Document 258344

УДК 551(06) Моделирование физических процессов в окружающей среде
А.Б. КОСТИН
Московский инженерно-физический институт (государственный университет)
БАЗИСНОСТЬ ОДНОЙ СИСТЕМЫ ЭЛЕМЕНТОВ,
СВЯЗАННОЙ С ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕЙ КОШИ
Рассмотрена связь вопросов единственности и корректности обратной задачи с
финальным переопределением с базисностью одного класса систем элементов
гильбертова пространства.
Пусть H – гильбертово пространство, A : H  H – линейный, замкнутый оператор с областью определения D( A) , плотной в H, а оператор ( A) является генератором полугруппы S (t ) класса C0 . Рассмотрим
следующую обратную задачу Коши:
(1)
u (t )  Au (t )  (t ) f t  0, T  , u(0)  0
u (T )   ,   D( A) ,
(2)
где оператор-функция  (t )  C1  0, T  ; L  H   и переопределение  – заданы, а неизвестными являются функция u(t ) и элемент f  H . Под решением обратной задачи (1), (2) понимается элемент f  H , такой, что
решение задачи Коши (1) (прямой задачи), удовлетворяет условию переопределения (2). Отметим, что при сделанных предположениях на оператор A и оператор-функцию (t ) , решение прямой задачи (1) существует и единственно при любом f  H , причём u(t )  C1 0, T ; H  
C  0, T  ; D  A   .
Предположим дополнительно, что собственные векторы ek  операто-
ра A образуют ортонормированный базис (ОНБ) в H, а k   C – соответствующие им собственные значения, т.е. Aek   k ek .
Определение. Обратную задачу (1), (2) будем называть корректной, если для любого   D( A) существует единственный элемент f  H – решение обратной задачи и справедлива оценка устойчивости:
f  C    A  , где f – норма f в H.
Введём в рассмотрение следующую систему элементов H:
86
ISBN 5-7262-0633-9. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2006. Том 5
УДК 551(06) Моделирование физических процессов в окружающей среде
T
 k  k  exp   k T    *    d ek , k = 1, 2,…
(3)
0
где k  k   , а  – принадлежит резольвентному множеству оператора
A и фиксировано, *    – оператор сопряженный к    .
Для системы  k  доказаны следующие утверждения.
Теорема 1. Система элементов (3) полна в H только тогда когда решение обратной задачи (1), (2) единственно.
Теорема 2. Обратная задача (1),(2) корректна только тогда когда система  k  – базис Рисса.
Напомним, что система  k  называется базисом Рисса, если найдёт-
ся оператор U такой что U , U 1  L  H  и k  Uek , здесь L  H  – множество линейных ограниченных операторов в H.
При некоторых дополнительных условиях на полугруппу S  t  доказано, что система (3) является базисом Бари, то есть квадратично близка к
некоторому ОНБ в H, например справедлива следующая теорема.
Теорема 3. Пусть   t   C 2  0, T  ; L  H   ,  T   I , S  t   HS при
любом t  0 и
 A  I 1  HS .
T
Тогда B  S T    0    S    F    d 
0
есть оператор Гильберта-Шмидта
 B  HS  и система
 k  – базис
Бари.
d
exp     T     .
d 
Результаты работы могут быть использованы в обратных задачах палеотермометрии.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 03-01-00774).
Здесь S    e S   , а F   
ISBN 5-7262-0633-9. НАУЧНАЯ СЕССИЯ МИФИ-2006. Том 5
87