант неположителен, то есть
( C a ) 2 
Теорема доказана.
4 A B  0 , или окончательно A B
a
a
a

a
1
4
   BA

AB
2
a
.